Đề Thi HSG Toán 7 ( Có đáp án )

Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn Câu 3. Cho đa thức 9 nhỏ 10 11 P ( x ) = x + 2mx + m Q ( x ) = x + (2m+1)x + m Tìm m biết P (1) = Q (-1) Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết: x y a/ = ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b/ = = 12 5x 4x Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A = x + +5 B= x + 15 x2 + Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC. a. Chứng minh: DC = BE DC BE b. Gọi N trung điểm DE. Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME ABC = EMA c. Chứng minh: MA BC Đáp án đề toán Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a a => a = 0; 1; 2; ; * a = => a = * a = => a = a = - * a = => a = a = - * a = => a = a = - * a = => a = a = - Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn Gọi mẫu phân số cần tìm x Ta có: 9 nhỏ 10 11 9 63 63 63 < < < < => => -77 < 9x < -70. Vì 9x M9 => 9x = -72 10 x 11 70 x 77 => x = Vậy phân số cần tìm Câu 3. Cho đa thức P ( x ) = x + 2mx + m Q ( x ) = x + (2m+1)x + m Tìm m biết P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + Q(-1) = 2m +m2 = m2 2m Để P(1) = Q(-1) m2 + 2m + = m2 2m 4m = -1 m = -1/4 Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết: x y x y xy 84 a/ = ; xy=84 => = = = =4 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = Do x,y dấu nên: x = 6; y = 14 x = -6; y = -14 b/ 1+3y 1+5y 1+7y = = 12 5x 4x áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 1+3y 1+5y 1+7y + 7y 5y 2y + 5y 3y 2y = = = = = = 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 => 2y 2y = x x 12 => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = vào ta đợc: 1+ 3y y = = y 12 =>1+ 3y = -12y => = -15y => y = 15 Vậy x = 2, y = thoả mãn đề 15 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A = x + +5 Ta có : x + 0. Dấu = xảy x= -1. A 5. Dấu = xảy x= -1. Vậy: Min A = x= -1. B= ( ) 12 x + 15 x + + 12 = =1+ 2 x +3 x +3 x +3 Ta có: x 0. Dấu = xảy x = x + ( vế dơng ) 12 12 12 12 1+ 1+ x +3 x +3 x +3 B Dấu = xảy x = Vậy : Max B = x = 0. Câu 6: a/ Xét ADC BAF ta có: DA = BA(gt) AE = AC (gt) DAC = BAE ( 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE Xét AIE TIC I1 = I2 ( đđ) E1 = C1( => EAI = CTI DAC = BAE) => CTI = 900 => DC b/ Ta có: MNE = BE AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1) Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( phía ) mà BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( ) Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) (3) => ( đpcm) c/ Kéo dài MA cắt BC H. Từ E hạ EP Xét AHC EPA có: CAH = AEP ( phụ với gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( => AHC = ABC = EPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA BC (đpcm) EMA câu b) MH ABC = EMA . AC = AE (gt) ( 3). Tõ (1 ) ,(2 ) vµ (3 ) => ABC = EMA ( ®pcm) c/ KÐo dµi MA c¾t BC t¹i H. Tõ E h¹ EP ⊥ MH XÐt AHC vµ EPA cã: CAH = AEP ( do cïng phô víi gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( do ABC. M 9 => 9x = -72 => x = 8 Vậy phân số cần tìm là 7 8 Câu 3. Cho 2 đa thức P ( ) x = x 2 + 2mx + m 2 và Q ( ) x = x 2 + (2 m+1)x + m 2 Tìm m biết P (1 ) = Q (- 1) P( 1) = 1 2 + 2m.1. Xét ADC và BAF ta có: DA = BA(gt) AE = AC (gt) DAC = BAE ( cùng bằng 90 0 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE Xét AIE và TIC I 1 = I 2 ( đ ) E 1 = C 1 ( do DAC = BAE) => EAI = CTI =>