S GIO DC & O TO HƯNG YÊN Trng THPT Minh Châu THI CHN HC SINH GII CP TRNG Nm hc 2014 2015. Mụn Toỏn: 11 Thi gian lm bi 180 phỳt, khụng k thi gian giao ( thi cú 01 trang) Cõu I ( 2.0 im) 1) Gii phng trỡnh ( ) 3 3 sin cos cos2 2cos sinx x x x x + = 2) Tỡm x sinx; sin 2 2x; 1-sin7x theo th t lp thnh mt cp s cng. Cõu II ( 2.5 im) 1) Mt on tu cú 4 toa ch khỏch vi mi toa cũn ớt nht 5 ch trng. Trờn sõn ga cú 5 hnh khỏch chun b lờn tu. Tớnh xỏc sut trong 5 hnh khỏch lờn tu ú cú mt toa cú 3 khỏch lờn, hai toa cú mt khỏch lờn v mt toa khụng cú khỏch no lờn tu. 2) Tìm hệ số của 4 x trong khai triển sau: 3 5 3 1 n nx x + ữ biết n là số nguyên thoả mãn hệ thức 1 2 2 2 20 n n C C n+ = . ( k n C l s t hp chp k ca n phn t). 3) Tớnh gii hn 2015 2 1 2015 2014 lim ( 1) x x x I x + = Cõu III (2,0 im). 1) Chng minh rng phng trỡnh 3 8 6 1 0x x = cú ba nghim thc phõn bit. Hóy tỡm 3 nghim ú. 2) Gii h phng trỡnh: + + + + = + + + + + + + = 2 2 x y x y 3 (x y) 2 x y (x, y R) x x y 2 x y 3 . Cõu IV( 2.5 im) 1) Trong mt phng vi h trc ta Oxy cho parabol (P): xxy 2 2 = v elip (E): 1 9 2 2 =+ y x . Chng minh rng (P) giao (E) ti 4 im phõn bit cựng nm trờn mt ng trũn. Vit phng trỡnh ng trũn i qua 4 im ú. 2) Cho hỡnh hp ng ABCD.ABCD cú ã 0 3 ; ' ; 60 . 2 a AB AD a AA BAD= = = = Gi M v N ln lt l trung im ca AD v AB, E l giao im ca MN v AC. a) Tớnh cosin ca gúc to bi ng thng BE v mt phng (ACCA). b) Chng minh AC vuụng gúc vi mt phng (BDMN). Cõu V( 1,0 im) Cho dóy s ( ) n x xỏc nh nh sau : 0 1 1 2 2( 1) 1 n n n x x x n x + = = + + vi mi n N . Tỡm 2 lim ( ) n n n x + . Ht Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . SBD: . lớp: P N Câu I.1 (1 ) 1. Gii phng trỡnh lng giỏc : ( ) 3 3 sin cos cos2 2cos sinx x x x x + = Bin i a v tớch (sinx + cosx)(2sinx - cosx)cosx = 0 * cos 0 , 2 x x k k = = = Â *sinx + cosx 2 sin( ) 0 , 4 4 x x k k + = = + Â *2sinx - cosx 1 1 tan , , tan 2 2 x x k k = = = =Â S : x = , 2 k k Z + ; x = , 4 k k Z + ; x = 1 , ,tan 2 k k Z + = 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu I.2 (1 ) 2. sinx; sin 2 2x; 1-sin7x theo th t lp thnh mt cp s 2 sin 1 sin 7 2sin 2 sin 1 sin 7 1 cos 4 cos4 0 2cos 4 sin 3 cos4 1 sin 3 2 8 4 2 , 18 3 5 2 18 3 x x x x x x x x x x x x k x k k x k + = + = = = = = + = + = + Â KL 0,25 0,25 0,5 Câu II.1 (1 ) , Tìm hệ số của 4 x trong khai triển sau: 3 5 3 1 n nx x + ữ biết n là số nguyên thoả mãn hệ thức 1 2 2 2 20 n n C C n+ = . Từ hệ thức 1 2 2 2 20 n n C C n+ = . Đk 2 2, 3 40 0 8 5n n Z n n n n = = = Ta đợc n= 8 thoả mãn . Ta có : 8 8 40 14 8 3 35 5 8 3 8 3 3 0 1 1 8 2 .2 . k k k k k x x C x x x = = + = + = ữ ữ . Khai triển chứa x 4 40 14 4 2 3 k k = = . Vậy hệ số của x 4 là 2 6 8 .2 1792C = 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu II.2 (0.75) Gi A l bin c cn tớnh xỏc sut S cỏch xp 5 khỏch lờn 4 toa l 5 4 = S cỏch chn ba khỏch xp lờn cựng mt toa l 3 5 10C = S cỏch chn mt toa xp ba ngi ny l 1 4 4C = S cỏch xp hai ngi ( mi ngi mt toa) vo ba toa cũn li l 2 3 6A = Suy ra 10.4.6 240 A = = 0,25 0,25 0,25 Vy xỏc sut cn tỡm l 5 240 15 4 64 A P = = = Câu II.3 (0.75) Tớnh gii hn 2015 2015 2 2 1 1 2015 2014 1 2015( 1) lim lim ( 1) ( 1) x x x x x x I x x + = = 2014 2013 2014 2013 1 1 1 2015 ( 1) ( 1) ( 1) lim lim 1 1 x x x x x x x x x x + + + + + = = 2013 2012 2012 2011 1 1 1 lim( 1) lim( 1) lim( 1) 1 x x x x x x x x x x = + + + + + + + + + + + + + 2014.2015 2014 2013 2 1 2.029.105 2 = + + + + = = 0,25 0,25 0,25 III 1 1,0 im t ( ) 3 8 6 1f x x x= ; tp xỏc nh D = Ă suy ra hm s liờn tc trờn Ă . Ta cú ( ) ( ) ( ) 1 1 3, 1, 0 1, 1 1 2 f f f f = = = = ữ suy ra 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0, 0 0, 0 1 0 2 2 f f f f f f < < < ữ ữ . T 3 bt ng thc ny v tớnh liờn tc ca hm s suy ra pt ( ) 0f x = cú ba nghim phõn bit thuc ( ) 1; 1 . 0,25 t [ ] cos , 0;x t t = thay vo pt ta c: ( ) 3 2 2 4cos 3cos 1 cos3 cos 3 9 3 t t t t k = = = + , kt hp vi [ ] 0;t ta c 5 7 ; ; 9 9 9 t . Do ú phng trỡnh ó cho cú 3 nghim: 5 7 cos , cos , cos 9 9 9 x x x = = = . 0,5 IV 1 Hoành độ giao điểm của (E) và (P) là nghiệm của phơng trình 09x37x36x91)x2x( 9 x 23422 2 =+=+ (*) Xét 9x37x36x9)x(f 234 += , f(x) liên tục trên R có f(-1)f(0) < 0, f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < 0 suy ra (*) có 4 nghiệm phân biệt, do đó (E) cắt (P) tại 4 điểm phân biệt Toạ độ các giao điểm của (E) và (P) thỏa mãn hệ =+ = 1y 9 x x2xy 2 2 2 09y8x16y9x9 9y9x y8x16x8 22 22 2 =+ =+ = (**) (**) là phơng trình của đờng tròn có tâm = 9 4 ; 9 8 I , bán kính R = 9 161 Do đó 4 giao điểm của (E) và (P) cùng nằm trên đờng tròn có phơng trình (**) 0,5 0,5 III.2 (1,0) Giải hệ: + + + + = + + + ∈ + + + + − = 2 2 x y x y 3 (x y) 2 x y (1) (x, y R) x x y 2 x y 3 (2) . Điều kiện: 0 0 x y x y + ≥ − ≥ (*) Đặt 0t x y= + ≥ , từ (1) ta có: + + = + 2 t t 3 t 2 t 0,25 ⇔ − + + − = 2 t t t 3 2 t 0 − ⇔ − + = + + 3(1 t) t(1 t) 0 t 3 2 t ⇔ − + = ÷ + + 3 (1 t) t 0 t 3 2 t ⇔ =t 1 (Vì + > ∀ ≥ + + 3 t 0, t 0 t 3 2 t ). 0,25 Suy ra 1 1x y y x+ = ⇔ = − (3). Thay (3) vào (2) ta có: + + − = 2 x 3 2x 1 3 ⇔ + − + − − = 2 ( x 3 2) ( 2x 1 1) 0 − − ⇔ + = − + + + 2 2 x 1 2x 2 0 2x 1 1 x 3 2 + ⇔ − + = ÷ ÷ − + + + 2 x 1 2 (x 1) 0 2x 1 1 x 3 2 ⇔ =x 1 (Vì + + > ≥ − + + + 2 x 1 2 1 0, x 2 2x 1 1 x 3 2 ). 0,25 Suy ra (x = 1; y = 0), thoả mãn (*). Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x = 1; y = 0). 0,25 V.(1 đ) Ta có 1 1 2( 1) 1 1 1 2( 1) 2( 1) 1 n n n n n n n x n x x n n x x x x + + + + = ⇔ = = + + + + 0.25 1 1 1 2( 1) n n n x x + ⇔ − = + 1 1 1 2 n n n x x − → − = 1 2 1 1 2( 1) n n n x x − − − = − …………………. 1 0 1 1 2 x x − = Cộng vế với vế suy ra: ( ) ( ) 0 1 1 ( 1) 2 1 2 3 2. 1 2 n n n n n n x x + − = + + + + = = + 0.5 1 ( 1) 2 n n n x ⇒ = + + 2 2 2 2 n n n x n n ⇒ = + + Vậy ( ) 2 2 2 lim lim 1 2 n n n n n x n n →+∞ →+∞ = = + + 0.25 . & O TO HƯNG YÊN Trng THPT Minh Châu THI CHN HC SINH GII CP TRNG Nm hc 2014 2015. Mụn Toỏn: 11 Thi gian lm bi 180 phỳt, khụng k thi gian giao ( thi cú 01 trang) Cõu I ( 2.0 im) 1) Gii. x + = = + + vi mi n N . Tỡm 2 lim ( ) n n n x + . Ht Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . SBD: . lớp: P N Câu I.1 (1 ) 1. Gii phng trỡnh lng giỏc : (. x + = Bin i a v tớch (sinx + cosx)(2sinx - cosx)cosx = 0 * cos 0 , 2 x x k k = = = Â *sinx + cosx 2 sin( ) 0 , 4 4 x x k k + = = + Â *2sinx - cosx 1 1 tan , , tan 2 2 x x k k