Cao Văn Tùng _ THPT Lạng Giang số 2_ Bắc Giang. PHÂN LOẠI DẠNG TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO YẾU TỐ ĐƯỜNG CAO Dạng toán tính thể tích khối đa diện trong những năm gần đây xuất hiện nhiều trong các đề thi đại học, cao đẳng. Đây là một dạng khó đối với học sinh mặc dù bài toán về hình học không gian không thuộc vào câu khó trong đề thi. Việc tính thể tích khối đa diện có nhiều phương pháp giải, một phương pháp điển hình là là sử dụng công thức tính. Trong phương pháp này, điểm khó nhất lại nằm ở yếu tố đường cao. Để giúp các thầy cô và học sinh có những nhìn nhận tốt hơn về vấn đề này sau đây tôi xin đưa ra một số hướng giải quyết như sau. Có thể chia làm các dạng toán: - Dạng toán có sẵn đường cao. - Dạng toán cần đi dựng đường cao. - Dạng toán cần dựng đường cao phụ 1. Dạng toán có sẵn đường cao. a. Cơ sở lý thuyết. Một số bài toán về tính thể tích khối đa diện đã có sẵn đường cao. Giáo viên cần đưa ra các ví dụ và giúp học sinh biết xác định đường cao đó. Một số hướng giải quyết như sau: - Đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy. Có thể cho vuông góc trực tiếp hoặc cho vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đáy. - Giao tuyến của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đỉnh và vuông góc với đáy. - Đường thẳng qua đỉnh nằm trong mặt phẳng ( ) vuông góc với đáy, đồng thời vuông góc với giao tuyến của ( ) và đáy. - Cho hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy thì đoạn nối đỉnh và hình chiếu của nó là đường cao. … Lưu ý: Trong các trường hợp trên cần chỉ cho học sinh thấy được trong các trường hợp nào cần phải chứng minh đó là đường cao, trường hợp nào không cần phải chứng minh. b. Ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD). Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a; CD = a và BC = a2 . Cạnh bên SC hợp với đáy góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp. Lời giải: Lấy M là trung điểm của AB khi đó CD AM a, AM/ /CD và 0 DAM 60 nên tứ giác ADCM là hình chữ nhật suy ra CM AB. Áp dụng định lí Pitago trong các tam giác vuông CMB và CMA ta được 22 CM BC MB A D B S M C Cao Văn Tùng _ THPT Lạng Giang số 2_ Bắc Giang. 2 2 2 2 a 2 a a; AC AM CM 22 aa a 2. SA (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD). Do vậy góc giữa SC và (ABCD) là 0 SCA 60 . Tam giác SAC vuông tại A nên SA AC.tan SCA 0 AC.tan60 a 2. 3 a 6. 2 ABCD 1 1 3a S AB CD .CM a 2a a . 2 2 2 23 ABCD ABCD 1 1 3a a 6 V S .SA . .a 6 3 3 2 2 (đvtt). Nhận xét: Cần lưu ý rằng SA vuông góc với đáy do vậy SA là đường cao. Từ đó khi vẽ hình để thuận lợi cho giải toán ta nên vẽ sao cho SA thẳng đứng. Do SC tạo với đáy góc 60 0 , để tính SA một cách tự nhiên ta xét tam giác vuông SAC. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB AD 2a , CD = a; góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Đề thi Đại học_khối A_năm 2009 Lời giải: Từ (SIB) (ABCD) và (SIC) (ABCD) ta có SI (ABCD) nên SI là đường cao. Kẻ IK BC (K BC) đồng thời BC SI (vì SI ABCD ) bên góc giữa (SBC) và (ABCD) là 0 SKI 60 . 2 ABCD (AB CD).AD (2a a).2a S 3a . 22 Ta có, ABI CDI 11 S S .CD.ID AB.AI 22 2 1 AD 1 2a 3a . . AB CD . . 2a a 2 2 2 2 2 . Suy ra 2 IBC ABCD ICD IAB 3a S S S S . 2 - Theo định lí Pitago ta có: 2 2 IBC 2.S 3 5 a 3 15a BC AB CD AD a 5 IK SI IK.tan SKI . BC 5 5 - Thể tích khối chóp là: 3 SABCD ABCD 1 3 15 a V S .SI . 35 Nhận xét: Cần nhận thấy SI là giao điểm của 2 mặt phẳng phân biện (SIK) và (SIC) cùng vuông góc với đáy do vậy SI là đường cao. Từ đó để thuận lợi cho giải toán cần vẽ hình sao cho SI thẳng đứng c. Bài tập đề nghị. Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy băng a. Mặt bên tạo với đáy góc 30 0 , tính thể tích khối chóp. Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a3 và hình chiếu vuông của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC Theo đề thi Đại học_ Khối A_năm 2008 S A B K C I D Cao Văn Tùng _ THPT Lạng Giang số 2_ Bắc Giang. Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 ; tam giác ABC vuông tại C và 0 BAC 60 . Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện theo a. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với (ABCD) và SH a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDMN Đại học, khối A_ năm 2010 Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là các tam giác đều cạnh a. Các mặt phẳng (AG’B’) và (AG’C’) đều vuông góc với đáy (G’ là trọng tâm của A’B’C’), lấy M là trung điểm của B’C’. Tính thể tích khối lăng trụ biết AA' AM 2 . 2. Dạng toán cần đi dựng đường cao. a. Cơ sở lý thuyết. Trong nhiều bài toán tính thể tích khối đa diện đường cao không dễ thấy đòi hỏi cần kẻ thêm hình để xác định đường cao. Điểm mấu chốt trong việc dựng đường cao là việc xác định chân đường cao, có một số hướng như sau: Với khối chóp: - Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau (ít nhất 3 cạnh bên) thì chân đường cao là chân đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy. - Khối chóp có các mặt bên (ít nhất 3 mặt bên) cùng tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy. - Khối chóp có hai mặt bên kề nhau và cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường phân giác góc của đỉnh chung, nằm trong mặt phẳng đáy. - Khối chóp có đỉnh nằm trên một mặt phẳng vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt đó và đáy. … Với khối lăng trụ: Với khối lăng trụ ta lấy một đỉnh kết hợp với đáy đối diện ta cũng được một khối chóp sau đó việc xác định chân đường cao cũng dựa theo các hướng trên. b. Ví dụ minh họa. - Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên SAB và SAC tạo với đáy các góc bằng nhau và bằng 60 0 , mặt bên còn lại tạo với đáy góc 45 0 . Tính thể tích khối chóp trên. Lời giải: Giả sử H là chân đường vuông góc. HK AB;HP AC . Khi đó AB (SHK) vì AB HK và AB SH do vậy góc giữa (SAB) và (ABC) là 0 SKH 60 . Tương tự ta có góc giữa (SAC) và (ABC) là 0 SPH 60 . Xét hai tam giác SHK và SHP là hai tam giác vuông có SH chung và 0 SKH SPH 60 nên SHK SHP theo g.c.g). Cao Văn Tùng _ THPT Lạng Giang số 2_ Bắc Giang. Từ đó HK = HP theo tính chất đường phân giác ta có H phải nằm trên đường phân giác của BAC trong ABC . Do ABC đều nên H AM (AM là trung tuyến) suy ra HM BC. Vì BC SH và BC HM BC (SHM) nên BC SM . Do vậy góc giữa (SBC) và (ABC) là 0 SMH 45 . Giả sử MH = k.AM, 0 < k < 1. Khi đó SH = MH.tan45 0 = MH = k.AM. Lại có 0 SH SH k.AM HK . tan60 3 tan.SKH Xét tam giác vuông AKH, do ABC đều nên 0 KAH 30 . Từ đó ta có 0 HK AH sin30 23 2.HK k.AM. 3 Mặt khác AH = AM – MH = (1- k).AM. Suy ra 23 k 1 k 3 k 2 3 3. Do 3 AM a 2 nên SH kAM = 3 2 3 3 a 2 = 6 3 3 a. 2 Diện tích đáy 2 ABC 3 S a . 4 Thể tích khối chóp là: 3 S.ABCD ABC 1 6 3 9 V .SH.S .a 38 (đvtt). Nhận xét: Điểm mấu chốt của bài toán này là hai mặt bên kề nhau (SAB) và (SBC) cùng tạo với đáy góc bằng nhau nên chân đường cao H nằm trên đường phân giác góc A trong tam giác ABC (cũng là trung tuyến do ABC đều). Từ đó để thuận lợi trong giải toán ta nên vẽ trung tuyến AM trước từ đó làm cơ sở để có SH và vẽ sao cho SH thẳng đứng. c. Bài tập đề nghị. Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC cân tại B, 0 ABC 120 ; AB = Bc = a. Mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB; SC a 2 . Tính thể tích khối chóp trên. Bài 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ đáy là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ cùng tạo với đáy góc 60 0 . Lấy M là trung điểm của B’C’; góc A’AM bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp. Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M, N là trung điểm của SB, SC. Tính thể tích khối chóp biết rằng AMN SBC . Bài 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Đáy ABC cân tại A, 0 BAC 120 ; lấy M là trung điểm của B’C’ ta có 0 AA'M 120 . Biết BC AA' 2a 3; tính thể tích khối lăng trụ trên theo a. Bài 5: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. AB 2CD 10a; SA 4a; SD 3a. Tam giác ABC vuông tại C và mặt bên (SAD) vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp trên theo a. 3. Dạng toán cần dựng đường cao phụ. Trong nhiều bài toán việc xác định đường cao phức tạp; ta có thể nghĩ đến hướng dựng một đường cao phụ. a. Cơ sở lý thuyết. Cao Văn Tùng _ THPT Lạng Giang số 2_ Bắc Giang. - Cho điểm A và mặt phẳng (P) và đường thẳng d chứa A thì khoảng cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên d đến (P). - Nếu có mặt phẳng (Q) chứa A và song song với (P) thì khoảng cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên (Q) đến (P). b. Ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Cạnh bên tạo với đáy góc 45 0 ; M, N là hai điểm trên SA; SB (M B;N A) . P là giao điểm của CM và DN. Tính thể tích khối chóp P.ABCD theo a. Lời giải: Gọi d SAD SBC . Xét 3 mặt phẳng phân biệt (SAD); (SBC); (ABCD) cắt nhau theo 3 giao tuyến d; AD và BC. Do AD//BC nên 3 giao tuyến này đôi một song song từ đó d//AD nên d//(ABCD) (1). Do P CM P SBC Pd P DN P SAD đồng thời S cũng là một điểm chung của 2 mặt phẳng (SAD); (SBC) nên Sd (2). Từ (1) và (2) ta có chiều cao h d P; ABCD d S; ABCD SO (O là tâm của đáy ABCD). BO là hình chiếu của SB lên (ABCD) nên góc giữa SB và (ABCD) là 0 SBO 45 0 a2 BD SO OB.tan45 OB . 22 Diện tích đáy 2 ABCD S a . Thể tích khối chóp 3 2 P.ABCD ABCD a 2 a 2 11 V h.S a . 3 3 2 6 Nhận xét: Trong bài này ta không xác định dõ đường cao vì điểm P di động khi M, N thay đổi trên SB và SA. Tuy nhiên lợi dụng S và P cùng thuộc đường thẳng d song song với (ABCD) nên độ dài đường cao bằng độ dài SO, bài toán quy về tính SO. SO là đường cao phụ. Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M, N, P lần lượt là trung điểm B’C’; C’D’ và CC’; O là tâm của ABCD. a. Chứng minh AC' (MNP) . b. Tính thể tích khối tứ diện O.MNP theo a. Lời giải: a. Từ giả thiết ta có MN/ /B'D' nên MN/ /BD ; MP/ /B'C nên MP/ /A'D do vậy MNP / / A'BD 1 . Kẻ AC’ cắt (A’BD) tại H và cắt (MBP) tại K; lấy I là trung điểm A’C khi đó H là trọng tâm AOA' . Nên J Cao Văn Tùng _ THPT Lạng Giang số 2_ Bắc Giang. 2 AH AI 3 1 AC' 3 a3 2 3 . 22 a6 11 OH OA' OA AA' 3 3 6 Ta có, 22 2 2 2 2 a 3 a 6 a AH OH OA . 3 6 2 Theo định lý Pitago ta có tam giác AHO vuông tại H AH OA, mặt khác BD ABC'A' BD AC' nên AC' BDA' từ (1) ta cũng có AC' MNP (3) . (đpcm) b. Từ (1) và (3) ta có chiều cao hình chóp O.MNP h d O; MNP d H; MNP HK. Lấy MN A'C' J , do M, N lần lượt là trung điểm của B’C’, C’D’ nên ta có 1 C'J A'C' 4 ; xét C'AH có JK // A’H áp dụng định lý Talets ta có CK C'J 1 CH AC' 4 . Mặt khác theo (2) 1 AH AC' 3 nên 2 HC' AC' 3 vậy a3 1 CK AC' . 66 a 3 a 3 a 3 HK AC' AH C'K a 3 . 3 6 2 MN là đường trung bình của B’C’D’ ứng với cạnh B’D’ nên a2 1 MN B'D' 22 ; tương tự a2 MP NP 2 . Vậy MNP là tam giác đều cạnh a2 2 , nên 2 MNP 3 a 2 S 42 2 a3 . 8 Thể tích khối chóp O.MNP là 2 3 MNP a 3 a 3 1 1 a V HK.S . 3 3 2 8 16 Nhận xét: Việc xác định và tính độ đường cao từ O xuống (MNP) khá phức tạp. Mặt khác do (A’BD) // (MNP) nên nghĩ đến hướng xét khoảng cách từ một điểm khác trên (A’BD đến (MNP). Trong quá trình phân tích ta chọn được điểm H. c. Bài tập đề nghị. Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B và B’; hình chiếu của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC, cạnh bên tạo với đáy góc 30 0 , biết rằng AC AB 3 a 3. Tính thể tích khối chóp C’ABC theo a. Bài 2: Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’ có A’B’ = a. Tính thể tích khối chóp biết OA’ tạo với đáy (A’B’C’) góc 60 0 . . 0 SKI 60 . 2 ABCD (AB CD).AD (2a a).2a S 3a . 22 Ta có, ABI CDI 11 S S .CD.ID AB.AI 22 2 1 AD 1 2a 3a . . AB CD . . 2a a 2 2 2 2 2 . Suy ra 2 IBC ABCD. B’D’ nên a2 1 MN B'D' 22 ; tương tự a2 MP NP 2 . Vậy MNP là tam giác đều cạnh a2 2 , nên 2 MNP 3 a 2 S 42 2 a3 . 8 Thể tích khối chóp O.MNP là 2 3 MNP a. THPT Lạng Giang số 2_ Bắc Giang. 2 AH AI 3 1 AC' 3 a3 2 3 . 22 a6 11 OH OA' OA AA' 3 3 6 Ta có, 22 2 2 2 2 a 3 a 6 a AH OH OA . 3 6 2