Đề số 1 Câu 1 Xét các tứ diện SABC có SA, SB , SC vuông góc với nhau từng đôi một và các mặt bên (SBC), (SCA), (SAB) theo thứ tự hợp với mặt (ABC) các góc α, β, γ . Tìm giá trị nhỏ nhất của: M = tg 2 α + tg 2 β + tg 2 γ +cotg 2 α + cotg 2 β + cotg 2 γ Câu 2 Cho hàm số f xác định và lấy giá trị trong tập hợp các số thực R sao cho với mọi x,y thuộc R ta đều có: f(1975x) = f(sin(30x +4y)) + f(sin(30x - 4y)) Hãy xác định giá trị của f( + + ) Câu 3 Cho phương trình Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương thì phương trình có duy nhất một nghiệm dương X n và tìm Câu 4 Cho tứ diện ABCD có các đường cao AA', BB', CC', DD' đồng qui tại một điểm thuộc miền trong của tứ diện. Các đường thẳng AA', BB', CC', DD' lại cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo thứ tự tại A 1 , B 1 , C 1 , D 1 Chứng minh: Đề số 2 Câu 1: ( 2 điểm ) Giải phương trình : 8cos4x.cos 2 2x + cosx + 1 = 0 Câu 2: ( 2 điểm) Tính số đo các góc trong tam giác ABC , biết = = Câu 3: ( 2 điểm ) Cho tam giác ABC . a) Hãy dựng điểm M là ảnh của điểm A qua phép quay tâm C , góc quay -90 độ và điểm N là ảnh của điểm B qua phép quay tâm C góc quay 90 độ b) Gọi O,O’,I lần lượt là trung điểm của AM ,BN,AB. Chứng minh tam giác IOO" là tam giác vuông cân . Câu 4: ( 2 điểm ) Tìm tất cả các hàm số thoả mãn: f(x) + f(1-x) = x 2 + 1, ∀x ∈ R Câu 5: ( 2 điểm ) Cho a,b,c > 0 và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + + Đề số 3 câu 1: Cho x 1, x 2 , …, x n là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 3 2 1 2 1 2 (2 1)( ) n n x x x n n x x x n+ + + + ≤ − + + + + 1 2 1 n s x x x n= + + + + + Chứng minh tổng không là số chính phương. Câu 2: Cho a>0 và a khác 1, xét dãy số xác định như sau: x 1 = α và x n+1 (3x n 2 + 1) = x n 3 + 3x n Hãy chứng minh dãy số (y n ) với y n = (a - 1)x n có giới hạn và tìm giới hạn đó. Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = cos 4 x + sin 2 x + cosxsinx Câu 4: Cho tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c và B > C. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để A=2(B-C) là: (b -c) (b + c) 2 = a 2 b với A, B, C là các góc của tam giác ABC. Đề số 4 Câu 1: (5 điểm). Cho hàm số f(x) = + Giải các phương trình sau: 1. f(x) = 2 2. f(x) = 1 + Câu 2: (5 điểm) Các góc A, B, C của một tam giác thỏa mãn: Tìm các góc của tam giác đó. Câu 3: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B ta lấy một điểm S sao cho SB = BA = AC = 1. (P) là mặt phẳng song song với các cạnh SB và AC cắt các cạnh SA, SC, BC, BA lần lượt tại D, E, F, H. 1. Chứng minh DEFH là hình chữ nhật. 2. Xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho diện tích hình chữ nhật đó lớn nhất. Câu 4: (3 điểm). a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: (a 2 b + b 2 a +a 2 c + c 2 a + b 2 c + c 2 b) 2 ≥ 4(ab + bc + ca)(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) Đề số 5 Câu 1: (6 điểm). 1. Cho biểu thức: A = 1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x + 2cos8x + 2cos10x Chứng minh: A = 2. Giải phương trình: (sin3x + 4sin2x cos3x) 2 = 11cos 2 3x Câu 2: (5 điểm) Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Chứng minh: + + ≥ 1 Câu 3: (7 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD với AB = a và BC = b. Các đường thẳng (∆)và (∆’)vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt tại C và D.Trên các đường thẳng (∆) và (∆’) ta lấy lần lượt các điểm M, N bất kỳ sao cho AN ⊥ BM 1. Chứng minh các điểm M, N ở 2 phía khác nhau đối với mặt phẳng (ABCD). 2. Chứng minh tứ diện ABMN có 4 mặt là các tam giác vuông. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S = CM 2 + DN 2 Câu 4: (2 điểm). Cho hàm số f(x) = sin + x 2 + x + 1 . Chứng minh phương trình: sin + 2 + f(x) + 1 = x không có nghiệm. Đề số 6 Câu 1: (5 điểm). 1. Chứng minh với mọi giá trị của x, ta có: + ≥ 1 2. Giải phương trình: + = 2cosx - cos 2 x Câu 2: (5 điểm) Tính các góc của tam giác ABC nếu tam giác đó thỏa mãn: Trong đó BC = a, CA = b, AB = c và A, B, C là độ lớn 3 góc của tam giác ABC đối diện lần lượt với 3 cạnh BC, CA và AB. Câu 3: (7 điểm) Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (O) bán kính R và điểm A cố định trên đường tròn (O). Tứ giác ABCD biến thiên, nội tiếp trong đường tròng (O) sao cho 2 đường chéo luôn vuông góc với nhau. Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) tại A ta lấy điểm S. Nối S với A, B, C, D. 1. Chứng minh BD⊥ SC 2. Nêu cách xác định điểm I cách đều 5 điểm A, B, C, D và S. 3. Tứ giác ABCD là hình gì để diện tích của nó lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó theo R. Câu 4: (3 điểm). Cho các số thực a, b, c và d thỏa mãn điều kiện: (133a + 29b +7c +2d - 7)(91a + 25b +7c +2d -7) < 0 Chứng minh rằng tồn tại các số thực u và v sao cho: u + v = 7 và a(u 3 + v 3 ) + b(u 2 + v 2 ) + c(u + v) + 2d = 7. Đề số 7 Câu 1: (6 điểm). Cho phương trình sau: (m + 3)sin 3 x + (m - 1)cos 3 x + cosx - (m + 2)sinx = 0 1. Giải phương trình khi m = - 5 . 2. Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm x ∈ Câu 2: (4 điểm) Trên mặt phẳng cho tứ giác lồi ABCD có AB = BC = CD = a. 1. Nếu biết = = 120 0 Hãy tính diện tích tứ giác ABCD theo a. 2. Giả sử tứ giác ABCD thay đổi, mà AB = BC = CD = a không đổi. Hãy tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD. Câu 3: (7 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. 1. Ta coi hình chóp đã cho là tứ diện SABC có trọng tâm O, gọi (α )là góc giữa mp(SAB) và mp(ABC). Hãy tính cosα để O cách đều tất cả các mặt của SABC. 2. Biết = 30 0 Xét mặt phẳng (P) thay đổi đi qua A, sao cho mp(P) cắt các đoạn thẳng SB, SC thứ tự tại B', C'. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác AB'C' theo a. Câu 4: (3 điểm). Cho phương trình: x 3 - 3x 2 + 1 = 0 Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 . Giả sử x 1 < x 2 < x 3 , chứng minh rằng: < x 2 và (2 - x 1 )(2 + x 3 ) > 27 Đề số 8 Câu 1: Giải phương trình: x 2 - 1000 = 1000 + x Câu 2: Giải hệ phương trình: Câu 3: Cho ∆ABC, BC = a; CA = b; Ab = c; m a , m b , m c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A;B;C. CMR: bc.m a + ca.m b + ab.m c ≤ Câu 4: Tìm m để hpt sau có 4 nghiệm: Câu 5: a. Cho x, y, z ∈ CMR: (2 x + 2 y + 2 z )(2 -x + 2 -y + 2 -z ) ≤ b. Cho x, y thỏa mãn: x 2 + xy + y 2 = 2 . Tìm Min; Max của biểu thức: A = x 2 - 2xy + 3y 2 … Hết…. . 1: (6 điểm). Cho phương trình sau: (m + 3)sin 3 x + (m - 1)cos 3 x + cosx - (m + 2)sinx = 0 1. Giải phương trình khi m = - 5 . 2. Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm x ∈ Câu. Cho x, y, z ∈ CMR: (2 x + 2 y + 2 z )(2 -x + 2 -y + 2 -z ) ≤ b. Cho x, y thỏa mãn: x 2 + xy + y 2 = 2 . Tìm Min; Max của biểu thức: A = x 2 - 2xy + 3y 2 … Hết…. . và B > C. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để A=2(B-C) là: (b -c) (b + c) 2 = a 2 b với A, B, C là các góc của tam giác ABC. Đề số 4 Câu 1: (5 điểm). Cho hàm số f(x) = + Giải các phương