Đang tải... (xem toàn văn)
... (14.3.1 2) Ta gọi gi (i=1, 2) thông số buồng cộng hưởng, thỏa mãn điều kiện (14.3.1 2) buồng cộng hưởng bền Nếu (0〉 g1 g )or ( g1 g 〉 1) buồng cộng hưởng không bền Minh họa cho buồng cộng hưởng không... gương buồng cộng hưởng Nếu tia sáng trì buồng cộng hưởng, buồng cộng gọi bề, sau số lần phản xạ mà tia sáng thoát khỏi buồng cộng hưởng ta gọi buồng cộng hưởng không bền ví dụ hình(14.1b) Nói chung,... hưởng bền sau: Buồng cộng hưởng phẳng song song R1 = R2 = ∞ g1 g = Buồng cộng hưởng cầu (đồng tâm) R1 = R2 = L g1 g = Buồng cộng hưởng bán cầu R1 = ∞; R2 = L g1 g = Buồng cộng hưởng đồng tiêu
LASER RESONATORS 1.Giới thiệu Chúng ta biết buồng cộng hưởng laser hai gương phẳng có hệ số phản xạ cao và song song với nhau, cách nhau một khoảng cách là L. Chúng ta chỉ quan tâm đến tính chất quan trọng của buồng cộng hưởng laser đó là các mode dọc theo buồng cộng hưởng vớI tần số c/2L. Chúng ta không quan tâm đến trường bên trong buồng cộng hưởng biến đổi theo hướng ngang so với đường thẳng nối tâm của các gương. Thực tế, chúng ta giả sử trường bên trong mọi mặt phẳng vuông góc với trục quang đều là đồng nhất. Trong phần này chúng ta sé xem xét một số đặc trưng quan trọng của các buồng cộng hưởng laser thực, bắt đầu xem xét dựa trên lý thuyết quang hình học, tiếp đến chúng ta mô tả dựa trên hệ phương trình Maxwell. Buồng cộng hưởng laser được nghiên cứu chủ yếu dựa trên giả thiết rằng môi trường laser là môi trường thụ động. Các mode điện từ của buồng cộng hưởng laser giả sử là tương tự như đối với buồng cộng hưởng không có môi trường khuếch đạI, đồng thời hằng số khuếch đại và chiết suất của môi trường là không thay đổI khi tia sang truyền qua môi trường. Điều này cho phép chúng ta coi buồng cộng hưởng độc lập so vớI môi trường laser. Thật may mắn thông thường đó là phép xấp xỉ khá chính xác. Trên hình 1.a chỉ ra tia sang vuông góc với các gương của buồng cộng hưởng, các gương này song song vói nhau và phẳng. Tia sáng sẽ duy trì việc vẽ lại thông qua các phản xạ lien tiếp từ các gương cộng hưởng. Tuy nhiên tia sáng sẽ đi ra ngoài nếunhư hai gương không song song vớI nhau hoàn toàn. Buồng cộng hưởng vớI độ song song của các gương càng kém thì cần hệ số khuếch đạI càng lớn. Buồng cộng hưởng gương cầu được dùng trong thương mại khá phổ biến a b Hình 14.1 Buồng cộng hưởng với các gương phẳng song song 2.Ma trận tia Trong quang hình học, sự truyền ánh sang mô tả theo thuật ngữ tia. Chúng ta có thể định nghĩa một tia sáng tại mỗi điểm nằm trên sóng như là một mũi tên vuông góc với mặt sóng tại điểm đó và có hướng mũi tên ra phía ngoài. Chúng ta giả sử rằng hướng của tia sang là hướng của dòng năng lượng. Chiều dài của tia sáng không có ý nghĩa vật lý, mà nó chỉ mô tả hướng truyền của tia sáng đó sáng. Khi chúng ta xét bức tranh tia này chúng ta đã bỏ qua sự phân cực của sóng ánh sáng. Bức tranh tia sáng đó không đầy đủ nhưng nó lại có ý nghĩa vật lý thực tế. Trong chương này chúng ta sẽ phát triển một hình thức luận hữu ích cho quá trình truyền tia sáng, hình thức luận được đưa ra phù hợp cho việc mô tả các chùm tia Gaussian. Trong các trường hợp thực tiễn, chúng ta quan tâm xem xét một cách chi tiết đốI với các sóng ánh sáng được truyền nhiều hoặc ít hơn một hướng độc lập, chúng ta gọi là hướng z. Các tia sáng mà chúng ta hình dung hầu hết là song song với trục z. Tại một điểm bất kỳ trên sóng chúng ta tưởng tượng một tia sáng có độ dịch chuyển là r(z), được đo từ trục z với độ dốc: r ′( z ) = dr / dz Do sự xấp xỉ của ta là sự truyền đồng nhất theo một hướng z, hệ số góc r ′(r ) của tia sẽ rất nhỏ, nên: r ′(r ) = tan θ ≈ sin θ ≈ θ θ θ ≅ r ′( z ) = dr / dz r ′(z ) Hình14.4 Tia sáng được đặc trưng bằng ly độ r và hệ số góc r ′ Tia này được đặc trưng bởi độ dịch chuyển r và hệ số góc r ′ được đo từ vài trục z. Những tia như vậy được gọi là các tia đồng trục. Chúng ta sẽ giả sử định nghĩa định nghĩa tuyệt đối độ dịch chuyển r và hệ số góc r ′ , chúng ta có đối xứng trụ theo trục z. Hệ số góc của một tia có thể là dương hoặc âm phụ thuộc vào ly độ r tăng hoặc giảm theo hướng truyền. Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra mối liên hệ giữa ly độ và hệ số góc của tia ở điểm z vớI ly độ và hệ số góc ở điểm z ′ . Chẳng hạn ta xét trường hợp đơn giản truyền ta sáng trong chân không từ z1 tới z2, trong chân không không có sự thay đổi hướng của tia sáng. r ( z 2 ) = r ( z1 ) + r ′( z1 )( z 2 − z1 ) r ′( z1 ) = r ′( z 2 ) Trong kí hiệu ma trận chúng ta có thể viết lại (14.2.3) như sau (14.2.3) r ( z 2 ) 1 z 2 − z1 r ( z1 ) r ′( z ) = 0 1 r ′( z1 ) 2 r(z1) z1 (14.2.5) r(z2) z2 Hình 14.5 Sự biến đổi của tia sáng là kết quả của quá trình truyền tự do qua khoảng cách z 2 và phương trình (14.2.5) liên hệ với tia cuối: r f r(z 2 ) = r f′ r ′(z 2 ) (14.2.6) ri r(z1 ) r ′ = r ′(z ) i 1 (14.2.7) và tia đầu Vì thế, theo phương trình (14.2.5) thì tia sáng truyền trong chân khoảng cách là d=z2-z1 được mô tả bằng phương trình ma trận như sau: r f 1 d ri = r f′ 0 1 ri′) (14.2.8) Nếu ly độ và hệ số góc của tia ban đầu được xác định thì phương trình trên cho chúng ta biết tia sáng sẽ bị biến đổi như thế nào khi truyền qua khoảng cách d. Sau đây chúng ta xét một ví dụ thú vị về sự chuyển đổi của tia sáng đồng trục bằng thấu kính mỏng có tiêu cự f, khi đó ta có: r f = ri (14.2.9) Tuy nhiên hệ số góc của tia sáng được thay đổi bằng các thấu kính, thừ phương trình liên hệ các khoảng cách của vật và ảnh với tiêu cự của các thấu kính mỏng, chúng ta thu được: r f′ = ri′ − ri f (14.2.10) 1 1 1 + = d0 di f r f′ < 0 ri′ > 0 d0 di Hình 14.6 Sự truyểm đổi tia sáng bằng các thấu kính mỏng Từ hai phương trình trên ta biểu diẽn dưới dạng ma trận như sau: r f 1 = − 1 r f′ f 0 ri 1 ri′ (14.2.11) Đối với gưong cầu có bán kính cong R, ta cũng có r f = ri , nhưng hệ số góc lại khác: r f′ = ri′ − 2ri R (14.2.12) Tuy nhiên ma trận biểu diễn: 0 ri r f 1 = − 2 r f′ R 1 ri′ (14.2.13) Nói chung một yếu tố quang học sẽ chuyển đổi một tia sáng theo phương trình ma trận sau: r A B ri r ′ = C D r ′ i (14.2.14) Ma trận phía phải của phương trình gọi là ma trận tia hoặc ma trận ABCD cho các thành pần quang học.Trên đây ta chỉ xem xét các ma trận tia cho tiết diện thẳng có chiều dài d, thấu kính mỏng tiêu cự f và gương cầu bán kính R tương ứng. Sau đay chúng ta xét hiệu ứng chuyển đổi tia đối với tiết diện mở có chiều dài d, thấu kính mỏng có tiêu cự f. Ta có: r 1 d ri r ′ = 0 1 r ′ i r f 1 = − 1 r f′ f (14.2.15) 0 r 1 = 1 r ′ − 1 f 0 1 d ri 1 = 1 0 1 ri′ − 1 f d ri 1 − d ri′ f Ma trận 1 − 1 f d 1 = 1 − d − 1 f f 0 1 d 1 0 1 Là ma trận của sự kết hợp hệ quang học của tiết diện mở có chiều dài d và thấu kính mỏng tiêu cự f. 3.Buồng cộng hưởng bền Một trong những vấn đề đơn giản nhất nhưng quan trọng nhất liên quan đến buồng cộng hưởng laser đó là nghiên cứu tính bền của nó. Để tìm hiểu vấn đề này, trước hết chúng ta xét một tia sáng đồng trục bất kỳ được phản xạ qua lại giữa các gương trong buồng cộng hưởng. Nếu tia sáng duy trì trong buồng cộng hưởng, thì buồng cộng gọi là bề, nếu sau một số lần phản xạ nào đó mà tia sáng thoát ra khỏi buồng cộng hưởng thì ta gọi đó là buồng cộng hưởng không bền ví dụ hình(14.1b) Nói chung, tiêu chuẩn cho một buồng cộng hưởng bền chúng ta có thể biểu diễn theo các bán kính cong của các gương và khoảng cách giữa các gương. Sau đây chúng ta sẽ xuất phát từ tiêu chuẩn bề dựa trên ma trận ABCD. Xét buồng cộng hưởng với các gương cong có bán kính lần lượt là R1 và R2 quay mặt vào nhau, cách nhau một khoảng là L: R2 R1 Hình 14.3 Chúng ta xét trường hợp gương cong lồi, chúng ta qui ước các gương này có bán kính là âm. Chúng ta còn có thể coi các gương phẳng như là các gương cầu có bán kính vô hạn. chúng ta tưởng tượng tia sáng bắt đầu từ gương bên trái, sau khi kết thúc một vòng quanh buồng cộng hưởng, tia sáng này sẽ được chuyển đổi bởi một tiết diện thẳng có chiều dài L, gương cầu có bán kính cong là R1, tiết diện thẳng còn lại có chiều dài tương ứng L với bán kính cong R2. Ma trận tia mô tả sự chuyển đổi tia trong một chu trình vòng quanh buồng cộng hưởng như sau: A B 1 C D = − 2 / R 1 0 1 L 1 1 0 1 − 2 / R2 0 1 L 1 0 1 (14.3.1) Sau N vòng lần đi quanh buồng cộng hưởng, tia sáng xuất phát với ly độ r i và ri′ được chuyển đổi thành tia với độ dịch chuyển rN và rN′ . N rN A B ri r ′ = C D r ′ i N (14.3.2) Nếu ma trận tia (ABCD) được xác định theo (14.3.1) thì nó sẽ thỏa mãn điều kiện sau: AB-BC=1 (14.3.3) Sử dụng đẳng thức này ta định nghĩa góc θ : cos θ = 1 ( A + D) 2 (14.3.4) Ma trận ABCD được biểu diễn dưới dạng tổng quát như sau: N A B 1 A sin Nθ − sin( N − 1)θ C D = sin θ C sin Nθ B sin Nθ (14.3.5) D sin Nθ − sin( N − 1)θ Chú ý: Ma trận thỏa mãn (14.3.5) gọi là định lý Sylvester, ta có thể chứng minh nó bằng định lý qui nạp. Từ trên ta có: rN 1 A sin Nθ − sin( N − 1)θ r ′ = C sin Nθ N sin θ B sin Nθ ri (14.3.9) D sin Nθ − sin( N − 1)θ ri′ Trong đó: cosθ = 1 L L L L2 1 − 2 +1− 2 −4 +4 2 R2 R2 R1 R1 R2 L L L2 = 1 − 2 −2 +2 R2 R1 R1 R2 (14.3.10) Phương trình (14.3.9) xác định độ dịch chuyển và hệ số góc của tia sau khi thực hiện N vòng quanh buồng cộng hưởng. Chúng ta thấy rằng rN và rN′ hữu hạn khi θ là thực, nếu θ là ảo thì sin Nθ = ( e iNθ − e −iNθ ) / 2i sẽ rất lớn khi N lớn, và nó sẽ phân kỳ khi N → ∞ . Nói cách khác nếu rN không phải là giá trị thực thì nó sẽ phân kỳ, khi đó tia sáng sẽ thoát khỏi sự giam giữ của buồng cộng hưởng. Vì thế điều kiện để có buồng cộng hưởng bền là θ phải có giá trị thực, mà nó có ý nghĩa cosθ ≤ 1 , hoặc từ (14.3.10): Đặt : g1 = 1 − L L ; g2 = 1− R1 R2 Ta minh họa cho các buồng cộng hưởng bền như sau: Buồng cộng hưởng phẳng song song R1 = R2 = ∞ g1 g 2 = 1 Buồng cộng hưởng cầu (đồng tâm) R1 = R2 = L 2 g1 g 2 = 1 Buồng cộng hưởng bán cầu R1 = ∞; R2 = L g1 g 2 = 0 Buồng cộng hưởng đồng tiêu R1 = R2 = L g1 g 2 = 0 Buồng cộng hưởng bán đồng tiêu R1 = ∞; R2 = 2 L g1 g 2 = 1 / 2 Hình 14.8: Một số loại buồng cộng hưởng bền (14.3.11) Ta viết lại điều kiện buồng cộng hưởng L L L2 ≤ 0 laser là bề như sau: − 2 ≤ 1 − 2 −2 +2 R R R R 2 1 1 2 L L L2 ≤1 − 1 ≤ 1 − 2 −2 +2 R2 R1 R1 R2 L L L2 0 ≤ 1 − 2 −2 +2 R2 R1 R1 R2 ≤ 1 0 ≤ g1 g 2 ≤ 1 (14.3.12) Ta gọi gi (i=1,2) là các thông số của buồng cộng hưởng, nếu thỏa mãn điều kiện (14.3.12) thì buồng cộng hưởng là bền. Nếu (0〉 g1 g 2 )or ( g1 g 2 〉1) thì buồng cộng hưởng là không bền. Minh họa cho buồng cộng hưởng không bền: R1 = R2 = L / 3 g1 g 2 = 4 R1 = R2 = − L g1 g 2 = 4 R1 = L / 2; R2 = − L g 1 g 2 = −2 R1 = − L; R2 = ∞ g1 g 2 = 2 Hình 14.9: Một số loại buồng cộng hưởng không bền Cách tiếp cận bằng ma trận tia cho phép chúng ta kiểm tra được ngay trực tiếp xem buồng cộng hưởng có phải bền hay không mà không cần phải xem vết của tia sáng đi như thế nào. Một buồng cộng hưởng bền hay không bền phụ thuộc vào các bán kính cong của các gương và khoảng cách giữa chúng. Việc phân tích tính bền trên đây chúng ta đã giả sử các gương phản xạ là lý tưởng. Trong thực tế, một phần năng lượng sẽ được chứa trong trường laser bên trong buồng cộng hưởng do các gương phản không phải tuyệt đối. Như chúng ta đã biết trong buồng cộng hưởng sẽ bị mất mát do các quá trình cơ học gây nên như hiệu ứng liên kết ngoài, tán xạ hoặc hấp thụ. Bởi vì yếu tố mất mát nói chung, buồng cộng hưởng không bền nói riêng thì môi trường cần hệ số khuếch đại cao hơn để duy trì dao động laser. Chính vì vậy buồng cộng hưởng không bền trong thực tế là không thể tránh được, ngược lại buồng cộng hưởng không bền đem lại nhiều lợi ích trong các loại laser công suất cao xác định. 4. Phương trình sóng đồng trục Rất nhiều các tính chất quan trọng của các loại buồng cộng hưởng laser là những hệ quả của bản chất ánh sáng. Để hiểu biết một cách toàn diện về buồng cộng hưởng laser chúng ta phải sử dụng hệ phương trình Maxwell. Trong chương này chúng ta sẽ khảo sát lời giải xấp xỉ phương trình Maxwell nhằm đưa ra những tính chất quan trọng của các buồng cộng hưởng laser. Trước hết chúng ta nhớ lại pphương trình sóng cho trường điện trong chân không: ∇ 2 E ( r, t ) − 1 ∂2 E( r, t ) = 0 c 2 ∂t 2 (14.4.1) Chúng ta đã viết phương trình sóng vô hướng thay cho phương trình véc tơ đầy đủ. chính vì thế chúng ta sẽchỉ nghiên cứu cho hiệu ứng nhiễu xạ và giao thoa của bức xạ bên trong buồng cộng hưởng mà không xét đến các hiệu ứng phân cực. Dĩ nhiên nếu việc nghiên cứu dựa trên mô hình véc tơ thì hoàn toàn chính xác, nhưng với mục đích của chúng ta thì mô hình vô hướng cũng phù hợp rất tốt Chúng ta sẽ tính toán lời giải của (14.4.1) dưới dạng trường đơn sắc sau: E ( r , t ) = ε ( r ) e − iωt (14.4.2) Thay vào (14.4.1) chúng ta nhận được phương trình Helmholtz cho ε ( r ) ∇ 2ε ( r ) + k 2ε ( r ) = 0 k =ω (14.4.3) 2 c 2 Lời giải của (14.4.3) được viết dưới dạng sau: ε ( r ) = ε 0 e ikr (14.4.5) Trong đó ε 0 là hằng số và k là một véc tơ sóng được xác định bởi (14.4.3). Lời giải có thể được viết như sau: ε (r) = A ikr e r (14.4.6) Lời giải này có cùng giá trị tại tất cả các điểm nằm trên mặt cầu, có nguồn điểm là gốc tọa độ, chính vì vậy nó gọi là sóng cầu: Ta xét lời giải sóng cầu trong mặt phẳng z như sau: ( r= x +y +R 2 2 2 ) 1 2 x2 + y2 = R1 + R 2 1 2 (14.4.7) Nếu khe quan sát là rất nhỏ ( x ≈ 0, y ≈ 0 ,z=R), thì ta thấy x 2 + y 2 là rất nhỏ so với R2 Khi đó ta có: x2 + y2 1 + R 2 1 2 ≈ 1+ x2 + y2 2R 2 (14.4.8) Theo khai triển nhị thức ta có: kr ≈ kR + ( k x2 + y2 2R ) (14.4.9) Chính vì vậy trường trong mặt phẳng z=R trong vùng lân cận x ≈ 0, y ≈ 0 là: ε (r) = A ikR ik ( x 2 + y 2 ) / 2 R e e R (14.4.10) Chú ý rằng chúng ta đã thay thế một cách đơn giản r bằng R cho giá trị xấp xỉ của A/r trong (14.4.6). Trong yếu tố e ikr , tuy nhiên chúng ta giữ lại trong (14.4.10) cả hai đại lượng ở vế tay phải của (14.4.9). Điều này là cần thiết bởi vì, mặc dù (x 2 + y2 ) 2R có thể rất nhỏ so với R nhưng nó lại không nhất thiết phải rất nhỏ so với bước sóng λ = 2π k , vì vậy đại lượng thứ hai trong (14.4.9) không thể bỏ qua trong e ikr . Để cho (14.4.10) là phép xấp xỉ tốt thì đại lượng thứ hai trong khai triển nhị phân của r phải rất nhỏ so với bước sóng. Tức là: a2 R [...]... Trong đó q0=q( 0); p( 0)= 0 Bởi vì q có thể là phức, chúng ta viết 1 1 iλ = + (14.5.1 1) q ( z ) R ( z ) πω 2 ( z ) Với R và ω là thực, để thu được (14.5. 3) chúng ta cho R→ ∞ , khi đó q(z) hoàn toàn là giá trị ảo, với q viét theo cách này chúng ta có: e ik ( x 2 + y2 ) / 2q( z ) = e ik ( x 2 + y2 ) / 2R( z) e −( x 2 + y 2 ) / 2ω 2 ( z ) (14.5.1 2) Sử dụng (14.5.10-1 1) chúng ta có: e ip ( z ) p = exp(− ln... ( ) Bởi vậy mà chúng ta có: k 2 2 ∂ε 0 dq i ik ( x dq 2 ∇ T ε 0 + 2ik = A 2 ( x + y 2 ) − 1 − 2k − e ∂z dz q dz (14.5. 5) 2 + y 2 ) / 2 q ( z ) ikp ( z ) q e (14.5. 6) Chính vì vậy dạng (14.5. 2) là lời giải của (14.4.1 9) nếu p(z) và q(z) thỏa mãn điều kiện sau dq =1 dz dq i = dz q (14.5.7- 8) Hệ này cho lời giải như sau: q( z ) = q0 + z p ( z ) = i ln q0 + z q0 (14.5.9-1 0). .. (14.5.1 4) cho phép chúng ta viết (14.5.1 3) như sau: Trong đó: z 0 = e ip ( z ) p = Trong đó: 1 1 = e − iΦ ( z ) 2 2 1 + iz / z 0 1+ z / z 0 (14.5.2 0) Φ ( z ) = tan −1 ( z / z 0 ) (14.5.2 1) Với kết quả này phương trình (14.5.1 2) chúng ta có thể viết lời giải của phương trình sóng đồng trục dưới dạng như sau: ε0 (r) = Ae −iΦ ( z ) 1 + z 2 / z 20 e ik ( x 2 + y2 ) / 2 R( z) e −( x 2 + y 2 ) / 2ω 2 ( z ) (14.5.2 2). .. Gaussian Các chùm laser luôn luôn được quan sát có công tua cường độ giống như (14.5. 1), theo đó chúng ta sẽ đưa ra lời giải cho (14.9. 9) có dạng như sau: 2 ε 0 ( r ) = Ae ik ( x 2 ) + y 2 / 2q( z ) 2 e ip ( z ) 2 (14.5. 2) Trong đó A là hằng số và q(z), p(z) được xác định Chú ý rằng nếu: 1 / q = 2i /(kω 2 ) = iλ /(πω 2 ) (14.5. 3) Thì ta sẽ nhận được công tua cường độ chùm Gausian (14.5. 1) Giả sử lời giải... 1 + z (1 / q 0 ) 1 + izλ / πω 0 1 + λz / πω 0 2 2 ( 1 iλ = + R ( z ) πω 2 ( z ) ) ) 2 2 (14.5.1 6) Tách phần thực và phần ảo, chúng ta nhận được: R( z ) = z + z0 z 2 ω( z) = ω0 1 + z (14.5.17-1 8) 2 z0 2 πω 0 2 (14.5.1 9) λ Thông số mới này được biết đến như là khoảng Rayleigh, nó được mô tả dưới đây như sau Thuật ngữ thông biến đổi thông số đồng tiêu (chính xác là hai khoảng rayleigh ) được sử dụng để... (14.4.1 5) Trường (14.4.1 3) phải thỏa mãn phương trình Helmholz: ∂2 ∂2 ∂2 2 + 2 + 2 ε 0 ( r ) e ikr + k 2 ε 0 ( r ) e ikr = 0(14.4.1 6) ∂y ∂z ∂x ∂ε 0 2 ∂2 ∂ε ikr 2 ε 0 ( r ) e = 2 + 2ik 0 − k 2 ε 0 e ikr ∂z ∂z ∂z ∂ε ≈ 2ik 0 − k 2 ε 0 e ikr ∂z (14.4.1 7) Trong phếp xấp xỉ (14.4.1 5) , và vì thế từ (14.4.1 6) chúng ta có ∂2 ∂2 ∂ 2 + 2 + 2ik ε 0 ( r ) =... (14.5. 2), trong đó q phụ thuộc vào z, chúng ta giả thiết rằng độ rộng của chùm tia biến đổi theo khoảng cách truyền, mà thực tế nó cũng xảy ra trong các chùm tia Gaussian Đối với hàm (14.5. 2) chúng ta có: dp k ∂ε 0 1 dq ik ( x 2 + y 2 ) / 2 q ( z ) ip ( z ) e = iA − x 2 + y 2 2 e (14.5. 4) ∂z q dz dz 2 ( ) và 2 2 2ik k 2 2 ∇ T2 ε 0 = A − 2 x + y 2 e ik ( x + y ) / 2 q ( z ) e ikp ( z ). .. )= = = (14.5.1 3) q0 q 0 + z 1 + z / q 0 1 + z / R0 + iλzω 0 2 R0 và z0 là các giá trị cảu R và z tại giá trị z=0 Nếu R0 và ω0 biết trước thì (14.5. 9) và (14.5.1 1) cho ta R(z) và ω(z) theo z Vì chúng ta chọn z=0 là bất kỳ, nên chúng ta chọn z=0 sao cho R0 lớn vô hạn R0 = ∞ 1 iλ = q 0 πω 0 2 (14.5.14-1 5) Từ (14.5. 9) chúng ta có: ( 1 / q0 iλ / πω 0 iλ / πω 0 + 1 / z λz / πω 0 1 1 = = = = 2 2 2 q ( z ). .. 2 R( z) e −( x 2 + y 2 ) / 2ω 2 ( z ) (14.5.2 2) Với A là hằng số, còn R(z) và ω(z), z0 thỏa mãn (14.5.17-14.5.1 9) Ta nhân (14.5.2 2) với eik chúng ta thu được biểu thức đầy đủ (14.4.1 3) cho cho lời giải tương tự chùm sóng đối với phương trình sóng Lời giải (14.5.2 2) có công tua cường độ Gaussian (14.5. 1) trong mặt phẳng bất kỳ z=constant Độ rộng khe ω(z) có giá trị nhỏ nhất ω0 trong mặt phẳng z=0, và... trong (14.4. 9) không thể bỏ qua trong e ikr Để cho (14.4.1 0) là phép xấp xỉ tốt thì đại lượng thứ hai trong khai triển nhị phân của r phải rất nhỏ so với bước sóng Tức là: a2 R