SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2010 – 2011 Môn thi: Toán Ngày thi: 22 tháng năm 2010 Thời gian làm bài: 120phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (2,5 điểm) Cho biểu thức : A = x x 3x + + − , với x ≥ x ≠ x +3 x −3 x −9 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm giá trị x để A = 3) Tìm giá trị lớn biểu thức A Bài II (2,5 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo 13 m chiều dài lớn chiều rộng m Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất Bài III (1,0 điểm) Cho parabol (P): y = -x2 đường thẳng (d): y = mx – 1) Chứng minh với giá trị m đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt 2) Gọi x1, x2 hoành độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) Tìm giá trị m để: x12x2 + x22x1 – x1x2 = Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường tròn (C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE điểm F 1) Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC · · 3) Chứng minh CFD = OCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O) 4) Cho biết DF = R, chứng minh tg ·AFB = Bài V ( 0,5 điểm) Giải phương trình: x2 + 4x + = (x + 4) x + - Hết SỞ GIÁO ĐỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2010 – 2011 Môn thi: Toán Ngày thi: 22 tháng năm 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM I Rút gọn biểu thức A (1,5 điểm) x x 3x + x x 3x + + − + − = x +3 x − ( x + 3)( x − 3) x +3 x −3 x −9 A= x ( x − 3) + x ( x + 3) − (3 x + 9) ( x + 3)( x − 3) = 0,25 0,25 = x − x + x + x − 3x − ( x + 3)( x − 3) 0,25 = x −9 ( x + 3)( x − 3) 0,25 3( x − 3) ( x + 3)( x − 3) = x +3 0,25 = ĐIỂM 2,5 0,25 Tìm giá trị x để A = A= ⇔ ⇔ = ⇔ x +3 (0,5 điểm) x + =9 x =6 ⇔ x=36 (thoả mãn điều kiện) 0,25 0,25 Tìm giá trị lớn biểu thức A (0,5 điểm) x +3 ≥3⇔ ⇔ 1 ≤ x +3 0,25 3 0,25 ≤ =1 Vậy giá trị lớn A 1, x=0 (thoả mãn điều x +3 kiện) II Giải toán sau cách lập phương trình: 2,5 Gọi chiều rộng mảnh đất 1à x (m) ( < x< 13) x>0 chiều dài mảnh đất 1à x + (m) Lập luận phương trình: x2 + (x + 7)2 = 132 ⇔ x2 + 7x - 60 = Giải phương trình được: xl = (thoả mãn); x2 = -12 (loại) Trả 1ời: Chiều rộng mảnh đất 1à m chiều dài mảnh đất 1à 12 m III 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 1,0 0,5 Chứng minh với giá trị m đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt 0,25 Xét phương trình: -x2 = mx - ⇔ X2 + mx – 1= (l) ∆= m + > với m nên (1) có nghiệm phân biệt Suy 0,25 giá trị m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Tìm giá trị m để: x12x2 + x22x1 – x1x2 = Vì xl, x2 nghiệm (l) nên theo định lý Vi-et ta có 0,5 xl + x2 = − m xlx2 = −1 x12x2 + x22xl - xlx2 = xlx2 (xl + x2 ) – x1x2 = m + x12 x2 + x22xl – X1X2 = ⇔ m + = ⇔ m = IV 0,25 0,25 2,0 Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp (1 điểm) Vẽ hình câu 0,25 · Nêu BCF ·AEF góc 0,25 vuông + DEF =2v · · ⇒ DCF 0,25 Kết 1uận : FCDE 1à tứ giác nội tiếp 0,25 Chứng minh DA.DE = DB.DC (1 điểm) Chứng minh ∆ADC ∆BDE có cặp góc Suy ra: ∆ADC đồng dạng với ∆BDE (g-g) DA DC = DB DE 0,25 0,25 0,25 Kết 1uận: DA.DE = DB.DC 0,25 · · Chứng minh CFD = OCB (1 điểm) · · Chứng minh CFD = OBC · · · · = OBC kết luận CFD = OCB OCB 0,25 0,25 · Chứng minh CFD = · · · = OCB + ICD = IOC (O) Chứng minh tg ·AFB · 0,25 FCI · · · + ICD = FCD =1V kết luận IC tiếp tuyến 0,25 FCI = (0,5 điểm) · · IB tiếp tuyến (O) ·AFB = CIE = CIO 0,25 CO R CO · tg ·AFB =tg CIO = = FD = R =2 CI 2 0,25 Giải phương trình Biến đổi phương trình cho thành: ( x + -4)( x + -x)=0 0,5 0,25 x2 + = x + = 42 x = ±3 x= ± ⇔ ⇔ ⇔ Vô nghiem ⇔ x + = x x + = x Kết luận: Phương trình có nghiệm x= ± 0,25 V ... SỞ GIÁO ĐỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2010 – 2011 Môn thi: Toán Ngày thi: 22 tháng năm 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM I Rút gọn biểu thức A