Đề luyện thi THPT Quốc gia môn toán số 59

Trường THPT Lam Kinh THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA - LẦN I - NĂM 2015 Môn: Toán Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian phát đề). Câu 1 (4.0 điểm). Cho hàm số 2 1 2 x y x + = + (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b. Chứng minh rằng đường thẳng d: y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Câu 2 (2.0 điểm). a. Giải phương trình cosx cos3x 1 2 sin 2x 4 π   + = + +  ÷   . b. Giải phương trình 1 2 1 log 1 log 6x x = − + Câu 3 (1.0 điểm). Giải bất phương trình 2.14 3.49 4 0 x x x + − ≥ Câu 4 (4.0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có AC = a, BC= 2a, · 120 o ACB = . Đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 30 0 . Gọi M là trung điểm của BB’. Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’ theo a. Câu 5 (1.0 điểm). Tìm hệ số của 7 x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của n x x       − 2 2 , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 323 1 24 nnn ACC =+ + . Câu6 (2.0 điểm). Tính nguyên hàm ∫ − xdxe x )2015( Câu 7 (2.0 điểm). Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D. Câu 8 (2.0 điểm). Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 4 ( ) 2 7 2 x y xy y y x y x y  + + + =  + = + +  ( , )x y ∈R . Câu 9 (2.0 điểm). Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 2 2 3 3 2 3 3 b c a a b a c a b c a c a b   + + + + <  ÷ + + + + + +   HẾT… Họ tên thí sinh: SBD: ĐÁP ÁN MÔN TOÁN (KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN ĐH - CĐ LẦN I NĂM 2015) Câu Đáp án Điể m Câu 1 (4.0đ) a.(2.0đ) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 1 2 x y x + = + . i/ TXĐ: D = R\{-2} ii/ Sự biến thiên + Giới hạn- tiệm cận Ta có: +∞=−∞=== −+ −→−→ +∞→−∞→ 22 lim;lim;2limlim xx xx yyyy Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là y= 2. 0,5 + Chiều biến thiên. Có Dx x y ∈∀> + = 0 )2( 3 ' 2 Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )2;( −−∞ và );2( +∞− 0,5 + Bảng biến thiên x ∞− -2 ∞+ y’ + + ∞+ 2 y 2 ∞− 0,5 iii/ Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 2 1 ) và cắt trục Ox tại điểm( 2 1 − ;0) Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng 2 1 0,5 b. (2.0 đ) Chứng minh rằng đường thẳng d: y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình    =−+−+ −≠ ⇔+−= + + )1(021)4( 2 2 12 2 mxmx x mx x x 0.5 Do (1) có mmmvam ∀≠−=−+−−+−>+=∆ 0321)2).(4()2(01 22 nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B. 0.5 2 x y O 2 -2 Ta có: y A = m – x A ; y B = m – x B nên AB 2 = (x A – x B ) 2 + (y A – y B ) 2 = 2(m 2 + 12) mà AB ngắn nhất khi AB 2 nhỏ nhất, đạt được khi m = 0 ( khi đó 24=AB ). 1.0 Câu2 (2.0đ) a. (1.0đ) Giải phương trình cosx cos3x 1 2 sin 2x 4 π   + = + +  ÷   . cosx cos3x 1 2 sin 2x 4 2cos xcos2x 1 sin 2x cos2x π   + = + +  ÷   ⇔ = + + ⇔ 2 2cos x 2sin x cosx 2cosx cos2x 0+ − = 0.25 ( ) ( ) cosx cosx sinx 1 sinx cosx 0⇔ + + − = 0.25 cosx 0 cosx sinx 0 1 sinx cosx 0 =   ⇔ + =   + − =  0.25 x k 2 x k 4 x k2 3 x k2 2 π  = + π   π  = − + π  ⇔  = π   π = + π   ( ) k ∈¢ Vậy, phương trình có nghiệm: x k 2 x k 4 x k2 π  = + π   π  = − + π   = π    ( ) k ∈¢ 0.25 b. (1.0 đ) Giải phương trình 1 2 1 log 1 log 6x x = − + ĐK: x > 0 và x ≠ 1; x ≠ 10 1 0.25 Đặt t = logx, được phương trình theo ẩn t là: t 2 - 5t + 6 = 0 (với t ≠ 0 và t ≠ -1) 2 3 t t =  ⇔  =  0.5 Với t = 2 thì ta có x = 100 (t/m) Với t= 3 thì ta có x = 1000 (t/m) Vậy phương trình có hai nghiệm là x =100 và x = 1000 0.25 3 Câu3 (1.0đ) Giải bất phương trình sau 2.14 3.49 4 0 x x x + − ≥ Chia cả hai vế của bpt cho 4 x được bpt 2 7 7 2 3 1 0 2 2 x x     ⇔ + − ≥  ÷  ÷     0.25 Đặt 7 2 x t   =  ÷   (với t > 0 ) Bpt trở thành 3t 2 + 2t – 1 ≥ 0 1 1 1 3 3 t t t ≤ −   ⇔ ⇒ ≥  ≥  0.5 7 1 2 3 x   ⇔ ≥  ÷   7 2 log 3x⇔ ≥ − KL: BPT có tập nghiệm        ∞+−= ;3log 2 7 S 0.25 Câu 4 (4.0đ) 0.5 Kẻ đường cao CH của tam giác ABC.Có CH ⊥ AB ;CH ⊥ AA’ suy ra CH ⊥ (ABB’A’),Do đó góc giữa A’C và mp(ABB’A’) là góc · 0 ' 30CA H = 0,5 Ta có 2 0 1 3 . .sin120 2 2 ABC a S CACB ∆ = = Trong tam giác ABC : 2 2 2 0 2 2 . . os120 7 7AB AC BC AC BC c a AB a= + − = ⇒ = 0,5 30 0 M H C / B / A / C B A 120 0 2a a 4 +) 2 3 1 3 . 2 2 7 ABC a S AB CH CH a ∆ = = ⇒ = 0,5 +) 0 3 ' .sin 30 ' 2 7 CH A C A C a= ⇒ = +) 2 2 5 ' ' 7 AA A C AC a= − = 0,5 +) 3 ' ' ' 15 '. 2 7 ABCA B C ABC a V AA S ∆ = = 0,5 +)d(CC’ ;AM)=d(CC’ ;(ABB’A’))=d(C;(ABB’A’))= 3 7 a 1.0 Câu 5 (1.0đ) Tìm hệ số của 7 x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của n x x       − 2 2 , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 323 1 24 nnn ACC =+ + . Ta có 3),2)(1()1( 6 )1(()1( .424 323 1 ≥−−=−+ −+ ⇔=+ + nnnnnn nnn ACC nnn 0,25 11 )2(33)1(2 =⇔ −=++⇔ n nn 0,25 Khi đó )2.( 2 .)( 2 11 0 322 11 11 0 112 11 11 2 ∑∑ = − = − −=       −=       − k kkk k k kk xC x xC x x Số hạng chứa 7 x là số hạng ứng với k thỏa mãn .57322 =⇔=− kk Suy ra hệ số của 7 x là .14784)2.( 55 11 −=−C 0,5 Câu 6 (2.0đ) Tính nguyên hàm ∫ − xdxe x )2015( Đặt    −= = dxedv xu x )2015(    −= = ⇒ xev dxdu x 2015 0,5 Khi đó ∫ − xdxe x )2015( = ∫ −−− dxxexex xx )2015()2015( 0,5 ) 2 .2015(2015 2 2 x exxe xx −−−= + C 0,5 Cxexe xx +−−= 2 2 2015 0,5 5 Câu 7 (2.0đ) Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D. Ta có: ( ) 1;2 5AB AB= − ⇒ = uuur . Phương trình của AB là: 2 2 0x y+ − = . 0,5 ( ) ( ) : ;I d y x I t t∈ = ⇒ . I là trung điểm của AC và BD nên ta có: ( ) ( ) 2 1;2 , 2 ;2 2C t t D t t− − . Gọi CH là đường cao kẻ từ đỉnh C của hình bình hành Theo giả thiết D . 4 ABC S AB CH= = 4 5 CH⇒ = . 0,5 Ta có: ( ) ( ) ( ) 4 5 8 8 2 ; , ; | 6 4 | 4 3 3 3 3 3 ; 5 5 0 1;0 , 0; 2 t C D t d C AB CH t C D      = ⇒ −  ÷  ÷  = ⇔ = ⇔       = ⇒ − −  Vậy tọa độ của C và D là 5 8 8 2 ; , ; 3 3 3 3 C D      ÷  ÷     hoặc ( ) ( ) 1;0 , 0; 2C D− − 1.0 Câu8 (2.0đ) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 4 ( ) 2 7 2 x y xy y y x y x y  + + + =  + = + +  , ( , )x y ∈R . NX: hệ không có nghiệm dạng (x 0 ;0) Với 0y ≠ , ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 4 . ( ) 2 7 2 1 ( ) 2 7 x x y y x y xy y y x y x y x x y y  + + + =   + + + =  ⇔   + = + + +   + − =   0.5 Đặt 2 1 , x u v x y y + = = + ta có hệ: 2 2 4 4 3, 1 2 7 2 15 0 5, 9 u v u v v u v u v v v u + = = − = =    ⇔ ⇔    − = + − = = − =    0,5 +) Với 3, 1v u= = ta có hệ: 2 2 2 1, 2 1 1 2 0 2, 5 3 3 3 x y x y x y x x x y x y y x y x = =    + = + = + − =  ⇔ ⇔ ⇔     = − = + = = − = −     . KL: Hệ pt có hai nghiệm là: (1; 2) và (-2; 5). 0,5 6 +) Với 5, 9v u= − = ta có hệ: 2 2 2 1 9 1 9 9 46 0 5 5 5 x y x y x x x y y x y x    + = + = + + = ⇔ ⇔    + = − = − − = − −    , hệ này VN. KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.x y = − 0,5 Câu 9 (2.0đ) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 2 2 3 3 2 3 3 b c a a b a c a b c a c a b   + + + + <  ÷ + + + + + +   Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên: a b c b c a c a b + >   + >   + >  . Đặt ( ) , , , , 0 , , 2 2 a b c a x y a z x y z x y z y z x z x y + + = = = > ⇒ + > + > + > . Viết lại vế trái: 2 3 3 2 a b a c a VT a c a b a b c x y z y z z x x y + + = + + + + + + = + + + + + 0,5 Ta có: ( ) ( ) 2 2 z z x y z z x y z z x y x y z x y + > ⇔ + + < + ⇔ > + + + . Tương tự: 2 2 ; . x x y y y z x y z z x x y z < < + + + + + + Do đó: ( ) 2 2 x y z x y z y z z x x y x y z + + + + < = + + + + + . Tức là: 1 1 2 2 3 3 2 3 3 b c a a b a c a b c a c a b   + + + + <  ÷ + + + + + +   0,5 7 . Trường THPT Lam Kinh THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA - LẦN I - NĂM 2015 Môn: Toán Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian phát đề) . Câu 1 (4.0 điểm). Cho hàm số 2 1 2 x y x + = + . MÔN TOÁN (KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN ĐH - CĐ LẦN I NĂM 2015) Câu Đáp án Điể m Câu 1 (4.0đ) a.(2.0đ) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 1 2 x y x + = + . i/ TXĐ: D = R{-2} ii/ Sự biến thi n. +∞=−∞=== −+ −→−→ +∞→−∞→ 22 lim;lim;2limlim xx xx yyyy Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là y= 2. 0,5 + Chiều biến thi n. Có Dx x y ∈∀> + = 0 )2( 3 ' 2 Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng