SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2010 - LẦN Môn thi: TOÁN – Khối A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = x − 3mx + (m − 1) x + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) với m = Tìm m để đường thẳng y = x + cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm A;B;C phân biệt thỏa mãn điểm C(0;1) nằm A B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài 30 Câu II: (2 điểm) Giải phương trình : cos x + cos x = cos ( π − x ) 8xy 2 x + y + x + y = 16 Giải hệ phương trình với x ; y ∈ ¡ x + x x + y − = π tan x dx cos x − sin x ) cos x ( Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: I = ∫ · Câu IV: (1,0 điểm) ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a BAD = 600 Cạnh SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SC = a Kẻ OK ⊥ SA , ( K ∈ SA) Tính thể tích khối đa diện SCBDK Câu V: (1 điểm) Cho a, b, c > thỏa mãn abc = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: 1 P= + + 2a + b + 2b + c + 2c + a + II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần: A B A Theo chương trình Chuẩn Câu VIa: (2điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cố định A nằm đường thẳng ( ∆): 2x − 3y + 14 = , cạnh BC song song với đường thẳng ∆, đường cao CH có phương trình: x − 2y − = Biết trung điểm cạnh AB M(-3;0) Xác định tọa độ đỉnh A, B, C x −1 y − z = = hai điểm A(1;1;0), B(2;1;1) Viết Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : 1 phương trình đường thẳng ∆ qua A, ∆ ⊥ d cho khoảng cách từ B đến đường thẳng ∆ lớn 11 + i 2i Câu VIIa: (1điểm) Cho số phức z thỏa mãn i.z = ÷ + ÷ Tìm môđun số phúc w = z + iz 1− i 1+ i B Theo chương trình Nâng cao Câu VIb:(2điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao BH có phương trình 3x + 4y + 10 = , đường phân giác góc A AD có phương trình x − y + = , điểm M(0;2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C khoảng Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(0;1;1) , B(1;0; −3), C (−1; −2; −3) mặt cầu (S) có phương trình : x + y + z − x + z − = Tìm tọa độ điểm D mặt cầu (S) cho tứ diện ABCD tích lớn 2.log y = log x − Câu VIII.b: (1điểm) Giải hệ phương trình : log y = (log x − 1).log -Hết Họ tên thí sinh………………………… ………………… ;Số báo danh………………………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2010-LẦN Môn thi: TOÁN – Khối A CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Với m=1 ta có y = x − x + • TXĐ: D=R • Sự biến thiên: y = +∞ ; lim y = −∞ - Giới hạn: xlim →+∞ x →−∞ 0,25 x = -Ta có: y ' = x( x − 1) ⇒ y ' = ⇔ x =1 -BBT: −∞ x y’ + y 1 +∞ + +∞ −∞ Hàm số đồng biến khoảng ( −∞ ;0) (1; +∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng (0;1) Hàm số đạt cực đại x=0 yCĐ=1 Hàm số đạt cực tiểu x=1 yCT=0 I.1 • Đồ thị: - Ta có y '' = 12 x − ⇒ y '' = ⇔ x = - Đồ thị (C) cắt trục Oy A ( 0;1) - Đồ thi cắt trục Ox B ( 1;0 ) ;C − ;0 ÷ 0,25 0,25 1 ⇒ I ( ; ) điểm uốn đồ thị 2 0,25 I.2 Hoành độ giao điểm (d) đồ thị (Cm) hàm số: y = x − 3mx + (m − 1) x + nghiệm phương trình: x3 − 3mx + (m − 1) x + = x + x = ⇔ x (2 x − 3mx + m − 3) = ⇔ x − 3mx + m − = (*) Đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) điểm O; A;B phân biệt O nằm A B PT (*) có nghiệm trái dấu ⇔ 2.(m − 3) < ⇔ m < 0,25 0,25 3m x A + xB = yA = xA + Khi tọa độ A B thỏa mãn ( A B thuộc (d)) y B = xB + x x = m − A B AB = 30 ⇔ ( xB − x A ) + ( yB − y A ) = 30 9m m−3 ⇔ ( xB − x A ) = ⇔ ( x B + x A ) − xB x A = ⇔ − =6 m = ⇔ m − 8m = ⇔ ( t / m) m = Vậy m = 0; m = giá trị cần tìm CÂU II II.1 Phương trình cho ⇔ cos x + cos 3x + cos 5x = ⇔ cos x − cos3x + ( cos3x + cos5x ) = ⇔ 2sin 2x sin x + cos 4x cos x = cos x = ⇔ cos x ( sin x + cos4x ) = ⇔ sin x + cos4x = ( 1) π + cos x = ⇔ x = + kπ − cos2x + cos 2x − = ⇔ cos 2x − cos2x − = + ( 1) ⇔ + 17 + 17 x = ± arccos ÷ cos x = ÷+ k2π ⇔ ⇔ − 17 x = ± arccos − 17 + k2π cos x = ÷ ÷ Điều kiện x + y > 8xy 2 x + y + x + y = 16 ( 1) Hệ phương trình x3 + x x + y − = ( 2) 2 Khi ( 1) ⇔ ( x + y ) ( x + y ) + 8xy = 16 ( x + y ) ⇔ ( x + y ) ( x + y ) + ( x + y ) − ( x + y ) = 16 ( x + y ) ⇔ ( x + y2 ) ( x + y − 4) + ( x + y ) ( x + y − ) = II.2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ ( x + y − ) x + y + ( x + y ) = x + y = (t / m) ⇔ 2 x + y + ( x + y ) = (Loai ) x + y > Thay x + y = vào PT(2) ta được: x + 2x − = ⇔ (x − 1)(x + x + 3) = x = ⇔ x + x + = (VN) Với x = ⇒ y = Vậy hệ có nghiệm (1;3) 0,25 0,25 π tan x dx − tan x ) cos x ( Ta có: I = ∫ Đặt: tan x = t ⇒ CÂU II 1 dx π = dt Đổi cận: Với x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = cos x t.dt 4−t Suy ra: I = ∫ ⇔I=∫ 0,25 0,25 1 − (4 − t) d(4 − t) dt = ∫ − 1÷dt = −4 ∫ − ∫ dt = −4 ln − t − t 0 4−t 4−t 4−t 0 0 0,25 I = ln − CÂU IV 0,25 Hình vẽ S K A B 0,25 O C D a · Ta có: SABCD = AB.AD.sin BAD = a3 ; VS.ABCD = SC.SS.ABCD = Và: VSCBKD = VS.ABCD − VA.BKD BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SA mà OK ⊥ SA ⇒ SA ⊥ (BKD) nên AK Do BD ⊥ SC đường cao hình chóp A.BKD OK SC OA.SC OA.SC a ∆OKA (g.g) ⇒ = ⇒ OK = = = Mặt khác: ∆SCA 2 OA SA SA SC + AC a = a 3÷ vì: AC = 2OA = ÷ BD ⊥ (SAC) a2 ⇒ OK ⊥ BD ⇒ SBKD = OK.BD = Mà OK ⊂ (SAC) AK SC AO.SC AO.SC a = ⇒ AK = = = Ta lại có : AO SA SA SC2 + AC 2 Suy VABKD a3 = AK.SBKD = 24 (vì ∆SCA 0,25 ∆OKA ) 0,25 a a a (6 − 1) (đvtt) − = 24 24 1 1 1 P= + + ⇒P= + + 2a + b + 2b + c + 2c + a + a + b + b + c + c + a + 3 2 a b c Đặt: x = ; y = ; z = ⇒ x, y, z > & x y.z = Khi đó: 2 1 1 P= + + x + y + y + z + z + x + Vậy: CÂU V VSCBKD = VS.ABCD − VA.BKD = 0.25 0,25 Mà ta có: x + y ≥ xy ; x + ≥ x ⇒ x + y + ≥ 2( xy + x + 1) 1 ⇒ ≤ x + y + 2( xy + x + 1) Tương tự ta có: P ≤ 1 + xy + x + ( Nhân tử mẫu phân số thứ hai với ⇔P≤ 1 + yz + y + zx + z + x ; phân số thứ ba với 0.25 xy ) xy 1 x + + xy + x + x ( yz + y + 1) xy ( zx + z + 1) 0,25 xy 1 x + + ⇔ P≤ xy + x + 1 + xy + x ) x + + xy Vậy P đạt GTLN xảy x = y = z = hay a = b = c = Chương trình chuẩn Câu VIa VIa.1 A :2x-3y+14=0 ⇔P≤ H M(-3;0) B x-2y-1=0 C r r Ta có n ( 1; −2 ) VTPT đường thẳng CH, AB ⊥ CH nên n ( 1; −2 ) VTCP đường thẳng AB, mà AB qua M ( −3;0 ) ⇒ phương trình tham số đường thẳng AB: x = −3 + t ⇒ phương trình tổng quát đường thẳng AB: 2x + y + = y = −2t Mặt khác A ∈ ( ∆ ) ⇒ A = ( ∆ ) ∩ AB tọa độ A nghiệm hpt 2x + y + = x = −4 ⇔ ⇒ A ( −4; ) 2x − 3y + 14 = y = 0,25 0,25 xA + xB x M = x = −2 ⇒ B ⇒ B ( −2; −2 ) M ( −3;0 ) trung điểm AB y B = −2 y = yA + yB M Do BC // ∆ ⇒ phương trình đường thẳng BC có dạng: 2x − 3y + m = (m ≠ 14) , mà 0,25 0,25 (BC) qua B ( −2; −2 ) ⇒ m = −2 ⇒ BC : 2x − 3y − = x − 2y − = x = ⇔ ⇒ C ( 1;0 ) Lại có C = BC ∩ CH tọa độ C nghiệm hpt 2x − 3y − = y = 0,25 Vậy A ( −4; ) , B ( −2; −2 ) , C ( 1;0 ) VIa.2 Gọi H hình chiếu vuông góc B ∆ , ta có d ( B, ∆ ) = BH ≤ BA (vì ∆ qua A) Do khoảng cách từ B đến đường thẳng ∆ lớn ⇔ BH = BA ⇔ H ≡ A r Vậy đường thẳng ∆ cần lập đường thẳng qua A, ∆ ⊥ d ∆ ⊥ AB Gọi u vectơ đường thẳng ∆ uuurphương củauu r Ta có AB ( 1;0;1) u1 ( 2;1;1) vec tơ phương đường thẳng d r uuur uu r r uu r r uuur Do ∆ ⊥ d ⇒ u ⊥ u1 ; ∆ ⊥ AB ⇒ u ⊥ AB , ta lấy u = AB, u1 = ( −1;1;1) x = − t Mặt khác ∆ qua A ( 1;1;0 ) phương trình ∆ y = + t z = t 0,25 0,25 0,25 0,25 11 11 ( 1+ i) 2i ( − i ) + i 2i Ta có i.z = + ÷ ÷ + ÷ ⇔ i.z = 1− i 1+ i Câu VIIa 0,25 ⇔ iz = ( i ) + ( + i ) = 16 − i ⇒ z = −1 − 16i ⇒ z = −1 + 16i 11 0,25 Do w = z + iz = −1 − 16i + i ( −1 + 16i ) = −17 − 17i 0,25 Vậy w = 17 + 17 = 17 0,25 Chương trình nâng cao Câu VIb VIb.1 0,25 A H N I M C B D ∆ ⊥ AD , ∆ cắt AD I cắt AC N Có rGọi ∆ đường thẳng qua điểm M r n ( 1; −1) VTPT AD, ∆ ⊥ AD ⇒ n ( 1; −1) VTCP ∆ ⇒ phương trình tham x = t số ∆ : suy phương trình tổng quát ∆ : x + y − = y = − t x= x + y − = ⇔ I ; ⇔ Do I = ∆ ∩ AD ⇒ tọa độ I nghiệm hpt: ÷ 2 2 x − y + = y = Tam giác AMN có d2 vừa đường cao, vừa phân giác nên tam giác cân ⇒ I trung điểm MN ⇒ N (1;1) uu r uu r uu r Có n1 ( 3; ) VTPT BH ⇒ u1 ( 4; −3) VTCP BH, BH ⊥ AC ⇒ u1 ( 4; −3) VTPT AC, AC đường thẳng qua điểm N(1;1) nên AC : ( x − 1) − ( y − 1) = ⇒ AC: 4x – 3y –1 = Do A = AC ∩ AD ⇒ tọa độ A nghiệm hệ phương trình: 4x − 3y − = x = ⇔ ⇔ A(4;5) x − y + = y = uuuu r AB đường thẳng qua điểm M(0;2) nhận MA ( 4;3) làm vec tơ phương ⇒ x = 4t ⇒ pt tổng quát AB : 3x − 4y + = Do phương trình tham số AB y = + 3t x = −3 3x − 4y + = 1 ⇔ B = AB ∩ BH ⇒ tọa độ B nghiệm hpt − ⇔ B − 3; − ÷ 4 3x + 4y + 10 = y = uuur 4a − 4a − 4a − ⇒ C a; ÷, ta có MC a; ÷ 3 x = ⇒ y = 4a − 2 Theo giả thiết MC = ⇔ a + 31 33 ÷ = ⇔ 25a − 56a + 31 = ⇔ x= ⇒ y= 25 25 31 33 ⇒ C ( 1;1) C ; ÷ Vì AD : x − y + = phân giác góc A tam giác 25 25 ABC kiểm tra điều kiện ( x B − y B + 1) ( x C − y C + 1) < hai điểm C thỏa mãn 0,25 0,25 Gọi C ( a, b ) ∈ AC ⇒ 4a − 3b − = ⇒ b = VIb.2 Ta có (S) : ( x − 1) + y + ( z + 1) = suy (S) có tâm I(1;0;-1), bán kính R = uuur uuur Và AB = (1; −1; −4); AC = ( −1; −3; −4) r uuur uuur Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến n = AB, AC = ( −8;8; −4) Suy mp(ABC) có phương trình: −8x + 8(y − 1) − 4(z − 1) = ⇔ 2x − 2y + z + = Ta có VABCD = d ( D;( ABC )).S ABC nên VABCD lớn d ( D;( ABC )) lớn Gọi D1D đường kính mặt cầu (S) vuông góc với mp(ABC) Ta thấy với D điểm thuộc (S) d ( D;( ABC )) ≤ max { d ( D1;( ABC )); d ( D2 ;( ABC ))} Dấu “=” xảy D trùng với D1 D2 r Đường thẳng D1D qua I(1;0;-1), có VTCP n ABC = (2; −2;1) x = + 2t Do (D1D2) có phương trình: y = −2t z = −1 + t x = + 2t t= y = −2t ⇒ Tọa độ điểm D1 D2 thỏa mãn hệ: z = − + t − t = ( x − 1) + y + ( z + 1) = 0,25 0,25 0,25 0,25 −4 −1 −1 −5 ⇒ D1 ; ; ÷ & D2 ; ; ÷ 3 3 3 Câu VIIb 7 1 Ta thấy: d ( D1 ;( ABC )) > d ( D2 ;( ABC )) Vậy điểm D ; − ; − ÷ điểm cần tìm 3 3 2.log y = ( − log x ) − x > 2.log y = log x − ⇔ Điều kiện hpt ⇔ log y = log x − log y = log x − y > log 2.b = a − a = log x Đặt hpt trở thành: b = log y b = a − 0,25 0,25 0,25 2 a = 2 ( a − 1) = a − a − 2a + = ⇔ ⇔ ⇔ b = b = a − b = a − 0,25 log x = x = ⇔ ⇔ (t / m) y = log y = Vậy hệ có nghiệm nhất: ( 2;1) 0,25 *HƯỚNG DẪN CHẤM: Học sinh có lời giải khác với đáp án chấm thi có lập luận dựa vào SGK hành có kết xác đến ý cho điểm tối đa ý ; cho điểm đến phần học sinh làm từ xuống phần làm sau không cho điểm Điểm toàn thi không làm tròn số ... TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2010-LẦN Môn thi: TOÁN – Khối A CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Với m=1 ta có y = x − x + • TXĐ: D=R • Sự biến thi n: y = +∞ ; lim y = −∞ - Giới... khác với đáp án chấm thi có lập luận dựa vào SGK hành có kết xác đến ý cho điểm tối đa ý ; cho điểm đến phần học sinh làm từ xuống phần làm sau không cho điểm Điểm toàn thi không làm tròn số... uuur 4a − 4a − 4a − ⇒ C a; ÷, ta có MC a; ÷ 3 x = ⇒ y = 4a − 2 Theo giả thi t MC = ⇔ a + 31 33 ÷ = ⇔ 25a − 56a + 31 = ⇔ x= ⇒ y= 25 25 31 33 ⇒ C ( 1;1) C