80 bài toán hình 9 hay ( có lời giải )

TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nh n n i ti p đ ng tròn (O). Các đ ng cao AD, BE, CF c t nhauọ ộ ế ườ ườ ắ t i ạ H và c t đ ng tròn (O) l n l t t i M,N,P.ắ ườ ầ ượ ạ Ch ng minh r ng:ứ ằ 1. T giác CEHD, n i ti p .ứ ộ ế 2. B n đi m B,C,E,F cùng n m trên m t đ ng tròn.ố ể ằ ộ ườ 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đ i x ng nhau qua BC.ố ứ 5. Xác đ nh tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF.ị ườ ộ ế L i gi i:ờ ả 1. Xét t giác CEHD ta có:ứ ∠ CEH = 90 0 ( Vì BE là đ ng cao)ườ ∠ CDH = 90 0 ( Vì AD là đ ng cao)ườ => ∠ CEH + ∠ CDH = 180 0 H ( ( 2 - - 2 1 1 1 P N F E M D C B A O Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đ i c a t giác CEHD , Do đó CEHD là t giác n i ti p ố ủ ứ ứ ộ ế 2. Theo gi thi t: BE là đ ng cao => BE ả ế ườ ⊥ AC => ∠BEC = 90 0 . CF là đ ng cao => CF ườ ⊥ AB => ∠BFC = 90 0 . Nh v y E và F cùng nhìn BC d i m t góc 90ư ậ ướ ộ 0 => E và F cùng n m trên đ ng tròn đ ng kínhằ ườ ườ BC. V y b n đi m B,C,E,F cùng n m trên m t đ ng tròn.ậ ố ể ằ ộ ườ 3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: ∠ AEH = ∠ ADC = 90 0 ; Â là góc chung => ∆ AEH ∼ ∆ADC => AC AH AD AE = => AE.AC = AH.AD. * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: ∠ BEC = ∠ ADC = 90 0 ; ∠C là góc chung => ∆ BEC ∼ ∆ADC => AC BC AD BE = => AD.BC = BE.AC. 4. Ta có ∠C 1 = ∠A 1 ( vì cùng ph v i góc ABC)ụ ớ ∠C 2 = ∠A 1 ( vì là hai góc n i ti p cùng ch n cung BM)ộ ế ắ => ∠C 1 = ∠ C 2 => CB là tia phân giác c a góc HCM; l i có CB ủ ạ ⊥ HM => ∆ CHM cân t i C ạ => CB cũng là đ ng trung tr c c a HM v y H và M đ i x ng nhau qua BC.ươ ự ủ ậ ố ứ 5. Theo ch ng minh trên b n đi m B,C,E,F cùng n m trên m t đ ng trònứ ố ể ằ ộ ườ => ∠C 1 = ∠E 1 ( vì là hai góc n i ti p cùng ch n cung BF)ộ ế ắ Cũng theo ch ng minh trên CEHD là t giác n i ti p ứ ứ ộ ế  ∠C 1 = ∠E 2 ( vì là hai góc n i ti p cùng ch n cung HD)ộ ế ắ  ∠E 1 = ∠E 2 => EB là tia phân giác c a góc FED.ủ Ch ng minh t ng t ta cũng có FC là tia phân giác c a góc DFE mà BE và CF c t nhau t i H do đó Hứ ươ ự ủ ắ ạ là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF.ườ ộ ế Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đ ng cao AD, BE, c t nhau t i H. G i O là tâm đ ngườ ắ ạ ọ ườ tròn ngo i ti p tam giác AHE.ạ ế 1. Ch ng minh t giác CEHD n i ti p .ứ ứ ộ ế 2. B n đi m A, E, D, B cùng n m trên m t đ ngố ể ằ ộ ườ tròn. 3. Ch ng minh ED = ứ 2 1 BC. 4. Ch ng minh DE là ti p tuy n c aứ ế ế ủ đ ng tròn (O).ườ 5. Tính đ dài DE bi t DH = 2 Cm,ộ ế AH = 6 Cm. L i gi i:ờ ả 1. Xét t giác CEHD ta có:ứ ∠ CEH = 90 0 ( Vì BE là đ ng cao)ườ ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 1 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 H 1 3 2 1 1 O E D C B A ∠ CDH = 90 0 ( Vì AD là đ ng cao)ườ => ∠ CEH + ∠ CDH = 180 0 Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đ i c a t giác CEHD , Do đó CEHD là t giác n i ti p ố ủ ứ ứ ộ ế 2. Theo gi thi t: ả ế BE là đ ng cao => BE ườ ⊥ AC => ∠BEA = 90 0 . AD là đ ng cao => AD ườ ⊥ BC => ∠BDA = 90 0 . Nh v y E và D cùng nhìn AB d i m t góc 90ư ậ ướ ộ 0 => E và D cùng n m trên đ ng tròn đ ng kính AB.ằ ườ ườ V y b n đi m A, E, D, B cùng n m trên m t đ ng tròn.ậ ố ể ằ ộ ườ 3. Theo gi thi t tam giác ABC cân t i A có AD là đ ng cao nên cũng là đ ng trung tuy n ả ế ạ ườ ườ ế => D là trung đi m c a BC. Theo trên ta có ể ủ ∠BEC = 90 0 . V y tam giác BEC vuông t i E có ED là trung tuy n => DE = ậ ạ ế 2 1 BC. 4. Vì O là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác AHE nên O là trung đi m c a AH => OA = OEườ ạ ế ể ủ => tam giác AOE cân t i O => ạ ∠E 1 = ∠A 1 (1). Theo trên DE = 2 1 BC => tam giác DBE cân t i D => ạ ∠E 3 = ∠B 1 (2) Mà ∠B 1 = ∠A 1 ( vì cùng ph v i góc ACB) => ụ ớ ∠E 1 = ∠E 3 => ∠E 1 + ∠E 2 = ∠E 2 + ∠E 3 Mà ∠E 1 + ∠E 2 = ∠BEA = 90 0 => ∠E 2 + ∠E 3 = 90 0 = ∠OED => DE ⊥ OE t i E.ạ V y DE là ti p tuy n c a đ ng tròn (O) t i E.ậ ế ế ủ ườ ạ 5. Theo gi thi t AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp d ng đ nh lí Pitagoả ế ụ ị cho tam giác OED vuông t i E ta có EDạ 2 = OD 2 – OE 2  ED 2 = 5 2 – 3 2  ED = 4cm Bài 3 Cho n a đ ng tròn đ ng kính AB = 2R. T A và B k hai ti p tuy n Ax, By. Qua đi m Mử ườ ườ ừ ẻ ế ế ể thu c n a đ ng tròn k ti p tuy n th ba c t các ti p tuy n Ax , By l n l t C và D. Các đ ngộ ử ườ ẻ ế ế ứ ắ ế ế ầ ượ ở ườ th ng AD và BC c t nhau t i N.ẳ ắ ạ 1.Ch ng minh AC + BD = CD.ứ 2. Ch ng minh ứ ∠COD = 90 0 . 3.Ch ng minh AC. BD = ứ 4 2 AB . 4.Ch ng minh OC // BMứ 5.Ch ng minh AB là ti p tuy n c a đ ng tròn đ ng kínhứ ế ế ủ ườ ườ CD. 5.Ch ng minh MN ứ ⊥ AB. 6.Xác đ nh v trí c a M đ chu vi t giác ACDB đ t giá tr nhị ị ủ ể ứ ạ ị ỏ nh t.ấ L i gi i:ờ ả / / y x N C D I M B O A 1.Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.ấ ế ế ắ Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD 2. Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: OC là tia phân giác c a góc AOM; OD là tia phânấ ế ế ắ ủ giác c a góc BOM, mà ủ ∠AOM và ∠BOM là hai góc k bù => ề ∠COD = 90 0 . ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 2 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 3. Theo trên ∠COD = 90 0 nên tam giác COD vuông t i O có OM ạ ⊥ CD ( OM là ti p tuy n ).ế ế Áp d ng h th c gi a c nh và đ ng cao trong tam giác vuông ta có OMụ ệ ứ ữ ạ ườ 2 = CM. DM, Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R 2 => AC. BD = 4 2 AB . 4.Theo trên ∠COD = 90 0 nên OC ⊥ OD .(1) Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: DB = DM; l i có OM = OB =R => OD là trung tr cấ ế ế ắ ạ ự c a BM => BM ủ ⊥ OD .(2). T (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc v i OD).ừ ớ 5.G i I là trung đi m c a CD ta có I là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác COD đ ng kính CD cóọ ể ủ ườ ạ ế ườ IO là bán kính. Theo tính ch t ti p tuy n ta có AC ấ ế ế ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => t giác ACDB là hình thang.ứ L i có I là trung đi m c a CD; O là trung đi m c a AB => IO là đ ng trung bình c a hình thangạ ể ủ ể ủ ườ ủ ACDB ⇒ IO // AC , mà AC ⊥ AB => IO ⊥ AB t i O => AB là ti p tuy n t i O c a đ ng tròn đ ng kínhạ ế ế ạ ủ ườ ườ CD 6. Theo trên AC // BD => BD AC BN CN = , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra DM CM BN CN = => MN // BD mà BD ⊥ AB => MN ⊥ AB. 7. ( HD): Ta có chu vi t giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu viứ t giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đ i nên chu vi t giác ACDB nh nh t khi CD nh nh t , màứ ổ ứ ỏ ấ ỏ ấ CD nh nh t khi CD là kho ng cách gi Ax và By t c là CD vuông góc v i Ax và By. Khi đó CD // ABỏ ấ ả ữ ứ ớ => M ph i là trung đi m c a cung AB.ả ể ủ Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đ ng tròn n i ti p, K là tâm đ ng tròn bàng ti pườ ộ ế ườ ế góc A , O là trung đi m c a IK.ể ủ 1. Ch ng minh B, C, I, K cùng n m trên m t đ ng tròn.ứ ằ ộ ườ 2. Ch ng minh AC là ti p tuy n c a đ ng tròn (O).ứ ế ế ủ ườ 3. Tính bán kính đ ng tròn (O) Bi t AB = AC = 20 Cm, BC = 24ườ ế Cm. L i gi i:ờ ả (HD) 1. Vì I là tâm đ ng tròn n i ti p, K là tâm đ ng tròn bàng ti pườ ộ ế ườ ế góc A nên BI và BK là hai tia phân giác c a hai góc k bù đ nh B ủ ề ỉ Do đó BI ⊥ BK hay∠IBK = 90 0 . T ng t ta cũng có ươ ự ∠ICK = 90 0 nh v y B và C cùng n m trênư ậ ằ đ ng tròn đ ng kính IK do đó B, C, I, K cùng n m trên m t đ ngườ ườ ằ ộ ườ tròn. 2. Ta có ∠C 1 = ∠C 2 (1) ( vì CI là phân giác c a góc ACH.ủ ∠C 2 + ∠I 1 = 90 0 (2) ( vì ∠IHC = 90 0 ). o 1 2 1 H I C A B K ∠I 1 = ∠ ICO (3) ( vì tam giác OIC cân t i O) ạ T (1), (2) , (3) => ừ ∠C 1 + ∠ICO = 90 0 hay AC ⊥ OC. V y AC là ti p tuy n c a đ ng tròn (O).ậ ế ế ủ ườ 3. T gi thi t AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.ừ ả ế AH 2 = AC 2 – HC 2 => AH = 22 1220 − = 16 ( cm) CH 2 = AH.OH => OH = 16 12 22 = AH CH = 9 (cm) OC = 225129 2222 =+=+ HCOH = 15 (cm) Bài 5 Cho đ ng tròn (O; R), t m t đi m A trên (O) k ti p tuy n d v i (O). Trên đ ng th ng d l yườ ừ ộ ể ẻ ế ế ớ ườ ẳ ấ đi m M b t kì ( M khác A) k cát tuy n MNP và g i K là trung đi m c a NP, k ti p tuy n MB (B làể ấ ẻ ế ọ ể ủ ẻ ế ế ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 3 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 ti p đi m). K AC ế ể ẻ ⊥ MB, BD ⊥ MA, g i H là giao đi m c a AC và BD, I là giao đi m c a OM vàọ ể ủ ể ủ AB. 1. Ch ng minh t giác AMBO n i ti p.ứ ứ ộ ế 2. Ch ng minh năm đi m O, K, A, M, B cùng n m trên m tứ ể ằ ộ đ ng tròn .ườ 3. Ch ng minh OI.OM = Rứ 2 ; OI. IM = IA 2 . 4. Ch ng minh OAHB là hình thoi.ứ 5. Ch ng minh ba đi m O, H, M th ng hàng.ứ ể ẳ 6. Tìm qu tích c a đi m H khi M di chuy n trên đ ng th ngỹ ủ ể ể ườ ẳ d L i gi i:ờ ả 1. (HS t làm).ự 2. Vì K là trung đi m NP nên OK ể ⊥ NP ( quan h đ ng kínhệ ườ d H I K N P M D C B A O Và dây cung) => ∠OKM = 90 0 . Theo tính ch t ti p tuy n ta có ấ ế ế ∠OAM = 90 0 ; ∠OBM = 90 0 . nh v yư ậ K, A, B cùng nhìn OM d i m t góc 90ướ ộ 0 nên cùng n m trên đ ng tròn đ ng kính OM. ằ ườ ườ V y năm đi m O, K, A, M, B cùng n m trên m t đ ng tròn. ậ ể ằ ộ ườ 3. Ta có MA = MB ( t/c hai ti p tuy n c t nhau); OA = OB = R ế ế ắ => OM là trung tr c c a AB => OM ự ủ ⊥ AB t i I .ạ Theo tính ch t ti p tuy n ta có ấ ế ế ∠OAM = 90 0 nên tam giác OAM vuông t i A có AI là đ ng cao.ạ ườ Áp d ng h th c gi a c nh và đ ng cao => OI.OM = OAụ ệ ứ ữ ạ ườ 2 hay OI.OM = R 2 ; và OI. IM = IA 2 . 4. Ta có OB ⊥ MB (tính ch t ti p tuy n) ; AC ấ ế ế ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA ⊥ MA (tính ch t ti p tuy n) ; BD ấ ế ế ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => T giác OAHB là hình bình hành; l i có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi.ứ ạ 5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH ⊥ AB; cũng theo trên OM ⊥ AB => O, H, M th ng hàng( Vì quaẳ O ch có m t đ ng th ng vuông góc v i AB).ỉ ộ ườ ẳ ớ 6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. V y khi M di đ ng trên d thì H cũng di đ ngậ ộ ộ nh ng luôn cách A c đ nh m t kho ng b ng R. Do đó qu tích c a đi m H khi M di chuy n trênư ố ị ộ ả ằ ỹ ủ ể ể đ ng th ng d là n a đ ng tròn tâm A bán kính AH = Rườ ẳ ử ườ Bài 6 Cho tam giác ABC vuông A, đ ng cao AH. V đ ng tròn tâm A bán kính AH. G i HD làở ườ ẽ ườ ọ đ ng kính c a đ ng tròn (A; AH). Ti p tuy n c a đ ng tròn t i D c t CA E.ườ ủ ườ ế ế ủ ườ ạ ắ ở 1.Ch ng minh tam giác BEC cân.ứ 2. G i I là hình chi u c a A trên BE, Ch ng minh r ng AI = AH.ọ ế ủ ứ ằ 3.Ch ng minh r ng BE là ti p tuy n c a đ ng tròn (A; AH).ứ ằ ế ế ủ ườ 4.Ch ng minh BE = BH + DE.ứ L i gi i: ờ ả (HD) 1.∆ AHC = ∆ADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2). Vì AB ⊥CE (gt), do đó AB v a là đ ng cao v a là đ ng trung tuy n c aừ ườ ừ ườ ế ủ ∆BEC => BEC là tam giác cân. => ∠B 1 = ∠B 2 2 1 I E H D C A B 2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có c nh huy n AB chung, ạ ề ∠B 1 = ∠B 2 => ∆ AHB = ∆AIB => AI = AH. 3. AI = AH và BE ⊥ AI t i I => BE là ti p tuy n c a (A; AH) t i I.ạ ế ế ủ ạ 4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài 7 Cho đ ng tròn (O; R) đ ng kính AB. K ti p tuy n Ax và l y trên ti p tuy n đó m t đi m Pườ ườ ẻ ế ế ấ ế ế ộ ể sao cho AP > R, t P k ti p tuy n ti p xúc v i (O) t i M.ừ ẻ ế ế ế ớ ạ 1. Ch ng minh r ng t giác APMO n i ti p đ c m tứ ằ ứ ộ ế ượ ộ đ ng tròn.ườ 2. Ch ng minh BM // OP.ứ ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 4 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 3. Đ ng th ng vuông góc v i AB O c t tia BM t i N. Ch ngườ ẳ ớ ở ắ ạ ứ minh t giác OBNP là hình bình hành.ứ 4. Bi t AN c t OP t i K, PM c t ON t i I; PN và OM kéo dài c tế ắ ạ ắ ạ ắ nhau t i J. Ch ng minh I, J, K th ng hàng.ạ ứ ẳ L i gi i: ờ ả 1. (HS t làm).ự 2.Ta có ∠ ABM n i ti p ch n cung AM; ộ ế ắ ∠ AOM là góc tâmở ch n cung AM => ắ ∠ ABM = 2 AOM∠ (1) OP là tia phân giác ∠ AOM ( t/c hai ti p tuy n c t nhau ) => ế ế ắ ∠ AOP = 2 AOM∠ (2) T (1) và (2) => ừ ∠ ABM = ∠ AOP (3) X ( ( 2 1 1 1 K I J M N P A B O Mà ∠ ABM và ∠ AOP là hai góc đ ng v nên suy ra BM // OP. (4)ồ ị 3.Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : ∠PAO=90 0 (vì PA là ti p tuy n ); ế ế ∠NOB = 90 0 (gt NO⊥AB). => ∠PAO = ∠NOB = 90 0 ; OA = OB = R; ∠AOP = ∠OBN (theo (3)) => ∆AOP = ∆OBN => OP = BN (5) T (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai c nh đ i song song và b ng nhau).ừ ạ ố ằ 4. T giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ứ ⊥ AB => ON ⊥ PJ Ta cũng có PM ⊥ OJ ( PM là ti p tuy n ), mà ON và PM c t nhau t i I nên I là tr c tâm tam giác POJ.ế ế ắ ạ ự (6) D th y t giác AONP là hình ch nh t vì có ễ ấ ứ ữ ậ ∠PAO = ∠AON = ∠ONP = 90 0 => K là trung đi m c aể ủ PO ( t/c đ ng chéo hình ch nh t). (6)ườ ữ ậ AONP là hình ch nh t => ữ ậ ∠APO = ∠ NOP ( so le) (7) Theo t/c hai ti p tuy n c t nhau Ta có PO là tia phân giác ế ế ắ ∠APM => ∠APO = ∠MPO (8). T (7) và (8) => ừ ∆IPO cân t i I có IK là trung tuy n đông th i là đ ng cao => IK ạ ế ờ ườ ⊥ PO. (9) T (6) và (9) => I, J, K th ng hàng.ừ ẳ Bài 8 Cho n a đ ng tròn tâm O đ ng kính AB và đi m M b t kì trên n a đ ng tròn ( M khácử ườ ườ ể ấ ử ườ A,B). Trên n a m t ph ng b AB ch a n a đ ng tròn k ti p tuy n Ax. Tia BM c t Ax t i I; tiaử ặ ẳ ờ ứ ử ườ ẻ ế ế ắ ạ phân giác c a góc IAM c t n a đ ng tròn t i E; c t tia BM t i F tia BE c t Ax t i H, c t AM t i K.ủ ắ ử ườ ạ ắ ạ ắ ạ ắ ạ 1) Ch ng minh r ng: EFMK là t giác n i ti p.ứ ằ ứ ộ ế 2) Ch ng minh r ng: AIứ ằ 2 = IM . IB. 3) Ch ng minh BAF là tam giác cân.ứ 4) Ch ng minh r ng : T giác AKFH là hình thoi.ứ ằ ứ 5) Xác đ nh v trí M đ t giác AKFI n i ti p đ c m t đ ngị ị ể ứ ộ ế ượ ộ ườ tròn. L i gi i: ờ ả 1. Ta có : ∠AMB = 90 0 ( n i ti p ch n n a đ ng tròn ) ộ ế ắ ử ườ => ∠KMF = 90 0 (vì là hai góc k bù).ề ∠AEB = 90 0 ( n i ti p ch n n a đ ng tròn ) ộ ế ắ ử ườ => ∠KEF = 90 0 (vì là hai góc k bù).ề => ∠KMF + ∠KEF = 180 0 . Mà ∠KMF và ∠KEF là hai góc đ i c a t giác EFMK do đó EFMK là t giác n i ti p.ố ủ ứ ứ ộ ế X 2 1 2 1 E K I H F M B O A 2. Ta có ∠IAB = 90 0 ( vì AI là ti p tuy n ) => ế ế ∆AIB vuông t i A có AM ạ ⊥ IB ( theo trên). Áp d ng h th c gi a c nh và đ ng cao => AIụ ệ ứ ữ ạ ườ 2 = IM . IB. 3. Theo gi thi t AE là tia phân giác góc IAM => ả ế ∠IAE = ∠MAE => AE = ME (lí do ……) => ∠ABE =∠MBE ( hai góc n i ti p ch n hai cung b ng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1)ộ ế ắ ằ Theo trên ta có ∠AEB = 90 0 => BE ⊥ AF hay BE là đ ng cao c a tam giác ABF (2).ườ ủ ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 5 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 T (1) và (2) => BAF là tam giác cân. t i B .ừ ạ 4. BAF là tam giác cân. t i B có BE là đ ng cao nên đ ng th i là đ ng trung tuy n => E làạ ườ ồ ờ ươ ế trung đi m c a AF. (3)ể ủ T BE ừ ⊥ AF => AF ⊥ HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác ∠HAK (5) T (4) và (5) => HAK là tam giác cân. t i A có AE là đ ng cao nên đ ng th i là đ ng trung tuy nừ ạ ườ ồ ờ ươ ế => E là trung đi m c a HK. (6).ể ủ T (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đ ng chéo vuông góc v i nhau t i trung đi m c aừ ườ ớ ạ ể ủ m i đ ng).ỗ ườ 5. (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => t giác AKFI là hình thang. ứ Đ t giác AKFI n i ti p đ c m t đ ng tròn thì AKFI ph i là hình thang cân. ể ứ ộ ế ượ ộ ườ ả AKFI là hình thang cân khi M là trung đi m c a cung AB. ể ủ Th t v y: M là trung đi m c a cung AB => ậ ậ ể ủ ∠ABM = ∠MAI = 45 0 (t/c góc n i ti p ). (7)ộ ế Tam giác ABI vuông t i A có ạ ∠ABI = 45 0 => ∠AIB = 45 0 .(8) T (7) và (8) => ừ ∠IAK = ∠AIF = 45 0 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy b ngằ nhau). V y khi M là trung đi m c a cung AB thì t giác AKFI n i ti p đ c m t đ ng tròn.ậ ể ủ ứ ộ ế ượ ộ ườ Bài 9 Cho n a đ ng tròn (O; R) đ ng kính AB. K ti p tuy n Bx và l y hai đi m C và D thu c n aử ườ ườ ẻ ế ế ấ ể ộ ử đ ng tròn. Các tia AC và AD c t Bx l n l t E, F (F gi a B và E).ườ ắ ầ ượ ở ở ữ 1. Ch ng minh AC. AE không đ i.ứ ổ 2. Ch ng minh ứ ∠ ABD = ∠ DFB. 3. Ch ng minh r ng CEFD là t giác n i ti p.ứ ằ ứ ộ ế L i gi i: ờ ả 1. C thu c n a đ ng tròn nên ộ ử ườ ∠ACB = 90 0 ( n i ti p ch n n aộ ế ắ ử đ ng tròn ) => BC ườ ⊥ AE. ∠ABE = 90 0 ( Bx là ti p tuy n ) => tam giác ABE vuông t i B có BC làế ế ạ đ ng cao => AC. AE = ABườ 2 (h th c gi a c nh và đ ng cao ), mà ABệ ứ ữ ạ ườ là đ ng kính nên AB = 2R không đ i do đó AC. AE không đ i.ườ ổ ổ 2. ∆ ADB có ∠ADB = 90 0 ( n i ti p ch n n a đ ng tròn ).ộ ế ắ ử ườ => ∠ABD + ∠BAD = 90 0 (vì t ng ba góc c a m t tam giác b ng 180ổ ủ ộ ằ 0 ) (1) ∆ ABF có ∠ABF = 90 0 ( BF là ti p tuy n ).ế ế => ∠AFB + ∠BAF = 90 0 (vì t ng ba góc c a m t tam giácổ ủ ộ b ng 180ằ 0 ) (2) T (1) và (2) => ừ ∠ABD = ∠DFB ( cùng ph v iụ ớ ∠BAD) D C A O B F E X 3. T giác ACDB n i ti p (O) => ứ ộ ế ∠ABD + ∠ACD = 180 0 . ∠ECD + ∠ACD = 180 0 ( Vì là hai góc k bù) => ề ∠ECD = ∠ABD ( cùng bù v i ớ ∠ACD). Theo trên ∠ABD = ∠DFB => ∠ECD = ∠DFB. Mà ∠EFD + ∠DFB = 180 0 ( Vì là hai góc k bù) nênề suy ra ∠ECD + ∠EFD = 180 0 , m t khác ặ ∠ECD và ∠EFD là hai góc đ i c a t giác CDFE do đó tố ủ ứ ứ giác CEFD là t giác n i ti p.ứ ộ ế Bài 10 Cho đ ng tròn tâm O đ ng kính AB và đi m M b t kì trên n a đ ng tròn sao cho AM < MB.ườ ườ ể ấ ử ườ G i M’ là đi m đ i x ng c a M qua AB và S là giao đi m c a hai tia BM, M’A. G i P là chân đ ng ọ ể ố ứ ủ ể ủ ọ ườ vuông góc t S đ n AB.ừ ế ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 6 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 1.G i S’ là giao đi m c a MA và SP. Ch ng minh r ng ∆ PS’M cân.ọ ể ủ ứ ằ 2.Ch ng minh PM là ti p tuy n c a đ ng tròn .ứ ế ế ủ ườ L i gi i: ờ ả 1. Ta có SP ⊥ AB (gt) => ∠SPA = 90 0 ; ∠AMB = 90 0 ( n i ti p ch nộ ế ắ n a đ ng tròn ) => ử ườ ∠AMS = 90 0 . Nh v y P và M cùng nhìn ASư ậ d i m t góc b ng 90ướ ộ ằ 0 nên cùng n m trên đ ng tròn đ ng kính AS.ằ ườ ườ V y b n đi m A, M, S, P cùng n m trên m t đ ng tròn. ậ ố ể ằ ộ ườ 2. Vì M’đ i x ng M qua AB mà M n m trên đ ng tròn nên M’ cũngố ứ ằ ườ n m trên đ ng tròn => hai cung AM và AM’ có s đo b ng nhau ằ ườ ố ằ 3 ( ) 4 3 1 1 ) ( 1 2 2 1 1 H O S' M' M A B S P => ∠AMM’ = ∠AM’M ( Hai góc n i ti p ch n hai cung b ng nhau) (1)ộ ế ắ ằ Cũng vì M’đ i x ng M qua AB nên MM’ ố ứ ⊥ AB t i H => MM’// SS’ ( cùng vuông góc v i AB)ạ ớ => ∠AMM’ = ∠AS’S; ∠AM’M = ∠ASS’ (vì so le trong) (2). => T (1) và (2) => ừ ∠AS’S = ∠ASS’. Theo trên b n đi m A, M, S, P cùng n m trên m t đ/ tròn => ố ể ằ ộ ∠ASP=∠AMP (n i ti p cùng ch nộ ế ắ AP ) => ∠AS’P = ∠AMP => tam giác PMS’ cân t i P.ạ 3. Tam giác SPB vuông t i P; tam giác SMS’ vuông t i M => ạ ạ ∠B 1 = ∠S’ 1 (cùng ph v i ụ ớ ∠S). (3) Tam giác PMS’ cân t i P => ạ ∠S’ 1 = ∠M 1 (4) Tam giác OBM cân t i O ( vì có OM = OB =R) => ạ ∠B 1 = ∠M 3 (5). T (3), (4) và (5) => ừ ∠M 1 = ∠M 3 => ∠M 1 + ∠M 2 = ∠M 3 + ∠M 2 mà ∠M 3 + ∠M 2 = ∠AMB = 90 0 nên suy ra ∠M 1 + ∠M 2 = ∠PMO = 90 0 => PM ⊥ OM t i M => PM là ti p tuy n c a đ ng tròn t i Mạ ế ế ủ ườ ạ Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). C nh AB, BC, CA ti p xúc v i đ ng tròn (O) t i các đi m D,ạ ế ớ ườ ạ ể E, F . BF c t (O) t i I , DI c t BC t i M. Ch ng minh :ắ ạ ắ ạ ứ 1. Tam giác DEF có ba góc nh n.ọ 2. DF // BC. 3. T giác BDFC n i ti p. ứ ộ ế 4. CF BM CB BD = L i gi i: ờ ả 1. (HD) Theo t/c hai ti p tuy n c t nhau ta có AD = AF => tam giácế ế ắ ADF cân t i A => ạ ∠ADF = ∠AFD < 90 0 => sđ cung DF < 180 0 => ∠DEF < 90 0 ( vì góc DEF n i ti p ch n cung DE). ộ ế ắ Ch ng minh t ng t ta có ứ ươ ự ∠DFE < 90 0 ; ∠EDF < 90 0 . Nh v y tam giácư ậ DEF có ba góc nh n.ọ 2. Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) => AD AF AB AC = => DF // BC. 3. DF // BC => BDFC là hình thang l i có ạ ∠ B = ∠C (vì tam giác ABC cân) => BDFC là hình thang cân do đó BDFC n i ti pộ ế đ c m t đ ng tròn .ượ ộ ườ M I O F E D C B A 4. Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có ∠ DBM = ∠BCF ( hai góc đáy c a tam giác cân).ủ ∠BDM = ∠BFD (n i ti p cùng ch n cung DI); ộ ế ắ ∠ CBF = ∠BFD (vì so le) => ∠BDM = ∠CBF . => ∆BDM ∼∆ CBF => CF BM CB BD = Bài 12 Cho đ ng tròn (O) bán kính R có hai đ ng kính AB và CD vuông góc v i nhau. Trên đo nườ ườ ớ ạ th ng AB l y đi m M (M khác O). CM c t (O) t i N. Đ ng th ng vuông góc v i AB t i M c t ti pẳ ấ ể ắ ạ ườ ẳ ớ ạ ắ ế tuy n ế ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 7 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 t i N c a đ ng tròn P. Ch ng minh :ạ ủ ườ ở ứ 1. T giác OMNP n i ti p.ứ ộ ế 2. T giác CMPO là hình bình hành.ứ 3. CM. CN không ph thu c vào v trí c a đi m M.ụ ộ ị ủ ể 4. Khi M di chuy n trên đo n th ng AB thì P ch y trên đo nể ạ ẳ ạ ạ th ng c đ nh nào.ẳ ố ị L i gi i: ờ ả 1. Ta có ∠OMP = 90 0 ( vì PM ⊥ AB ); ∠ONP = 90 0 (vì NP là ti pế tuy n ).ế Nh v y M và N cùng nhìn OP d i m t góc b ng 90ư ậ ướ ộ ằ 0 => M và N cùng n m trên đ ng tròn đ ng kính OP => T giác OMNP n i ti p.ằ ườ ườ ứ ộ ế 2. T giác OMNP n i ti p => ứ ộ ế ∠OPM = ∠ ONM (n i ti p ch n cungộ ế ắ OM) Tam giác ONC cân t i O vìạ có ON = OC = R => ∠ONC = ∠OCN B' A' O P N M D B A C => ∠OPM = ∠OCM. Xét hai tam giác OMC và MOP ta có ∠MOC = ∠OMP = 90 0 ; ∠OPM = ∠OCM => ∠CMO = ∠POM l i có MO là c nh chung => ạ ạ ∆OMC = ∆MOP => OC = MP. (1) Theo gi thi t Ta có CD ả ế ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM (2). T (1) và (2) => T giác CMPO là hình bình hành.ừ ứ 3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có ∠MOC = 90 0 ( gt CD ⊥ AB); ∠DNC = 90 0 (n i ti p ch n n aộ ế ắ ử đ ng tròn ) => ườ ∠MOC =∠DNC = 90 0 l i có ạ ∠C là góc chung => ∆OMC ∼∆ NDC => CM CO CD CN = => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R 2 không đ i => CM.CNổ =2R 2 không đ i hay tích CM. CN không ph thu c vào v trí c a đi m M.ổ ụ ộ ị ủ ể 4. ( HD) D th y ễ ấ ∆OMC = ∆DPO (c.g.c) => ∠ODP = 90 0 => P ch y trên đ ng th ng c đ nh vuôngạ ườ ẳ ố ị góc v i CD t i D. ớ ạ Vì M ch ch y trên đo n th ng AB nên P ch ch y trên do n th ng A’ B’ song song và b ng AB.ỉ ạ ạ ẳ ỉ ạ ạ ẳ ằ Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đ ng cao AH. Trên n a m t ph ng b BC ch aở ườ ử ặ ẳ ờ ứ đi n A , V n a đ ng tròn đ ng kính BH c t AB t i E, N a đ ng tròn đ ng kính HC c t ACể ẽ ử ườ ườ ắ ạ ử ườ ườ ắ t i F.ạ 1. Ch ng minh AFHE là hình ch nh t.ứ ữ ậ 2. BEFC là t giác n i ti p.ứ ộ ế 3. AE. AB = AF. AC. 4. Ch ng minh EF là ti p tuy n chung c a hai n a đ ng tròn .ứ ế ế ủ ử ườ L i gi i: ờ ả 1. Ta có : ∠BEH = 90 0 ( n i ti p ch n n c đ ng tròn ) ộ ế ắ ử ườ => ∠AEH = 90 0 (vì là hai góc k bù). (1)ề ∠CFH = 90 0 ( n i ti p ch n n c đ ng tròn ) ộ ế ắ ử ườ => ∠AFH = 90 0 (vì là hai góc k bù).(2)ề ∠EAF = 90 0 ( Vì tam giác ABC vuông t i A) (3)ạ ( ) 1 2 2 1 1 I F E O 2 O 1 H C B A 1 T (1), (2), (3) => t giác AFHE là hình ch nh t ( vì có ba góc vuông).ừ ứ ữ ậ 2. T giác AFHE là hình ch nh t nên n i ti p đ c m t đ ng tròn =>ứ ữ ậ ộ ế ượ ộ ườ ∠F 1 =∠H 1 (n i ti p ch nộ ế ắ cung AE) . Theo gi thi t AH ả ế ⊥BC nên AH là ti p tuy n chung c a hai n a đ ng tròn (Oế ế ủ ử ườ 1 ) và (O 2 ) => ∠B 1 = ∠H 1 (hai góc n i ti p cùng ch n cung HE) => ộ ế ắ ∠B 1 = ∠F 1 => ∠EBC+∠EFC = ∠AFE + ∠EFC mà ∠AFE + ∠EFC = 180 0 (vì là hai góc k bù) => ề ∠EBC+∠EFC = 180 0 m t khác ặ ∠EBC và ∠EFC là hai góc đ i c a t giác BEFC do đó BEFC là t giác n i ti p.ố ủ ứ ứ ộ ế ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 8 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 3. Xét hai tam giác AEF và ACB ta có ∠A = 90 0 là góc chung; ∠AFE = ∠ABC ( theo Ch ng minhứ trên) => ∆AEF ∼∆ ACB => AE AF AC AB = => AE. AB = AF. AC. * HD cách 2: Tam giác AHB vuông t i H có HE ạ ⊥ AB => AH 2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông t i H có HF ạ ⊥ AC => AH 2 = AF.AC (**) T (*) và (**) => AE. AB = AF. ACừ 4. T giác AFHE là hình ch nh t => IE = EH => ứ ữ ậ ∆IEH cân t i I => ạ ∠E 1 = ∠H 1 . ∆O 1 EH cân t i Oạ 1 (vì có O 1 E vàO 1 H cùng là bán kính) => ∠E 2 = ∠H 2 . => ∠E 1 + ∠E 2 = ∠H 1 + ∠H 2 mà ∠H 1 + ∠H 2 = ∠AHB = 90 0 => ∠E 1 + ∠E 2 = ∠O 1 EF = 90 0 => O 1 E ⊥EF . Ch ng minh t ng t ta cũng có Oứ ươ ự 2 F ⊥ EF. V y EF là ti p tuy n chung c a hai n a đ ng tròn .ậ ế ế ủ ử ườ Bài 14 Cho đi m C thu c đo n th ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. V v m t phía c a ABể ộ ạ ẳ ẽ ề ộ ủ các n a đ ng tròn có đ ng kính theo th t là AB, AC, CB và có tâm theo th t là O, I, K.ử ườ ườ ứ ự ứ ự Đ ng vuông góc v i AB t i C c t n a đ ng tròn (O) t i E. G i M. N theo th t là giao đi m c aườ ớ ạ ắ ử ườ ạ ọ ứ ự ể ủ EA, EB v i các n a đ ng tròn (I), (K).ớ ử ườ 1.Ch ng minh EC = MN.ứ 2.Ch/minh MN là ti p tuy n chung c a các n a đ/tròn (I), (K).ế ế ủ ử 3.Tính MN. 4.Tính di n tích hình đ c gi i h n b i ba n a đ ng trònệ ượ ớ ạ ở ử ườ L i gi i: ờ ả 1. Ta có: ∠BNC= 90 0 ( n i ti p ch n n a đ ng tròn tâm K)ộ ế ắ ử ườ 1 H 1 N M C I O K B E A 3 2 2 1 1 => ∠ENC = 90 0 (vì là hai góc k bù). (1)ề ∠AMC = 90 0 ( n i ti p ch n n c đ ng tròn tâm I) => ộ ế ắ ử ườ ∠EMC = 90 0 (vì là hai góc k bù).(2)ề ∠AEB = 90 0 (n i ti p ch n n a đ ng tròn tâm O) hay ộ ế ắ ử ườ ∠MEN = 90 0 (3) T (1), (2), (3) => t giác CMEN là hình ch nh t => EC = MN (tính ch t đ ng chéo hình ch nh t )ừ ứ ữ ậ ấ ườ ữ ậ 2. Theo gi thi t EC ả ế ⊥AB t i C nên EC là ti p tuy n chung c a hai n a đ ng tròn (I) và (K) ạ ế ế ủ ử ườ => ∠B 1 = ∠C 1 (hai góc n i ti p cùng ch n cung CN). ộ ế ắ T giác CMEN là hình ch nh t nên => ứ ữ ậ ∠C 1 = ∠N 3 => ∠B 1 = ∠N 3 .(4) L i có KB = KN (cùng là bán kính) => tam giác KBN cân t i K => ạ ạ ∠B 1 = ∠N 1 (5) T (4) và (5) => ừ ∠N 1 = ∠N 3 mà ∠N 1 + ∠N 2 = ∠CNB = 90 0 => ∠N 3 + ∠N 2 = ∠MNK = 90 0 hay MN ⊥ KN t i N => MN là ti p tuy n c a (K) t i N.ạ ế ế ủ ạ Ch ng minh t ng t ta cũng có MN là ti p tuy n c a (I) t i M, ứ ươ ự ế ế ủ ạ V y MN là ti p tuy n chung c a các n a đ ng tròn (I), (K).ậ ế ế ủ ử ườ 3. Ta có ∠AEB = 90 0 (n i ti p ch n n c đ ng tròn tâm O) => ộ ế ắ ử ườ ∆AEB vuông t i A có EC ạ ⊥ AB (gt) => EC 2 = AC. BC  EC 2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trên EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo gi thi t AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cmả ế Ta có S (o) = π .OA 2 = π 25 2 = 625 π ; S (I) = π . IA 2 = π .5 2 = 25 π ; S (k) = π .KB 2 = π . 20 2 = 400 π . Ta có di n tích ph n hình đ c gi i h n b i ba n a đ ng tròn là S = ệ ầ ượ ớ ạ ở ử ườ 1 2 ( S (o) - S (I) - S (k) ) S = 1 2 ( 625 π - 25 π - 400 π ) = 1 2 .200 π = 100 π ≈ 314 (cm 2 ) Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A. Trên c nh AC l y đi m M, d ng đ ng tròn (O) có đ ngở ạ ấ ể ự ườ ườ kính MC. đ ng th ng BM c t đ ng tròn (O) t i D. đ ng th ng AD c t đ ng tròn (O) t i S.ườ ẳ ắ ườ ạ ườ ẳ ắ ườ ạ 1. Ch ng minh ABCD là t giác n i ti p .ứ ứ ộ ế ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 9 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 2. Ch ng minh CA là tia phân giác c a góc SCB.ứ ủ 3. G i E là giao đi m c a BC v i đ ng tròn (O). Ch ng minh r ng các đ ng th ng BA, EM,ọ ể ủ ớ ườ ứ ằ ườ ẳ CD đ ng quy.ồ 4. Ch ng minh DM là tia phân giác c a góc ADE.ứ ủ 5. Ch ng minh đi m M là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác ADE.ứ ể ườ ộ ế L i gi i: ờ ả 3 2 3 3 2 2 2 1 1 1 1 F O M S D E B A C H×nh a F 1 2 C A B E D S M O 1 1 1 1 2 2 2 3 2 H×nh b 1. Ta có ∠CAB = 90 0 ( vì tam giác ABC vuông t i A); ạ ∠MDC = 90 0 ( góc n i ti p ch n n a đ ngộ ế ắ ử ườ tròn ) => ∠CDB = 90 0 nh v y D và A cùng nhìn BC d i m t góc b ng 90ư ậ ướ ộ ằ 0 nên A và D cùng n mằ trên đ ng tròn đ ng kính BC => ABCD là t giác n i ti p.ườ ườ ứ ộ ế 2. ABCD là t giác n i ti p => ứ ộ ế ∠D 1 = ∠C 3 ( n i ti p cùng ch n cung AB). ộ ế ắ ∠D 1 = ∠C 3 => ¼ ¼ SM EM= => ∠C 2 = ∠C 3 (hai góc n i ti p đ ng tròn (O) ch n hai cung b ng nhau)ộ ế ườ ắ ằ => CA là tia phân giác c a góc SCB.ủ 3. Xét ∆CMB Ta có BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC nh v y BA, EM, CD là ba đ ng cao c a tamư ậ ườ ủ giác CMB nên BA, EM, CD đ ng quy.ồ 4. Theo trên Ta có ¼ ¼ SM EM= => ∠D 1 = ∠D 2 => DM là tia phân giác c a góc ADE.(1)ủ 5. Ta có ∠MEC = 90 0 (n i ti p ch n n a đ ng tròn (O)) => ộ ế ắ ử ườ ∠MEB = 90 0 . T giác AMEB có ứ ∠MAB = 90 0 ; ∠MEB = 90 0 => ∠MAB + ∠MEB = 180 0 mà đây là hai góc đ i nênố t giác AMEB n i ti p m t đ ng tròn => ứ ộ ế ộ ườ ∠A 2 = ∠B 2 . T giác ABCD là t giác n i ti p => ứ ứ ộ ế ∠A 1 = ∠B 2 ( n i ti p cùng ch n cung CD) ộ ế ắ => ∠A 1 = ∠A 2 => AM là tia phân giác c a góc DAE (2)ủ T (1) và (2) Ta có M là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác ADEừ ườ ộ ế TH2 (Hình b) Câu 2 : ∠ABC = ∠CME (cùng ph ụ ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cùng bù ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS => » » ¼ ¼ CE CS SM EM= => = => ∠SCM = ∠ECM => CA là tia phân giác c a góc SCB.ủ Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và m t đi m D n m gi a A và B. Đ ng tròn đ ng kính BD c tở ộ ể ằ ữ ườ ườ ắ BC t i E. Các đ ng thạ ườ ẳng CD, AE l n l t c t đ ng tròn t i F, G.ầ ượ ắ ườ ạ Ch ng minh :ứ 1. Tam giác ABC đ ng d ng v i tam giác EBD.ồ ạ ớ 2. T giác ADEC và AFBC n i ti p .ứ ộ ế 3. AC // FG. 4. Các đ ng th ng AC, DE, FB đ ng quy.ườ ẳ ồ L i gi i: ờ ả 1. Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có ∠BAC = 90 0 ( vì tam giác ABC vuông t i A); ạ ∠DEB = 90 0 ( góc n i ti p ch n n a đ ng tròn ) ộ ế ắ ử ườ => ∠DEB = ∠BAC = 90 0 ; l i có ạ ∠ABC là góc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB . . Theo trên ∠DEB = 90 0 => DEC = 90 0 (vì hai góc k bù);ề BAC = 90 0 ( vì ∆ABC vuông t iạ A) hay ∠DAC = 90 0 => ∠DEC + DAC = 180 0 mà đây là hai góc đ i nên ADEC là t giác n i ti p .ố ứ ộ ế ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 10 . ( n i ti p ch n n c đ ng tròn tâm I) => ộ ế ắ ử ườ ∠EMC = 90 0 (vì là hai góc k b ) .(2 ) ∠AEB = 90 0 (n i ti p ch n n a đ ng tròn tâm O) hay ộ ế ắ ử ườ ∠MEN = 90 0 (3 ) T (1 ), (2 ), (3 ). ng 180 ủ ộ ằ 0 ) (1 ) ∆ ABF có ∠ABF = 90 0 ( BF là ti p tuy n ). ế ế => ∠AFB + ∠BAF = 90 0 (vì t ng ba góc c a m t tam giácổ ủ ộ b ng 180 0 ) (2 ) T (1 ) và (2 ) => ừ ∠ABD = ∠DFB ( cùng. OBN ta có : ∠PAO =90 0 (vì PA là ti p tuy n ); ế ế ∠NOB = 90 0 (gt NO⊥AB). => ∠PAO = ∠NOB = 90 0 ; OA = OB = R; ∠AOP = ∠OBN (theo (3 )) => ∆AOP = ∆OBN => OP = BN (5 ) T (4 ) và (5 ) =>