Về quy tắc fermat trong bài toán cực trị từ toán sơ cấp đến toán cao cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THỦY VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠ

PHẠM THỊ THỦY

VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ

TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ THỦY

VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ

TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2015

Tôi xin cam đoan: Bản luận văn tốt nghiệp này là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, được thực hiện trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu khảo sát và phân tích từ thực tiễn dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH Lê Dũng Mưu

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận văn này là hoàn toàn trung thực và chưa được sử dụng để bảo vệ một học vị nào, phần tài liệu tham khảo được xếp đúng thứ tự và đủ các thông tin theo đúng yêu cầu

Thái Nguyên, ngày 24 tháng 03 năm 2015

Tác giả

Phạm Thị Thủy

Trang

Lời cam đoan……… i

Mục lục……… ii

Danh sách kí hiệu ……… iv

Lời nói đầu……… 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị……… 4

1.1 Tập lồi……… 4

1.2 Hàm lồi……… 5

1.3 Các phép toán bảo toàn tính lồi ……… …… 7

1.4 Bài toán tối ưu……… 7

1.5 Tính liên tục của hàm số ……….…… 9

1.6 Đạo hàm và ma trận Hessian……….…… 10

1.7 Ma trận xác định dương, nửa xác định dương ………… … 11

1.8 Bổ đề Farkas ……… 11

1.9 Nón pháp tuyến ……… …… 11

1.10 Dưới vi phân……… 12

Chương 2 Quy tắc Fermat trong bài toán cực trị……… 14

2.1 Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến không có ràng buộc……… 18

2.2 Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến có ràng buộc…… 22

2.4 Mở rộng nguyên lý Fermat cho hàm nhiều biến có ràng

Chương 3 Áp dụng giải một số bài toán phổ thông……… ….… … 39

3.1 Áp dụng cho bài toán cực trị hàm một biến……… 39

3.2 Áp dụng chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ

nhất của hàm số nhiều biến ……… … … ……… 43 Kết luận ……… … ………… 55 Tài liệu tham khảo……… … … 56

 Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới a

[a,b] Đoạn thẳng nối hai điểm a và b

., Tích vô hướng trong n

Lời nói đầu

Trong việc ứng dụng toán học vào các bài toán thực tiễn, các bài toán cực trị là một trong những dạng toán gần với những ứng dụng thực tế nhất Những yêu cầu về đường đi ngắn nhất, đường đi nhanh nhất, góc nhìn lớn nhất, tổng thời gian chờ đợi ít nhất, tổng chi phí ít nhất, tổng lợi nhuận cao nhất, diện tích lớn nhất … là những yêu cầu rất tự nhiên xuất phát từ những bài toán của sản xuất, đời sống và khoa học Chính vì thế những bài toán cực trị cần có một chỗ đứng xứng đáng trong chương trình toán ở phổ thông Các phương pháp giải bài toán cực trị cũng cần phải được trình bày một cách bài bản Trên phương diện phương pháp, có hai cách tiếp cận chính cho lời giải của các bài toán cực trị, đó

là phương pháp sử dụng bất đẳng thức và phương pháp hàm số Với phương

pháp bất đẳng thức, sơ đồ cơ bản là: Để chứng minh M là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên miền C, ta sẽ chứng minh

i) f(x)  M với mọi x thuộc C

ii) Tồn tại x 0 thuộc C sao cho f(x 0 ) = M

Phương pháp hàm số sẽ khảo sát hàm f(x) trên C và dựa vào các định lý của giải tích để tìm ra điểm cực trị và giá trị M Fermat – một luật sư, nhà toán

học người Pháp đã sử dụng công cụ đạo hàm để giải bài toán cực trị bằng cách đưa bài toán cực trị từ cách giải đánh giá bằng bất đẳng thức cần nhiều tư duy, mẹo mực về cách giải tự nhiên tìm điểm nghi vấn chỉ nhờ giải các phương trình (đối với hàm số một biến) và hệ phương trình (đối với hàm số nhiều biến)

Quy tắc Fermat là một công cụ mạnh, cho phép bài toán cực trị có được lời giải tự nhiên

Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu quy tắc Fermat trong từng bước phát triển của nó từ sơ cấp lên cao cấp, nhằm nâng cao kiến thức và khả năng trong

giảng dạy và nghiên cứu về toán tối ưu, có được cái nhìn tổng thế từ toán cao cấp vào toán sơ cấp

Nội dung luận văn được viết trong 3 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Một số kiến thức cơ bản về tập lồi, hàm lồi, hàm khả vi, điểm dừng… Chương 2 Quy tắc Fermat

Quy tắc Fermat và các ví dụ ứng dụng trong các trường hợp hàm số một biến, khả vi, không có ràng buộc, phát triển đến hàm một biến khả vi, có điều kiện ràng buộc, nâng cao lên hàm nhiều biến, khả vi, không ràng buộc, tổng quát nhất là bài toán hàm nhiều biến, không khả vi và có ràng buộc Sau mỗi bước phát triển ta đều có thể quay trở về bài toán sơ cấp trước đó bằng cách bổ sung thêm giả thiết Từ đó thấy được các bước phát triển của quy tắc Fermat, đồng thời cũng cho thấy cái nhìn của Toán cao cấp vào toán sơ cấp

Chương 3 Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải các bài toán phổ thông Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải các bài toán phổ thông, từ những bài toán đơn giản đến những bài toán nâng cao, từ cách giải áp dụng trực tiếp quy tắc đến việc sử dụng toán cao cấp định hướng cho cách giải trong chương trình phổ thông

Do thời gian và kiến thức có hạn nên chắc chắn luận văn này còn nhiều thiếu sót, kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp thu và hoàn thiện luận văn hơn nữa

Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Lê Dũng Mưu, Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn

Bên cạnh đó, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Khoa Toán Tin, trung tâm học liệu đã tạo điều kiện giúp tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn

Thái Nguyên, ngày 24 tháng 03 năm 2015

Học viên

Phạm Thị Thủy

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này chủ yếu nhắc lại một số khái niệm cơ bản về hàm lồi, tập lồi, các khái niệm cực tiểu cực đại, bài toán tối ưu, khái niệm đạo hàm, đạo hàm cấp hai Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5]

đoạn

 a b,      a 1 b| 0,1

là các tập lồi, đoạn  a b có hai điểm cực biên là x = a và x=b ,

Trong  các đa giác lồi, hình tròn, hình elip là các tập lồi 2

Trong  các khối đa diện, khối cầu là các tập lồi 3

   

Ta nói C là hàm chỉ của C Do C lồi nên C là một hàm lồi

3 Hàm mặt cầu Cho S:  x n| x  1 là một mặt cầu và h S:   là một hàm bất kỳ Định nghĩa hàm f như sau:

Hàm này được gọi là hàm mặt cầu và là một hàm lồi trên n

4 Hàm khoảng cách Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C được định

nghĩa bởi C : min

Hoặc    1

2 2 21

6 Hàm số một biến Hàm số f : a b,   khả vi cấp hai liên tục trên (a,b) và

có f" x    0 x  a b, thì lồi trên (a,b)

1.3 Các phép toán bảo toàn tính lồi

Cho f và g là hai hàm xác định trên C và không nhận giá trị  Với mọi

1.4 Bài toán tối ƣu

Bài toán tối ưu tổng quát được phát biểu như sau:

min f x :xC (P) hoặc max f x :xC (P’)

trong đó CX khác rỗng ( X là một không gian nào đó), thông thường

 n

Định nghĩa 1.4 Một điểm *

x C được gọi là cực tiểu địa phương của f trên C

(Nghiệm tối ưu địa phương của (P)) nếu tồn tại một lân cận U của *

x sao cho

 *  

f x  f x   x U C Điểm *

x C được gọi là cực đại địa phương (Nghiệm tối ưu địa phương của

(P’)) nếu

 *  

f x  f x   x U C

Nếu f x *  f x  x C thì x * được gọi là cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt

đối của f trên C (Nghiệm tối ưu toàn cục của (P))

Nếu  *  

f x  f x  x C thì x * được gọi là cực đại toàn cục hay cực đại tuyệt đối

của f trên C (Nghiệm tối ưu toàn cục của (P’))

Mệnh đề 1.2 Cho f : n       lồi Khi đó mọi điểm cực tiểu địa phương

trên một tập lồi đều là cực tiểu toàn cục Hơn nữa tập hợp các điểm cực tiểu của

f là một tập lồi Nếu f lồi chặt thì điểm cực tiểu nếu tồn tại, sẽ duy nhất

Chứng minh

C   Giả sử x * là điểm cực tiểu địa phương trên C của f Khi đó

tồn tại lân cận U của x *

Suy ra z * cũng là điểm cực tiểu của f trên C Chứng tỏ tập các điểm cực tiểu

của f trên C là lồi Dễ thấy rằng tập hợp này chỉ gồm nhiều nhất một điểm khi

f lồi chặt

Cực đại hàm lồi Các tính chất cực đại của một hàm lồi khác hẳn các tính

chất về cực tiểu của nó Cụ thể,cực đại địa phương của một hàm lồi không nhất thiết là cực đại tuyệt đối Ví dụ hàm   2

f x x có điểm cực đại địa phương trên [-1, 2] là x = -1, nhưng điểm cực đại tuyệt đối lại là x = 2 Nếu xét hàm này trên [-2,2] ta thấy các điểm cực đại tuyệt đối của nó trên đoạn này không lồi vì nó chỉ gồm 2 điểm 2 và -2 Dưới đây nếu không nói gì thêm thì ta hiểu cực đại là cực đại tuyệt đối

x C nếu với mọi  0, tồn tại  0 sao cho

   0     0 

f x  f x  f x  f x 

với mọi x C thỏa mãn xx n 

Nói cách khác, hàm số f là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại 0

x C nếu với mọi dãy n

x C hội tụ đến x , và dãy0 f x n  hội tụ, ta có

n f x f x n f x f x

Rõ ràng nếu f là nửa liên tục dưới tại 0

x Cthìf là nửa liên tục trên tại 0

x C Hàm f vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên tục dưới tại 0

x C thì liên tục tại điểm đó

Hàm f được gọi là liên tục (nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên) trên C

nếu nó liên tục (nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên) tại mọi điểm của C

Điểm x C là điểm dừng của f trên C lồi nếu

f x x , x   0, x C trong đó

1,

n T

j j j



 

Nói riêng, nếu f x 0 thì x là điểm dừng

1.7 Ma trận xác định dương, nửa xác định dương

p và ma trận A cấp mn, muốn cho ,p x 0 với mọi x

nghiệm đúng Ax 0 điều kiện cần và đủ là tồn tại vectơ m

Hiển nhiên 0N C x Dùng định nghĩa, kiểm tra được N C x là một nón lồi

đóng, nón này được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x Tập N C x được

gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x Hiển nhiên

vi, tiếp tuyến ở đây có thể không tồn tại duy nhất

Ký hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là f x  Nói chung đây là một tập (có thể bằng rỗng) trong n

 Khi f x   thì ta nói f khả dưới vi phân tại x Theo định nghĩa, một điểm *  

x f x khi và chỉ khi nó thỏa mãn một hệ vô hạn các bất đẳng thức tuyến tính Như vậy f x là giao của các nửa không gian đóng Vậy f x luôn là một tập lồi đóng (có thể rỗng)

Với x C , thì C x  , nên bất đẳng thức này luôn đúng Vậy

Vậy đưới vi phân của hàm chỉ của một tập lồi C khác rỗng tại điểm x 0 C

chính là nón pháp tuyến ngoài của C tại x 0

Chương 2

QUY TẮC FERMAT TRONG

BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Pierre de Fermat sinh ngày 17 tháng 8 năm 1601 tại Pháp, ông mất năm

1665 Fermat là một học giả vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và là cha đẻ của

lý thuyết số hiện đại

Fermat xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án nhưng lại vô cùng say mê toán học với thói quen nổi tiếng là ghi các ghi chú bên lề các quyển sách

Fermat là một học giả nghiệp dư đích thực Ông được mệnh danh là "Ông Hoàng của những người nghiệp dư" Trong những thư từ trao đổi với các nhà toán học, ông luôn viết những phát biểu cho định lí mới nhất của mình, nhưng không gửi kèm chứng minh Và ông thách thức họ tìm ra chứng minh đó Việc ông không bao giờ tiết lộ chứng minh của mình cho mọi người biết khiến họ rất bực mình Rene Descartes đã gọi Fermat là "thằng cha khoác lác", còn John Wallis thì gọi ông là "gã người Pháp chết tiệt" Khi Blaise Pascal ép ông công

bố chứng minh, nhà toán học đã nói: "Bất cứ công trình nào của tôi cũng xứng đáng được công bố, nhưng tôi không muốn tên tôi xuất hiện ở đó." Ông là một người ưa bí mật, ông sẵn sàng hy sinh danh tiếng của mình để miễn là không bị quấy rầy bởi những câu hỏi vụn vặt của những người phê bình

Phạm vi các định lí của Fermat trải rộng từ định lí cơ bản đến những định lí đơn thuần chỉ có tính giải trí, và thông thường định lí được phát biểu ở mức độ ngắn

nhất có thể hiểu nổi và không có một lời gợi ý hay một chứng minh nào Sau khi Pierre de Fermat mất, người con trai mới in dần các công trình của cha kể từ năm 1670 Năm 1896, hầu hết các tác phẩm của Fermat được ấn hành thành 4 tập dày Qua đó, người đời vô cùng ngạc nhiên và khâm phục trước sức đóng góp dồi dào của ông Chính ông là người sáng lập lý thuyết số hiện đại, trong đó

có 2 định lý nổi bật: định lý nhỏ Fermat và định lý lớn Fermat Trong hình học, ông phát triển phương pháp tọa độ, lập phương trình đường thẳng và các đường cong bậc hai rồi chứng minh rằng các đường cong nọ chính là các thiết diện cônic Trong giải tích, ông nêu các quy tắc lấy đạo hàm của hàm mũ với số mũ hữu tỷ bất kỳ, tìm cực trị, tính tích phân những hàm mũ với số mũ phân số và số

mũ âm Nguyên lý Fermat về truyền sáng lại là một định luật quan trọng của quang học

Ông vừa là một luật sư, vừa là một nhà toán học đã đóng góp nhiều vào

sự phát triển bước đầu của toán học Đặc biệt, ông được nhớ đến qua sự khám phá một phương pháp đầu tiên để tìm cực đại và cực tiểu của tung độ của đường cong Ông cũng nghiên cứu về lý thuyết số và có nhiều đóng góp trong các lĩnh vực hình học giải tích, xác suất và quang học

Vào những năm 1630 khi khái niệm đạo hàm còn chưa được định nghĩa thì Fermat đã biết sử dụng nó để giải các bài toán cực trị như một công cụ mới

mẻ đầy hiệu quả

Ông xét bài toán sau: Cho trước một đoạn thẳng, hãy chia nó thành 2 phần sao cho tích của 2 phần này là lớn nhất?

B

B - AA

Hình 2.1

Đáp án của bài toán này thì người ta đã biết từ trước (tích lớn nhất khi ta chia đoạn thẳng thành 2 phần bằng nhau) nhưng cách làm của Fermat thì lại rất mới

Gọi chiều dài đoạn ban đầu là B, chiều dài đoạn thứ nhất là A thì chiều dài đoạn thứ hai sẽ là: B-A và tích của 2 phần là: 2

A B A AB A Nhà toán học Hi Lạp Pappus ở Alexandria trong một tác phẩm của mình

có đưa ra một nguyên lý: “Một bài toán nào đó nói chung có 2 nghiệm thì nó sẽ đạt được giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) trong trường hợp chỉ có một nghiệm” Ta

sẽ dành một chút thời gian để minh họa nguyên lí này của Pappus bởi vì đây là một nguyên lí rất thú vị và có ích

Xét bài toán đơn giản sau: Từ điểm A nằm ngoài đường thẳng d cho trước, hãy xác định điểm N trên d sao cho độ dài đoạn AN là nhỏ nhất?

d

M' N

Pappus phát biểu rằng, giá trị cực tiểu sẽ đạt được trong trường hợp chỉ có một nghiệm, mà muốn vậy thì MM' Điều này chỉ xảy ra khi M chính là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống d và đây cũng chính là đáp án của bài toán này

Ví dụ này mặc dù khá tầm thường nhưng nguyên lí của Pappus thì lại rất hữu ích

trong nhiều trường hợp tìm cực trị khác nhau Bây giờ hãy trở lại với bài toán của Fermat

Ông giả sử rằng bài toán trên còn có thêm một đáp số thứ hai nữa (tức là

có một cách chia khác để tích hai đoạn lớn nhất), với đáp số thứ hai này chúng ta

sẽ gọi đoạn thứ nhất là A E khi đó đoạn còn lại là: B A E Tích của chúng lúc này bằng: AB A2 2AEBE E2 Bởi vì giá trị lớn nhất phải là duy nhất cho nên hai đáp số trên đều phải cho ra tích giống nhau, nghĩa là:

AB A  AE BEE AB A  AE E BE

Rút gọn 2 vế cho E ta được: 2A E B  Mặt khác theo nguyên lý Pappus thì 2 nghiệm này trong trường hợp đạt giá trị lớn nhất phải trở nên bằng nhau nên nói chung E không hề tồn tại Thế là Fermat

cho E = 0, từ đó ông thu được kết quả

2

B

A , mà đây cũng chính là đáp số của bài toán trên Cách làm của Fermat có cái gì đó vừa độc đáo vừa kì quái, ông giả

sử rằng bài toán có 2 nghiệm và chúng khác nhau một lượng E Lúc đầu ông xem E khác 0 và rút gọn E ở hai vế, sau đó ông ta vận dụng nguyên lí Pappus và nói rằng muốn đạt được cực trị thì nói chung E không nên tồn tại và thế là cho E

= 0 cuối cùng lại thu được đáp số chính xác Cách làm này thật quái lạ đối với

đa số các nhà toán học thời kì đó, còn với thì hiện tại khi mà chúng ta đã học về đạo hàm thì ta sẽ hiểu được rốt cuộc thì Fermat đã làm cái gì để giải được bài toán đó

Bài toán mà Fermat giải là xác định A để hàm số f A lớn nhất, và việc  

Fermat xem f A E f A  f A E f A 0 sau đó rút gọn biểu

thức cho E rồi cho E = 0 nếu nói theo ngôn ngữ ngày nay là ông đã sử dụng đặc

trưng sau đây của hàm số tại điểm cực trị của nó:

2.1 Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến không có ràng buộc

Ở đây, không gian X trong bài toán (P) là X  

Để giải bài toán trên ta sử dụng định lý Fermat

Định lý 2.1 (Định lý Fermat)

Nếu f : là một hàm số khả vi thì mỗi điểm cực đại (cực tiểu) địa phương đều là điểm dừng, nghĩa là là nghiệm của phương trình f’(x) = 0

Chứng minh

Giả sử f(x) đạt cực đại địa phương tại x 0 và có đạo hàm tại x 0 Khi đó f(x)

xác định trên một khoảng x    ; x  với một  0 và trên khoảng này ta có:

 0   0 0

f x   x f x  với mọi   x

Do đó:

   0   0 0

Định lý 2.2 (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị)

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng K = x0  ; x0   và có đạo hàm trên K hoặc K\{x 0 }, với   0

a) Nếu f ' x  0 trên khoảng x0  ; x0 và f ' x  0 trên khoảng x ; x0 0  

thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)

b) Nếu f ' x  0 trên khoảng x0  ; x0và f ' x  0 trên khoảng x ; x0 0  

thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

c) Nếu f ' x  không đổi dấu khi x đi qua x 0 thì hàm số không đạt cực trị tại

x 0

Chứng minh

a) Vì hàm số f(x) liên tục trên K và f ' x  0 trên khoảng x0  ; x0 và f ' x  0

trên khoảng x ; x0 0  nên ta có

 0   0 0

f x   x f x  với mọi   x

hay f x 0   x f x 0 với mọi   x , điều này tương đương với f x  f x 0với mọi xx0  ; x0  , hay x0 là điểm cực đại của hàm số

b), c) tương tự

x y

đổi đấu từ - sang + khi x đi qua 1

3 Do đó x = 1 là điểm cực đại và 1

3

x là điểm cực tiểu của hàm số

Định lý 2.3 (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị theo đạo hàm cấp cao)

Giả sử f(x) được khai triển theo công thức Taylor trong một khoảng mở nào đó chứa x 0 :

      0     

1

k n

i) Nếu n là số lẻ thì f(x) không có cực trị tại x 0

ii) Nếu n là số chẵn thì f(x) có cực trị tại x 0 , cụ thể là f n  x0  0 thì

x 0 là điểm cực tiểu của hàm số, f n  x0  0 thì x 0 là điểm cực đại của hàm số

Chú ý 2.1 Trong trường phổ thông ta chỉ xét n = 2

n là các điểm cực tiểu của hàm số 

Mệnh đề 2.1 Nếu hàm số f :    liên tục và f x   khi x   thì nó đạt được giá trị nhỏ nhất trong  Hơn nữa nếu f(x) là hàm lồi khả vi thì nó sẽ

có nhiều nhất một điểm cực tiểu và đó điểm mà hàm số đạt cực tiểu tuyệt đối

Chứng minh Ta coi Mệnh đề 2.1 là hệ quả được suy ra từ định lý ở phần sau

Khi xét bài toán tối ưu trên một tập ràng buộc thì Định lý Fermat không còn đúng nữa

Ví dụ xét hàm số   2

f x x trên 1;2

Ta có f' x 2 , 'x f  x   0 x 0, vì x   0  1;2 và f" 0  2 0 nên

x = 0 là một điểm cực tiểu của hàm số trên đoạn [-1;2], và quy tắc Fermat vẫn

đúng, tuy nhiên nếu ta thay thế điều kiện ràng buộc bởi đoạn không chứa điểm

dừng ví dụ [1;2] thì x = 0 không thể là nghiệm của bài toán cực trị trên đoạn

[1;2], khi đó điểm cực trị của bài toán sẽ rơi vào các điểm biên

Đặc biệt trong trường hợp hàm f x lồi trên đoạn [a;b], ta có các bước để  

giải bài toán: Giải phương trìnhf ' x 0 tìm các nghiệm x *

b a

x y

b a

x*

y

b a

O

Hình 2.6 Cực tiểu hàm lõm trên một đoạn

Vậy trong trường hợp bài toán tối ưu một biến bị ràng buộc bởi đoạn [a;b] thì

Định lý Fermat ở phần 2.1 không còn đúng nữa, và ta thay thế nó bởi định lý sau:

Định lý 2.4 Nếu f là một hàm số khả vi trên [a;b] thì cực đại hoặc cực tiểu rơi

vào điểm x 0 [a,b] là nghiệm của f’(x) = 0 hoặc điểm cực biên x= a hoặc x = b

Chứng minh

Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại x0 a b, , theo quy tắc Fermat thì x 0 là một

nghiệm của f’(x) = 0

Trong trường hợp f’(x) = 0 không có nghiệm trên đoạn [a,b] thì rõ ràng cực trị đạt được tại hai biên x = a hoặc x = b

Do đó ta có thể giải bài toán cực tiểu, cực đại trên đoạn [a;b] bằng cách so sánh giá trị của hàm số tại các điểm dừng trên đoạn [a;b] với giá trị của hàm số

tại các điểm biên mà không cần dùng điều kiện đủ như ở phần 2.1

Ví dụ 2.4 (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2004)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2

ln x y

Điều kiện tồn tại giá trị nhỏ nhất của một hàm số liên tục

Nếu C không phải là một khoảng đóng và do vậy không có điểm cực biên

thì để tìm giá trị cực trị trong một miền mở ta dùng nhận xét sau đây

Mệnh đề 2.2

Nếu hàm số f : a b,   liên tục và f x   khi xa x, b thì nó đạt được giá trị cực tiểu trong  a b,