CHUYÊN đề KHẢO sát hàm số

Trnh Th Hng Hnh Phần I: Khảo sát hàm số I. Lý thuyết: Các bớc khảo sát hàm số: 1. Tập xác định 2. Xét sự biến thiên của hàm số: a, Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số. Tìm các đờng tiệm cận (nếu có). b, Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng. 3. Vẽ đồ thị hàm số: - Vẽ các đờng tiệm cận của đồ thị (nếu có). - Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị. - Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị. II. Bài tập: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của các hàm số sau: * Hàm bậc ba: * Hàm bậc bốn: 1. y=x 3 - 3x 2 - 9x 5 ; 1. y=- x 4 + 2x 2 + 3 2. y=- x 3 + 3x 2 - 4x + 2 ; 2. y= x 4 - 2x 2 - 3 3. y=- x 3 + 3x 2 ; 3. y=- x 4 + 2x 2 + 2 4. y=1/3x 3 - x 2 + 2/3 ; 4. y= x 4 - x 2 + 1 5. y=1/3x 3 - x 2 - x + 1/3 ; 5. y=- x 4 + 3x 2 - 2 6. y=- x 3 + 3x 2 + 1 ; 6. y= x 4 + 2x 2 + 1 * Hàm bậc nhất trên bậc nhất: 1. 1 12 + + = x x y ; 2. 23 2 + = x x y 3. 1 1 + = x x y ; 4. 1 3 + = x x y 5. 2 12 = x x y ; 6. 2 1 + = x x y * Hàm bậc hai trên bậc nhất: 1. 1 1 2 + = x xx y ; 2. 1 13 2 + = x xx y 3. 12 43 2 + + = x xx y ; 4. 1 2 2 = x xx y 5. 1 12 2 + = x xx y ; 6. 2 4 2 + ++ = x xx y Phần II: Các bài toán phụ khảo sát hàm số. Dạng I: Cực trị của hàm số I. Lý thuyết: Chủ đề 1: Cực trị của hàm bậc 3 và các bài toán liên quan a, Tìm điều kiện để hàm số có cực trị: Tổng quát: Cho hàm số bậc ba Hc ngy mai lp nghip! Trnh Th Hng Hnh y=ax 3 + bx 2 + cx + d Tìm điều kiện để hàm số có cực trị. D=R y=3ax 2 +2bx+c; y=0 3ax 2 +2bx+c=0 (1) +, Hàm số không có cực trị 0 +, Hàm số có cực trị (1) có hai nghiệm phân biệt > 0' 0a +, Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện K (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức viet và thỏa mãn điều kiện K. +, Hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng I (1) có hai nghiệm phân biệt trong khoảng I. +, Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 > = 0)('' 0)(' 0 0 xy xy +, Hàm số đạt cực đại tại x 0 < = 0)('' 0)(' 0 0 xy xy b, Đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số: Chia y cho y ta đợc : y=y.g(x)+h(x) y=h(x) chính là phơng trình đờng thẳng đi qua các điểm cực trị. Chủ đề 2: Cực trị của hàm số bậc bốn và các bài toán liên quan a, Tìm điều kiện để hàm số có cực trị: Tổng quát: Cho hàm số y=ax 4 +bx 2 +c D=R y=4ax 3 +2bx=2x(2ax 2 +b) y=0 2x(2ax 2 +b)=0 (1) =+ = (*)02 0 2 bax x +, Hàm số có cực đại, cực tiểu (hoặc có ba điểm cực trị): phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt hay (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0. +, Hàm số chỉ có một cực trị (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. +, Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu (1) có 3 nghiệm phân biệt và a>0. +, Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu (1) có 3 nghiệm phân biệt và a<0. +, Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 > = 0)('' 0)(' 0 0 xy xy +, Hàm số đạt cực đại tại x 0 < = 0)('' 0)(' 0 0 xy xy b, Đờng cong đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số: Chia y cho y ta đợc : y=y.g(x)+h(x) y=h(x) chính là phơng trình đờng cong đi qua các điểm cực trị. II. Các ví dụ và bài tập: * Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số: y= 3 1 mx 3 -(m-1)x 2 +3(m-2)x+ 3 1 . Tìm m để: Hc ngy mai lp nghip! Trnh Th Hng Hnh a, Hàm số có cực trị. b, Hàm số có cực đại , cực tiểu tại x 1 , x 2 thỏa mãn: x 1 +2x 2 =1. c, Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ dơng. d, Hàm số đạt cực đại, cực tiểu và x CĐ <x CT . e, Hàm số đạt cực đại tại x=0. f, Hàm số đạt cực tiểu tại x=o. Ví dụ 2: Cho hàm số: y=1/3x 3 - mx 2 - x + m + 1 . Chứng minh rằng: với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu. Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất. Ví dụ 3: Cho hàm số: y=x 3 -3x 2 +m 2 x+m. Xác định m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đờng thẳng x-2y=5. Ví dụ 4: Cho hàm số: y=x 4 +(m+1)x 2 +1 a, Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu. b, Xác định phơng trình đờng cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Ví dụ 5: Xác định m để hàm số: y=x 4 - 2mx 2 +2m+m 4 có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều. * Bài tập: Câu 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số: y=x 3 - x 2 - 94x + 95. Đáp số: y= 9 761 9 566 +x . Câu 2: Tìm m để hàm số y=x 3 - 3mx 2 +3(m 2 -1)x + m đạt cực tiểu tại x=2. Câu 3 Tìm m để các hàm số sau có cực trị: a, y=x 3 - mx 2 + 1 b, y=(m+2)x 3 +3x 2 +mx-5 Câu 4: Tìm các giá trị của m để đồ thị các hàm số sau có cực đại và cực tiểu. Từ đó lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số. a, y=x 3 - 3(m+1)x 2 +2(m 2 +7m+2)x 2m(m+2) b, y=3x 3 +3(m-3)x 2 +11-3m c, y=x 3 +mx 2 +7x+3 d, y=x 3 -3(m-1)x 2 +(2m 2 -3m+2) e, y=2x 3 -3(3m+1)x 2 +12(m 2 +m)x+1 Câu 5: Cho hàm số y=kx 4 +(k-1)x 2 +1-2k . Xác định giá trị của k để hàm số chỉ có một điểm cực trị. (k1 và k0) Câu 6: Tìm m để hàm số: y=x 4 +(m-1)x 2 +1- m chỉ có một điểm cực trị. Dạng 2: Các phép biến đổi đồ thị - Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối I. Lý thuyết: 1. Từ đồ thị hàm số y=f(x) suy ra đồ thị hàm số y= f(x) : Ta có: < == 0)(.),( 0)(.),( )( xfkhixf xfkhixf xfy Do đó đồ thị y=f(x)gồm: - Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y=f(x) - Đối xứng phần đồ thị phía dới trục hoành của y=f(x) qua trục hoành 2. Từ đồ thị hàm số y=f(x) suy ra đồ thị hàm số y=f( x ): Ta có: < == 0.),( 0.),( )( xkhixf xkhixf xfy và y=f(x) là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là 0y. Do đó đồ thị y=f(x) gồm: Hc ngy mai lp nghip! Trnh Th Hng Hnh - Phần bên phải 0y của đồ thị y=f(x) - Đối xứng phần đồ thị trên qua 0y 3. Từ đồ thị hàm số y=f(x) suy ra đồ thị hàm số y =f(x): Phần đồ thị y =f(x) gồm: - Phần đồ thị từ trục hoành trở lên của đồ thị y=f(x) - Đối xứng phần đồ thị trên qua trục hoành đợc nửa đồ thị còn lại. II. Bài tập: Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x 4 -2x 2 -1. Từ đó suy ra đồ thị hàm số y=x 4 -2x 2 -1. Câu 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x 3 + x-1. Từ đó suy ra đồ thị hàm số 1 3 += xxy . Câu 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 1 2 x y x = + 3 2 1 x y x + = . Từ đó suy ra đồ thị hàm số 2 1 2 x y x = + . Câu 4: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=x 3 - 3x 2 -6. Biện luận theo a số nghiệm của phơng trình: axx = 63 23 . Câu 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=1/6 x 3 + 3/2 x 2 + 5/2 x. Từ đó suy ra đồ thị hàm số xxxy 2 5 2 3 6 1 23 ++= . Câu 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=- 4x 3 + 3 x. Từ đó suy ra đồ thị hàm số )43( 2 xxy = . Câu 7: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 3 2 1 x y x + = . Từ đó suy ra đths 3 2 1 x y x + = . Dạng 3: Tơng giao của hai đồ thị 1. Số giao điểm của hai đồ thị: Tổng quát: Tìm giao điểm của hai đồ thị hai hàm số y=f(x) và y=g(x) B ớc 1: Thiết lập phơng trình hoành độ giao điểm f(x)=g(x) (1) B ớc 2: Biện luận (1) Câu 1: Cho hàm số: y=x 3 +3x 2 +1. Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d): y=2x+5 với đồ thị hàm số. Chú ý: Điều kiện cần và đủ để hàm số y=ax 3 +bx 2 +cx+d (a0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt là: Hàm số có cực đại, cực tiểu và y CĐ .y CT <0 < > 0)().( 0 21 ' xyxy y Câu 2: Cho hàm số: y=mx 3 +3x 2 +1. Tìm m để đồ thị cắt trục 0x tại ba điểm phân biệt. 2. Sự tiếp xúc của hai đồ thị: Để hai đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) tiếp xúc nhau thì: Hệ sau có nghiệm = = )(')(' )()( xgxf xgxf Khi đó nghiệm của hệ phơng trình chính là hoành độ tiếp điểm. Hc ngy mai lp nghip! Trnh Th Hng Hnh Câu 3: Cho hàm số y=(x-1)(x 2 +mx+m). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành. Xác định toạ độ tiếp điểm trong mỗi trờng hợp tìm đợc. Câu 4: Cho hàm số: y=(x+1) 2 (x-1) 2 . Xác định a để đồ thị hàm số tiếp xúc với parabol (P): y=ax 2 -3. 3. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số (C): y=ax 3 +bx 2 +cx+d cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng. Ph ơng pháp: Dùng viét B ớc 1: Lập phơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ax 3 +bx 2 +cx+d=0 (1) B ớc 2: Điều kiện cần +, Giả sử phơng trình có 3 nghiệm x 1 ,x 2 ,x 3 (x 1 <x 2 <x 3 ). Khi đó: = =++ =++ a d xxx a c xxxxxx a b xxx 321 133221 321 +, Để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt với hoành độ lập thành một cấp số cộng thì : x 1 +x 3 =2x 2 2x 2 =- b/a x 2 =- b/3a +, Với x 2 =- b/3a thay vào (1) suy ra tham số m. B ớc 3: Điều kiện đủ Với tham số m vừa tìm đợc thử lại vào (1) Câu 5: Tìm m để hàm số: y=x 3 -3x 2 -9x+m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng. (m=11) 4. Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số (c): y=ax 4 +bx 2 +c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng. B ớc 1: Thiết lập phơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với 0x. ax 4 +bx 2 +c=0 (1) B ớc 2: Đặt t=x 2 , t0 (1) có dạng : at 2 +bt+c=0 (2) B ớc 3: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phơng trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt dơng: 0<t 1 <t 2 > > > 0 0 0' a c a b và khi đó có 4 nghiệm của (1) là: 2112 ,,, tttt B ớc 4: Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng: =+ =+ 121 112 2 2 ttt ttt 1212 93 tttt == B ớc 5: Theo định lý viét ta có: = =+ a c tt a b tt 21 21 Hc ngy mai lp nghip! Trnh Th Hng Hnh B ớc 6: Thay (4) vào (1) ta đợc = =+ a c tt a b tt 11 11 9. 9 a c a b 910 2 = Kết hợp (6) và (3) để nhận điều kiện của tham số. Câu 6: Cho hàm số y=x 4 -2(m+1)x 2 +2m+1. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng. (m=4, m=- 4/9). Câu 7: Cho hàm số: y=x 3 +mx 2 -9x-9m (C m ) a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=3. b, Tìm m để (C m ) cắt 0x tại 3 điểm phân biệt. Câu 8: Cho hàm số: y=x 3 -3x+1. Tìm m để đờng thẳng y=m(x-1)-1 tiếp xúc với đồ thị hàm số. Câu 9: Xác định m để đồ thị: y=x 3 -2x 2 -(m-1)x-1 tiếp xúc với trục hoành. Câu 10: Cho hàm số: y=(x+1) 2 (x-1) 2 . Tìm b để (P): y=2x 2 +b tiếp xúc với đồ thị hàm số. Câu 11: Cho hàm số: y=x 4 -2mx 2 +m đồ thị (C m ). Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Câu 12: Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y=x 3 +m(x 2 -1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Dạng 4: Điểm cố định của đồ thị 1. Bài toán 1: Cho họ (C m ) có phơng trình: y=f(x,m) với m thuộc R. Tìm điểm cố định của họ (C m ). Giả sử M(x 0 ,y 0 ) là điểm cố định của họ (C m ). Khi đó: y 0 =f(x 0 ,m), m. Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0. Suy ra (x 0 ,y 0 ). 2. Bài toán 2: Cho họ (C m ) có phơng trình: y=f(x,m) với m thuộc R. Tìm điểm mà họ (C m ) không đi qua với mọi giá trị của m. Giả sử M(x 0 ,y 0 ) là điểm mà họ (C m ) không thể đi qua. Khi đó phơng trình y 0 =f(x 0 ,m) (1) vô nghiệm với m. Nhóm theo bậc của m rồi tìm điều kiện để (1) vô nghiệm. Suy ra (x 0 ,y 0 ). Câu 1: Cho hàm số y=x 4 -(m+1)x+m. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m. Câu 2: Cho hàm số: 2 2 1 x y x + = + 2 2 1 x y x + = + (H) Chứng minh rằng đờng thẳng y=mx+m-1 luôn đi qua một điểm cố định của đờng cong (H) khi m biến thiên. Câu 3: Tìm điểm cố định mà họ đồ thị hàm số luôn đi qua. y=x 3 -(m+4)x 2 +4x+m Câu 4: Tìm các điểm cố định mà họ đồ thị hàm số không đi qua: y=(x-2)(x 2 -2mx+m 2 -1) Câu 5: Tìm các điểm cố định của các họ đồ thị sau: a, y=mx 2 +(m-1)x-2m+1 (m thuộc R) b, y=x 3 -(m+1)x 2 +2(m 2 +4m+1)x-4m(m+1) Hc ngy mai lp nghip! Trnh Th Hng Hnh c, mx mx y + + = 1 , m 1. Câu 6: Chứng minh rằng đồ thị các hàm số sau luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi. a, y=x 4 +mx 2 -(m+1) b, y=-x 4 +2mx 2 -2m+1 Câu 7: Tìm điểm cố định mà họ đồ thị hàm số luôn đi qua. a, y=x 4 +mx 2 -(m+5) b, y=x 3 -3mx+2m Câu 8: Cho họ (C m ) : mx mmxm y + = )42()2( 2 . Tìm những điểm trên mặt phẳng toạ độ mà đồ thị hàm số không thể đi qua với bất kỳ giá trị nào của m. Dạng 5: Tiếp tuyến của đồ thị. Chủ đề 1: Viết phơng trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đờng thẳng cho trớc. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x 0 ,y 0 ) có dạng: y-y(x 0 )=k(x-x 0 ), trong đó: k=y(x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M. Xét các trờng hợp sau: - Biết x 0 y 0 k=y(x 0 ) - Biết y 0 thay vào phơng trình ban đầu tìm x 0 rồi tìm k - Biết k=y(x 0 ) suy ra x 0 rồi suy ra y 0 Hai đờng thẳng song song với nhau có hệ số góc bằng nhau. Hai đờng thẳng vuông góc với nhau có hệ số góc nhân với nhau bằng (-1). Câu 1: Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số: 2 3 3 ( ) , ( ) 2 2 2 x x x f x g x x = + = + tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đờng cong trên và viết phơng trình tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó. Câu 2: Cho hàm số: 1 2 x y x + = . a, Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm A của đồ thị với trục tung. b, Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho, biết tiếp tuyến đó song song với tiếp tuyến tại A. Câu 3: Cho hàm số: y=x 3 -3x 2 +2. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến này vuông góc với đờng thẳng: 3x-5y-4=0. Chủ đề 2: Lập phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết một điểm thuộc tiếp tuyến. 1. Viết ph ơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua A(x A ,y B ) Cách 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm là x=x 0 . Khi đó phơng trình tiếp tuyến có dạng: (d): y-y(x 0 )=y(x 0 )(x-x 0 ) (1) Điểm A(x A ,y B ) thuộc d y A -y 0 =y(x 0 )(x A -x 0 ) (2) Từ phơng trình (2) ta suy ra đợc x 0 . Thay vào (1) ta đợc phơng trình tiếp tuyến. Cách 2: Phơng trình đờng thẳng d đi qua A có dạng: y=k(x-x A )+y A Tham số k đợc suy ra từ điều kiện d tiếp xúc với đồ thị. Câu 4: Cho hàm số: y=x 3 -3x 2 +2. Viết phơng trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm A(23/9,-2). (ĐS: y=-2; y=9x-25; y=-5/3x+61/27). Câu 5: Cho hàm số: y=2x 3 +3(m-3)x 2 +11-3m (C m ) Hc ngy mai lp nghip! Trnh Th Hng Hnh a, Lập phơng trình tiếp tuyến của đồ thị C 2 , biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y=12x+2006. b, Lập phơng trình tiếp tuyến của đồ thị C 2 , biết tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng 32x-21y=0. Câu 6: Cho hàm số: y=x 3 -3x. Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ điểm (-1;0) đến đồ thị hàm số. 2. Cho hàm số: y=f(x) (C). Tìm điểm A thoả mãn tính chất I để từ đó kẻ đ ợc k tiếp tuyến tới đồ thị (C). B ớc 1: Giả sử A(x 0 ,y 0 ). B ớc 2: Phơng trình đờng thẳng đi qua A(x 0 ,y 0 ) với hệ số góc k có dạng: (d): y=k(x-x A )+y A B ớc 3: Đờng thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm: = += )2()(' )1()()( kxf yxxkxf AA B ớc 4: Thay (2) vào (1) suy ra f(x)=f(x)(x-x A )+y A (3) B ớc 5: Khi đó số nghiệm phân biệt của (3) là số tiếp tuyến kẻ đợc từ A tới đồ thị (C). Do đó để từ A kẻ đợc k tiếp tuyến tới đồ thị (C) Phơng trình (3) có k nghiệm phân biệt Điểm A. Câu 7: Cho hàm số: y=-x 3 +3x+2 (C). Tìm những điểm trên trục hoành từ đó kẻ đợc 3 tiếp tuyến tới đồ thị. 2. Góc giữa hai tiếp tuyến: B ớc 1: Gọi k 1 ,k 2 theo thứ tự là hệ số góc của các tiếp tuyến d 1 và d 2 . B ớc 2: là góc giữa hai tiếp tuyến trên thì: 21 21 1 tan kk kk + = Nếu d 1 d 2 thì k 1 .k 2 =-1 Câu 8: Cho hàm số: 3 1 + = x x y (C). a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b, Tìm toạ độ các giao điểm của các đờng tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng: y=x+2010. Câu 9: cho hàm số: 3 2 2 3 xxy += . Viết phơng trình tiếp tuyến của hàm số, biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y=2x. Câu 10: Cho hàm số: y=2x 3 +3(m-3)x 2 +11-3m (C m ) a, Lập phơng trình các đờng thẳng đi qua A(19/12;4) và tiếp xúc với C 2 . b, Tìm trên đờng thẳng y=4 những điểm sao cho từ đó kẻ đợc duy nhất một tiếp tuyến đến C 2 . c, Tìm trên đờng thẳng y=4 những điểm sao cho từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến đến C 2 . d, Tìm trên đờng thẳng y=4 những điểm sao cho từ đó kẻ đợc ba tiếp tuyến mà trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau đến C 2 . Câu 11: Cho hàm số: y=x 3 -3x (C) và đờng thẳng d: y=mx+1 Hãy xác định m để d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau. Câu 12: Cho hàm số: y=x 3 -3x. Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đồ thị hàm số. Hc ngy mai lp nghip! Trnh Th Hng Hnh Dạng 6: Khoảng cách Sử dụng các kết quả sau: 1. Khoảng cách giữa hai điểm A(x A ,y A ) và B(x B ,y B ) đợc cho bởi: AB= ( ) ( ) 2 21 2 21 yyxx + 2. Khoảng cách từ điểm M(x M ,y M ) đến đờng thẳng : ax+by+c=0 đợc cho bởi: d(M;)= 22 00 ba cbyax + ++ 3. Khoảng cách ngắn nhất đợc xác định bằng việc sử dụng bất đẳng thức (côsi, bunhiacôpski,) hoặc sử dụng đạo hàm. Bài tập: Câu 1: Cho hàm số: 1 12 + + = x x y . Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất. Câu 2: Cho hàm số: 1 1 += x xy (C). Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài AB ngắn nhất. Câu 3: Cho hàm số: 1 22 2 + ++ = x xx y . Tìm điểm thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung. Câu 4: Cho hàm số: 2 54 2 + ++ = x xx y . Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đờng thẳng 3x+y+6=0. Ch ơng I: ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Phần I: Tính đơn điệu của hàm số I. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số: 1. Ph ơng pháp: +, B ớc 1: Tìm tập xác định +, B ớc 2: Tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm và áp dụng định lý sau: Hc ngy mai lp nghip! Trnh Th Hng Hnh . Nếu '( ) 0,f x x I> thì hàm số đồng biến trên khoảng I. . Nếu '( ) 0,f x x I< thì hàm số nghịch biến trên khoảng I. . Nếu '( ) 0,f x x I= thì hàm số không đổi trên khoảng I. Chú ý: - Khoảng I trong định lý có thể thay bằng một đoạn hoặc nửa khoảng và khi đó phải bổ sung hàm số liên tục trên đoạn hoặc nữa khoảng đó. - Có thể mở rộng định lý '( ) 0f x với mọi x thuộc I (hoặc '( ) 0f x với mọi x thuộc I) và '( ) 0f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I. 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Khảo sát tính đơn điệu (chiều biến thiên) của các hàm số sau: 3 2 , 3 4a y x x= + ; 4 2 , 2 2b y x x= + 2 , 2 1 x c y x = + ; 2 2 5 4 , 2 x x d y x + + = + Ví dụ 2: Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số sau: 2 , 9a y x= ; 2 3 , ( 1)b y x x= 2 , 4 1c y x x= + + ; 2 , 4 1d y x x= + + Ví dụ 3: Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số sau: , sin cosa y x x= + trên [ ] 0;2 ; , cos2 2 3b y x x= + trên Ă 1 , sin sin 2 2 c y x x= + trên [ ] 0, ; , cos sind x x+ trên 0, 2 3. Bài tập: Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số sau: 3 2 4 2 2 2 2 3 3 , 2 1 , 2 5 2 8 9 , , 2 3 5 , 2 3 , 2 (4 ) , (10 ) , cos 4 a y x x x b y x x x x x c y d y x x e y x x e y x x f y x x f y x x x = + + = + = = + = + = = = + + II. Xác định tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên miền D: 1. Ph ơng pháp: +, Bớc 1: Tính đạo hàm '( )f x . +, Bớc 2: áp dụng định lý . Nếu hàm số đồng biến trên I thì '( ) 0f x với mọi x thuộc I. . Nếu hàm số nghịch biến trên I thì '( ) 0f x với mọi x thuộc I. 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số: 3 ( 2) 2y m x mx= + Tìm m để hàm số đồng biến trên Ă . Hc ngy mai lp nghip! [...]... Cho hàm số: y = x 2 + (m + 2) x + 3 m x +1 Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó 2 x 2 + (1 m) x + 1 + m Ví dụ 3: Cho hàm số: y = xm Tìm m để hàm số đồng biến trên (0; +) 1 Ví dụ 4: Cho hàm số: y = x 3 + (m 1) x 2 + (m + 3) x 4 3 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;3) Ví dụ 5: a, Cho hàm số: y = (m 3) x (2m + 1)sin x Tìm m để hàm số nghịch biến trên Ă b, Cho hàm số: ... để hàm số đồng biến trên Ă 3 Bài tập: Câu 1: Cho hàm số: y = x 3 3x 2 + (m 2) x + 7 Tìm m để hàm số đồng biến trên Ă Câu 2: Cho hàm số: y = (m + 1) x 2 + 2 x + 1 x +1 Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó x 2 (1 + m) x + 4m 2 4m + 2 Câu 3: Cho hàm số: y = x +1 m Tìm m để hàm số đồng biến trên (0; +) 1 Câu 4: Cho hàm số: y = x 3 + (m 1) x 2 + (m + 3) x 4 3 Tìm m để hàm số. .. khoảng (0;3) Câu 5: Tìm m để hàm số y = 2m(sin x + cos x) + m 2 đồng biến trên Ă Câu 6: Cho hàm số: y = x 3 + 3 x 2 + mx + m Tìm m để hàm số nghịch biến trên 1 đoạn có độ dài bằng 3 III Chứng minh bất đẳng thức bằng tính đơn điệu: 1 Phơng pháp: Để chứng minh bất đẳng thức có dạng: f ( x) g ( x), x D (Hoặc f ( x) g ( x), x D ) ta có thể làm nh sau: Xét sự biến thiên hàm số h( x) = f ( x) g ( x)... giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D: Phơng pháp: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ a, b ] +, Tính f(x), tìm các điểm xi của f(x)=0 hoặc f(x) không xác định trên (a,b) +, Tính giá trị f(a), f(b), f(xi) +, So sánh để chọn maxf(x), minf(x) Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: x3 a, + 2 x 2 + 3... Ví dụ 2: a, Chứng minh: 2 x + 12 3 x 2 4, x [ 2;2] b, Cho a 0 , b 0 thoả mãn điều kiện a+b=1 Chứng minh rằng: 2 a b + 1 3 1+ b 1+ a Bài tập: Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 4 3 a, y = ( x + 3) + ( x + 5) 4 trên đoạn [ 3;3] ; b, x 3 x trên đoạn [ 2;4] 4 2 c, y = x + 4 x 2 ; d , y = sin x + cos x + 2 Câu 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 x2 + 1 a, 2 2, x Ă ; . Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x 4 -2x 2 -1. Từ đó suy ra đồ thị hàm số y=x 4 -2x 2 -1. Câu 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x 3 + x-1. Từ đó suy ra đồ thị hàm số 1 3 += xxy . Câu 3: Khảo sát. toán phụ khảo sát hàm số. Dạng I: Cực trị của hàm số I. Lý thuyết: Chủ đề 1: Cực trị của hàm bậc 3 và các bài toán liên quan a, Tìm điều kiện để hàm số có cực trị: Tổng quát: Cho hàm số bậc ba Hc. Hnh Phần I: Khảo sát hàm số I. Lý thuyết: Các bớc khảo sát hàm số: 1. Tập xác định 2. Xét sự biến thiên của hàm số: a, Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số. Tìm các