ĐỀ SỐ 30. THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút. I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = 1 4 (x 2 – m)(x 2 + 1) (1) (m là tham số) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3. 2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A và B vuông góc với nhau. Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình 3 sinx - 3cosx - 2 = cos 2x - 3 sin2x 2. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 3 2 1 1 4 22 + = + − + + = y x y x x x y y Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = e 3 1 ln x 1 dx x − ∫ . Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = BC = a; · ABC = 90 o . Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa hai mặt (SAC) và mặt phẳng (SBC) bằng 60 o . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. Câu V (1,0 điểm) Cho a,b,c là ba số thực dương tuỳ ý thoả mãn a+ b+ c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 ab bc ca P c ab a bc b ca = + + + + + II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(3; 0), B(-1; 8) và đường thẳng d có phương trình x - y -3 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua B và cắt đường thẳng d tại điểm C sao cho tam giác ABC cân tại C. 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 1), đường thẳng d: x 1 y z 2 1 1 + = = − và mặt phẳng (P): x + 3y + z – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt d và song song (P). Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 | z i | | z z 2i |− = − + . B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt chiều dương của trục Ox, Oy theo thứ tự tại A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất. 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng x 1 t : y 0 z t = + ∆ = = − . Viết phương trình đường thẳng d đi qua B, cắt ∆ sao cho khoảng cách từ A đến d bằng 3 . Câu VI.b (2,0 điểm) Cho số phức z = 1 + 3 i. Tính z 7 . Hết HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 30 Câu 1: 1. (1,0 điểm)Với m = 3, ta có hàm số y = 1 4 (x 2 – 3)(x 2 + 1) * Tập xác định: D = Ρ. * Sự biến thiên + Giới hạn: x x lim y ; lim y →−∞ →+∞ = +∞ = +∞ + Bảng biến thiên - y’ = x(x 2 – 1) ; y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ± 1. - Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ( ) ; 1 µ 0;1−∞ − v và đồng biến trên khoảng ( ) -1;0 và ( ) 1;+ ¥ . Hàm số đạt cực đại tại 0=x và giá trị cực đại ( ) 3 0 4 = −y , hàm số đạt cực tiểu tại 1= ±x và giá trị cực tiểu ( ) 1 1± = −y . Đồ thị: Câu 1: 2. (1,0 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm: 1 4 (x 2 – m)(x 2 + 1) = 0 Û x 2 – m = 0 (2) Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt Û m > 0. Khi đó A(- m ;0), B( m ;0). Ta có y’ = 1 2 x(2x 2 +1 –m). Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B có hệ số góc lần lượt là y’(- m ) = m 2 - (m + 1) và y’( m ) = m 2 (m + 1) Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B vuông góc với nhau khi và chỉ khi y’(- m ).y’( m ) = -1 Û m 2 - (m + 1). m 2 (m + 1) = - 1 Û m =1. Câu 2: 1. (1,0 điểm) Giải phương trình : 3 sinx - 3cosx - 2 = cos2x - 3 sin2x (1) (1) ⇔ 3 sinx(2cosx + 1) = 2cos 2 x + 3cosx + 1 ⇔ (2cosx + 1)(cosx - 3 sinx + 1) = 0 ⇔ cosx = - 1 2 hoặc cosx - 3 sinx + 1 = 0 (1’) * cosx = - 1 2 ⇔ x = ± 2 3 π + k2 p (1’) ⇔ cos(x + 3 π ) = - 1 2 ⇔ x = 3 π + k2 p hoặc x = - p + k2 p Câu 2: 2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 3 2 1 1 4 22 + = + − + + = y x y x x x y y (I)Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ 0. và x 2 + y 2 - 1 ≠ 0. Đặt u = x 2 + y 2 - 1 và v = x y Hệ phương trình (I) trở thành 3 2 1 21 4 u v u v + = = − Û 2 2 13 21 0 21 4 v v u v − + = = − Û 9 3 u v = = hoặc 7 7 2 u v = = + Với 9 3 u v = = Û 3 1 x y = = hoặc 3 1 x y = − = − Với 7 7 2 u v = = ⇔ Û 2 14 53 2 4 53 x y = = hoặc 2 14 53 2 4 53 x y = − = − Vậy hệ có nghiệm (3;1), (-3;-1), 2 2 14 ;4 53 53 æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø và 2 2 14 ; 4 53 53 æ ö ÷ ç ÷ - - ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø Câu 3: (1,0 điểm) Tính tích phân e 3 1 ln x 1 dx x − ∫ I = e 3 1 dx x ∫ - e 3 1 ln xdx x ∫ ( lnx – 1 £ 0, " x Î [ ] 1;e ) ⇒ I 1 = e 3 1 dx x ∫ = e 2 1 1 2x æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø = - 2 1 2e + 1 2 Đặt 3 u ln x dx dv x = = ⇒ 2 dx du x 1 v 2x = = − Þ I 2 = e 3 1 ln xdx x ∫ = e 2 1 ln x 2x æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø + 1 2 e 3 1 dx x ∫ = - 2 1 2e + 1 2 (- 2 1 2e + 1 2 ) = 1 4 - 2 3 4e Vậy I = e 3 1 ln x 1 dx x − ∫ = 2 2 e 1 4e + Câu 4: (1,0 điểm) Vì (SAB) ⊥ (ABC) và (SAC) ⊥ (ABC) nên SA ⊥ (ABC) Do đó chiều cao của khối chóp S.ABC là h = SA. Gọi H là trung điểm của cạnh AC, suy ra BH ⊥ AC Do đó BH ⊥ (SAC) Trong mặt phẳng (SAC) dựng HK ⊥ SC (H Î SC), suy ra BK ⊥ SC Do đó góc giữa (SAC) và (SBC) là · BKH 60= o . D BHK vuông tại H. Ta có BK = · BH sin HKB = a 2 2 sin 60 o = a 6 3 . D SBC vuông tại B có BK là đường cao, ta có 2 1 BK = 2 1 SB + 2 1 BC Þ 2 1 SB = 2 9 6a - 2 1 a = 2 1 2a Þ SB = a 2 Þ SA = a Thể tích của khối chóp S.ABC: SABC V = 1 3 SA. ABC S = 1 6 . SA. AB.BC = 3 a 6 . Câu 5: (1,0 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 ab bc ca P c ab a bc b ca = + + + + + Với a,b,c là ba số thực dương thoả mãn a+ b+ c = 2 , suy ra 0 < a, b, c < 2 2c + ab = 4 – 2(a + b) + ab = (2 - a)(2- b) a a S A B C K H 60 0 Ta có 2 ab c ab+ = ab 1 1 . 2 a 2 b- - £ 1 1 1 1 . ( ) ( ) 2 2 2 2 ab ab ab a b b c c a + = + − − + + Tương tự 1 ( ) 2 2 bc bc bc a b c a a bc ≤ + + + + và 1 ( ) 2 2 ca ca ca b a c b b ca ≤ + + + + Þ 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 ab ca bc ab bc ca P a b c b c b c c a c a a b a b ≤ + + + + + = + + = + + + + + + Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 khi và chi khi a = b = c = 2 3 . Câu 6a: 1. (1,0 điểm) Gọi d’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta có: I(1; 4), AB uuur = (-4; 8). Đường thẳng d’ đi qua I và nhận vectơ AB uuur = (-4; 8) làm vtpt nên có pt: -4( x -1) + 8(y – 4) = 0 hay x – 2y + 7 = 0. Vì tam giác ABC cân tại C nên C thuộc đường thẳng d’.Theo yêu cầu bài toán, C thuộc đường thẳng d. Suy ra, tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình x 2y 7 0 x y 3 = 0 − + = − − x 13 y 10 = ⇔ = . Vậy C(13; 10). Câu 6a: 2. (1,0 điểm) Phương trình tham số của d: = − + = = −x 1 2t;y t;z t . Gọi d’ là đường thẳng đi qua M, cắt d tại điểm N và song song với mp(P). Điểm N thuộc d nên tọa độ điểm N có dạng N(-1 + 2t; t; -t). MN (2t 2;t 1; t 1)= − − − − uuuur ; vtpt của (P): n (1;3;1)= r . Vì d’ song song (P) nên MN.n 0= uuuur r ⇔ 2t – 2 + 3t – 3 – t – 1 = 0 ⇔ 3 t 2 = . Suy ra 1 5 MN (1; ; ) 2 2 = − uuuur . Đường thẳng d’ đi qua M và nhận MN uuuur làm vtcp nên có pt = + = + = − 1 5 x 1 t;y 1 t;z 1 t 2 2 . Câu 7a: (1,0 điểm Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 | z i | | z z 2i |− = − + . Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi. Khi đó: 2 | z i | | z z 2i |− = − + ⇔ 2|x + (y – 1)i| = |2(y + 1)i| 2 2 2 x (y 1) (y 1)⇔ + − = + ⇔ 2 x y 4 = . Vậy tập hợp điểm M là parapol(P) 2 x y 4 = Câu 6b: 1. (1,0 điểm) Gọi d là đường thẳng đi qua M và cắt trục Ox, Oy theo thứ tự tại A(m; 0), B(n; 0) với m> 0, n > 0. Khi đó phương trình đường thẳng d có dạng x y 1. m n + = Vì d đi qua M nên 1 1 1 m n + = . Ta có: 1 1 1 1 2 mn 4 m n mn = + ≥ ⇒ ≥ , (1). Ta lại có: AB 2 = OA 2 + OB 2 = m 2 + n 2 ≥ 2mn, (2) Từ (1) và (2), suy ra AB 2 2≥ , đẳng thức xảy ra khi m = n = 1. Vậy phương trình đường thẳng d là x + y - 1 = 0. Câu 6b: 2. (1,0 điểm) Gọi d là đường thẳng đi qua B, cắt ∆ tại M và khoảng cách từ A đến d bằng 3 . Điểm M thuộc ∆ nên tọa độ điểm M có dạng M(1 + t; 0; -t). Ta có: BM (2 t; 2; t), BA (3; 1; 1)= + − − = − − uuur uuur , BM, BA (2 t;2 2t;4 t). = − − − uuur uuur 2 2 3t 10t 12 d(A, d) 3 3 t 0 t 2t 4 − + = ⇔ = ⇔ = + + .Với t = 0, ta có BM (2; 2;0)= − uuur . Đường thẳng d đi qua B và nhận BM (2; 2;0)= − uuur làm vtcp nên có phương trình tham số = − + = − =x 1 2t;y 2 2t;z 0 . Câu 7b: (1,0 điểm) Cho số phức z = 1 + 3 i. Tính z 7 . Ta có: z = 1 + 3 i = 1 3 2 i 2 2 + ÷ ÷ = 2 cos i sin 3 3 π π + ÷ . Suy ra: z 7 = 128 7 7 cos i sin 3 3 π π + ÷ = 128 cos isin 3 3 π π + ÷ = 64 + 64 3 i . ĐỀ SỐ 30. THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút. I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = 1 4 (x 2 – m)(x 2 + 1) (1) (m là tham số) . (2,0 điểm) Cho số phức z = 1 + 3 i. Tính z 7 . Hết HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 30 Câu 1: 1. (1,0 điểm)Với m = 3, ta có hàm số y = 1 4 (x 2 – 3)(x 2 + 1) * Tập xác định: D = Ρ. * Sự biến thi n + Giới. sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3. 2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1)