DE THI HS GIOI 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2011 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề ) Ngày thi thứ nhất: 11/01/2011 Bài (5,0 điểm) Cho số nguyên dương n Chứng minh với số thực dương x, ta có bất đẳng thức: )2n+1 ( x+1 xn (xn+1 + 1) ≤ xn + Hỏi đẳng thức xảy nào? Bài (5,0 điểm) Cho dãy số thực (xn ) xác định n−1 ∑ 2n x1 = xn = · xi với n ≥ (n − 1)2 i=1 Với số nguyên dương n, đặt yn = xn+1 − xn Chứng minh dãy số (yn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Bài (5,0 điểm) Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) đường kính AB Xét điểm P di động tiếp tuyến B (O) cho P không trùng với B Đường thẳng P A cắt (O) điểm thứ hai C Gọi D điểm đối xứng với C qua O Đường thẳng P D cắt (O) điểm thứ hai E Chứng minh đường thẳng AE, BC P O đồng quy điểm Gọi điểm đồng quy M Hãy xác định vị trí điểm P cho tam giác AM B có diện tích lớn Tính giá trị lớn theo bán kính đường tròn (O) ((O) kí hiệu đường tròn tâm O) Bài (5,0 điểm) Cho ngũ giác lồi ABCDE có độ dài cạnh độ dài đường chéo AC, AD không vượt √ Lấy 2011 điểm phân biệt tùy ý nằm ngũ giác Chứng minh tồn hình tròn đơn vị có tâm nằm cạnh ngũ giác cho chứa 403 điểm số điểm lấy ——————————HẾT—————————— • Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay • Giám thị không giải thích thêm BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2011 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề ) Ngày thi thứ hai: 12/01/2011 Bài (7,0 điểm) Cho dãy số nguyên (an ) xác định a0 = 1, a1 = −1, an = 6an−1 + 5an−2 với n ≥ Chứng minh a2012 − 2010 chia hết cho 2011 Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân A có góc ABC, ACB góc nhọn Xét điểm D di động cạnh BC cho D không trùng với B, C hình chiếu vuông góc A BC Đường thẳng d vuông góc với BC D cắt đường thẳng AB, AC tương ứng E F Gọi M, N P tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF, BDE CDF Chứng minh điểm A, M, N, P nằm đường tròn đường thẳng d qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài (6,0 điểm) Cho n số nguyên dương Chứng minh đa thức P (x, y) = xn + xy + y n viết dạng G(x, y) · H(x, y) Trong G(x, y) H(x, y) đa thức với hệ số thực, khác đa thức ——————————HẾT—————————— • Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay • Giám thị không giải thích thêm  ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2011 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề ) Ngày thi thứ hai: 12/01 /2011 Bài (7,0 điểm)... (an ) xác định a0 = 1, a1 = −1, an = 6an−1 + 5an−2 với n ≥ Chứng minh a2012 − 2010 chia hết cho 2011 Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân A có góc ABC, ACB góc nhọn Xét điểm D di động cạnh... với BC D cắt đường thẳng AB, AC tương ứng E F Gọi M, N P tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF, BDE CDF Chứng minh điểm A, M, N, P nằm đường tròn đường thẳng d qua tâm đường tròn nội tiếp tam