Chuyên đề Đường thẳng mặt phẳng ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG A Tóm tắt lí thuyết Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(xA; yA); B( xB ; y B ); C ( xC ; yC ) ; u (u1; u2 ); v(v1; v2 ) Khi a AB( xB − x A ; y B − y A ) x + xB y A + y B ; b Tọa độ trung điểm AB I A x + xB + xC y A + y B + yC ; c Tọa độ trọng tâm tam giác ABC G A 3 d Ba điểm A; B; C thẳng hàng AB = k AC e u ± v = ( u1 ± v1; u2 ± v2 ); k u = (ku1; ku2 ) f u = v u =v⇔ 1 u2 = v2 g u = u1 + u22 (h) u.v = u1v1 + u2v2 (i) u ⊥ v ⇔ u.v = ( ) (k) cos u; v = u.v u v Vectơ phương đường thẳng u đgl vectơ phương đường thẳng d u //d 3.Vectơ pháp tuyến đường thẳng n đgl vectơ pháp tuyến đường thẳng d n ⊥ d Phương trình tổng quát đường thẳng 1.1 Đ/n: pt có dạng ax + by + c = (a2 + b2 > 0) (d) 1.2 Nhận xét: - (d) có pt ax + by + c = có vtpt n(a; b) - Đường thẳng qua điểm M(x0; y0) có vtpt n(a; b) có phương trình a(x – x0) + b(y – y0) = - Đường thẳng qua M(x0; y0) có hệ số góc k có pt: y – y0 = k(x - x0 ) x y - Đường thẳng qua A(a; 0) B(0; b) có phương trình dạng + = a b gọi phương trình đường thẳng theo đoạn chắn Phương trình tham số đường thẳng x = x0 + at (t ∈ R) 5.1 Đường thẳng (d) qua M(x0; y0) có vtcp u (a; b) có pt: y = y0 + bt 5.2 Nhận xét: - Đường thẳng (d) có vtcp u (a; b) a ≠ có hệ số góc k = b/a - Đường thẳng (d) có vtcp u (a; b) có vtpt n(−b; a ) - Với điểm M ∈ (d ) ⇒ M ( x0 + at ; y0 + bt ) Chú ý: a Cho (d) có pt ax + by + c = - (d1 )// (d) (d1) có pt: ax + by + n = (Chú ý: Nếu n = c hai đường trùng nhau) - (d2) vuông góc với (d) (d2) có pt dạng: –bx + ay +m = b Cho hai đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = (d2) có pt a2x + b2y + c2 = Gv Lê Văn Thọ 0973452517 Chuyên đề Đường thẳng mặt phẳng a1 x + b1 y = −c1 (I ) Xét hpt: a2 x + b2 y = c2 - Nếu hệ (I) vô nghiệm (d1) // (d2) - Nếu hệ (I) có vô số nghiệm hai đương thẳng trùng - Nếu hệ pt có nghiệm cặp nghiệm tọa độ giao điểm hai đường thẳng c Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường (d): ax + by + c = xác định công thức: ax + by0 + c d ( M ; (d )) = a + b2 B BÀI TẬP Dạng Lập phương trình đường thẳng Câu Lập phương trình đường thẳng (d) trường hợp sau: a (d) qua A(1;2) có vtcp (-2;1) b (d) qua B(0;-2) có vtpt (1;1) c (d) qua hai điểm M(-1;2) N(1;3) d (d) qua P(1;1) song song với (d1): 2x – 3y +5 = e (d) qua Q(2;-1) vuông góc với (d2): x – y -2 =0 f (d) qua C(1;3) có hệ số góc k = Câu Lập pt cạnh tam giác ABC đường trung trực cạnh; đường trung tuyến tam giác biết tam giác có trung điểm cạnh là: M(-1;2); N(1;3) P(1;-2) Dạng Tìm hình chiếu điểm M đường thẳng (d) Cách – Bước Lập pt đường thẳng (d’) qua M vuông góc với (d) - Bước H hình chiếu vuông góc M (d) tọa độ H giao điểm (d) (d’) x = x0 + at ( t ∈ R ) Cách Nếu (d) có pt y = y0 + bt - Bước Gọi H hình chiếu M (d) H(x0+at; y0 + bt) - Bước Vì MH ⊥ (d ) ⇒ MH u = Suy tọa độ H Chú ý: Nếu M không thuộc (d) với toán tìm tọa độ điểm H thuộc (d) cho MH ngắn H hình chiếu vuông góc M (d) Bài tập Cho (d): 3x + 4y – 12 = M(7;4) a Tìm hình chiếu M (d) b Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua (d) x = 4t (t ∈ R ) Bài Cho M(3;-1) (d): y = + 3t a Tìm tọa độ điểm H thuộc (d) cho MH bé b Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua (d) Dạng Đường thẳng (d1) đối xứng với (d2) qua (d) Khả d2//d Khi đó: cd= ½ (cd1+cd2) Khả d2 d cắt Bước Tìm giao điểm I d2 với d Gv Lê Văn Thọ 0973452517 Chuyên đề Đường thẳng mặt phẳng Bước Lấy A thuộc d2 tìm A’ đối xứng với A qua (d) đường (d1) qua I A’ BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1.Lập pt cạnh tam giác ABC B(-4;-5) hai đường cao có pt (d1): 5x + 3y – = 0; (d2): 3x + 8y +13 = (ĐS: AB: 8x -3y + 17 = 0; (BC): 3x – 5y -13 = 0; AC: 5x +2y – = 0) Bài Tam giác ABC có pt cạnh AB là: 5x – 3y + = 0, đường cao qua đỉnh A B (d1): 4x -3y + = (d 2): 7x +2y – 22 = Lập pt hai cạnh AC, BC đường cao thứ ba (ĐS: AC: 2x – 7y – = BC: 3x + 4y – 22 = 0; hC 3x + 5y – 23 = 0) Câu (ĐHVH – 98) Lập pt cạnh tam giác ABC biết C(4;-1) đường cao đường trung tuyến kẻ từ đỉnh có pt tương ứng: (d1): 2x – 3y + 12 = (d2): 2x + 3y = (ĐS: AB: 9x + 11y +5 = 0; BC: 3x + 2y – 10; AC: 3x + 7x – = 0) Câu Viết pt cạnh tam giác ABC biết A(1;3) hai trung tuyến có pt x – 2y + = y – = ĐS: AB: x + 2y – = 0; BC: x – 4y – = 0; AC: x – y + = Câu Cho tam giác ABC biết A(1;3); B(5;1); C(-3;1) a Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC b Tìm tọa độ điểm K đối xứng với H qua BC 13 31 - 47 545 ; ĐS: H( ;− ; K 3 3 51 51 Câu (ĐHTM 2000) Cho tam giác ABC biết A(2;-1) hai đường phân giác góc B, C có pt (dB): x – 2y + = (dC): x + y + = Lập pt cạnh BC? (HD: Nếu lấy A1; A2 theo thứ tự điểm đối xứng A qua hai đường phân giác thi (BC) qua A1; A2 ĐS: BC: 4x – y + = 0) Câu Cho tam giác ABC biết (BC): 4x – y + = 0; Và hai đường phân giác góc B C có pt (dB): x – 2y + = (dC): x + y + = Lập pt cạnh AB AC? HD Ta có AB đối xứng với BC qua (dB) nên AB: 8x + 19y + = 0; Câu Cho hình bình hành ABCD biết pt (AB): 2x – y = 0; (AD): 4x – 3y = tâm I(2;2) Lập pt cạnh BC CD HD BC đối xứng với AD qua I (BC): 4x – 3y – = 0; (CD): 2x – y – = 0) Câu Trên mp(Oxy) cho A(2;-2) Viết pt đường thẳng (d) qua M(3;1) cắt trục Ox; Oy B C cho ABC cân x y x y =1 HD (d) dạng pt đoạn chắn (d1 ) : + = 1; (d ) : + 2 −2 Câu 10 Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3) a Giả sử hai đường cao (BH): 5x + 3y -25 = 0, (CK): 3x + 8y – 12 = Viết pt (BC)? b Giả sử đường trung trực AB (d): 3x + 2y – = G(4;-2) trọng tâm tam giác ABC Xác định tọa độ B C? HD a (BC): 5x + 2y – 20 =0; b B(5;1) C(8;4) Câu 11 Cho (d1): x + y + = (d2): x + 2y – = A(2;3) Tìm B thuộc (d 1) C thuộc (d2) cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0)? HD Chuyển (d1) (d2) dạng tham số B(-1;4); C(5;1) Câu 12 Cho (d1): x – y + = 0; (d2): 2x + y + = điểm M(2;1) Viết pt đường thẳng (d) qua M cắt (d1) (d2) A B cho M trung điểm AB HD Chuyển pt tham số (d): 5x – 2y – = Câu 13 Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;-7) pt đường cao trung tuyến vẽ từ hai đỉnh khác có pt là: 3x + y + 11 = 0; x + 2y + = Viết pt cạnh tam giác ABC? Gv Lê Văn Thọ 0973452517 Chuyên đề Đường thẳng mặt phẳng HD AB: 4x + 3y + 13 = 0; AC: x – 3y – 23 = 0; (BC): 7x + 9y + 19 = Câu 14 Cho tam giác ABC có A(1;2), đường trung tuyến (BM): 2x + y + = phân giác (CD): x + y – = Viết pt BC? HD C thuộc CD nên C(t;1-t) M trung điểm AC M thuộc (BM) nên C(-7; 8) Gọi K điểm đối xứng với A qua CD K(-1;0) BC qua C K nên có pt 4x + 3y + = Câu 15 Cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết A(1;0); B(02) giao điểm I hai đường chéo nằm y = x Tìm tọa độ C D HD Diện tích hình bình hành đáy nhân chiều cao 8 2 Đáp số C ( ; ); D ; C(-1;0) ; D(0;-2) 3 3 3 Câu 16.Cho A(0;6); B(2;5) Tìm (d): x – 2y + = điểm M cho: a MA + MB có giá trị nhỏ b MA − MB có giá trị nhỏ Giải Đặt f(x) = x – 2y + Ta có f(A).f(B) > nên A, B nằm phía với (d) Gọi A’ điểm đối xứng A qua (d) Ta có MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B cố định Vậy min(MA + MB) = A’B đạt A’; M; B thẳng hàng Khi M giao điểm (A’B) (d) 11 11 A’(4;-2) M ; 4 9 Ta có MA − MB ≤ AB (cố định) nên max MA − MB =AB đạt M;A;B thẳng hàng Với M giao điểm (AB) (d) M(5; 7/2) Câu 17 (KA – 09) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có I(6;2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1;5)thuộc đường thẳng AB trung điểm E CD thuộc đường thẳng (d): x + y – = Viết pt (AB)? HD Gọi N điểm đối xứng M qua I N(11;-1) N thuộc CD (AB): y – = x – 4y + 19 = Câu 18 (KB – 09) Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC cân A có A(-1;4) đỉnh B, C thuộc (d): x – y – = Xác định tọa độ B C biết diện tích tam giác ABC 18 − 11 11 − B ( ; ); C ; ĐS B ; ; C ; 2 2 2 2 1 Câu 19 Cho tam giác ABC cân A có trọng tâm G ; , pt cạnh (BC) x – 2y – = 3 0; (BG): 7x – 4y – = Tìm tọa độ đỉnh A;B;C? HD A(0;3); B(0;2) C(4;0) Câu 20 (KA – 08) mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành điểm B thuộc trục tung cho A, B đối xứng với qua (d): x – 2y + = ĐS A(2; 0); B(0;4) Câu 21 (KB – 08) Xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc C (AB) điểm H(-1;-1), đường phân giác góc A có pt x – y + = đường cao kẻ từ B có pt 4x + 3y – 1= Gv Lê Văn Thọ 0973452517