Đề số 8 ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: (4 điểm) 1) a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y x2sin 3 π = + ÷ trên đoạn 4 2 ; 3 3 π π − . b) Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: y x2sin 3 π = + ÷ trên đoạn 4 2 ; 3 3 π π − . 2) Giải các phương trình sau: a) x x 2 2 sin 2 cos 3 1+ = b) x x x 2 2 3sin 2sin2 7cos 0+ − = c) x x x x x 2 cos2 sin2 3 cot 3 sin cos + = + ÷ Câu 2: (3 điểm) 1) Trong khai triển n x(1 )− với n là số nguyên dương. Tìm n biết hệ số của số hạng chứa x là –7. 2) Trên một kệ sách có 8 quyển sách Anh và 5 quyển sách Toán. Lấy ngẫu nhiên 5 quyển. Tính xác suất để trong 5 quyển sách lấy ra có: a) Ít nhất 3 quyển sách Toán b) Ít nhất 1 quyển sách Anh. Câu 3: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(3; 0), B(0; 3), C(0; –3). Gọi d là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B. 1) Viết phương trình đường thẳng d ′ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox. 2) M là điểm di động trên đường tròn tâm O đường khính BC. Tìm quĩ tích trọng tâm G của ∆MBC. Câu 4: (1,5 điểm) cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD // BC và AD = 2BC. Gọi G là trọng tâm của ∆SCD. 1) Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAC) và (SBD), (SAD) và (SBC), (SAB) và (SCD). 2) Xác định giao điểm H của BG với mp(SAC). Từ đó tính tỉ số HB HG . Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 Đề số 8 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: 1) a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y x2sin 3 π = + ÷ trên đoạn 4 2 ; 3 3 π π − . Đặt u x 3 π = + ⇒ Với x 4 2 ; 3 3 π π ∈ − thì [ ] u ; π π ∈ − . + Hàm số y usin= nghịch biến trên các khoảng ; , ; 2 2 π π π π − − ÷ ÷ ⇒ Hàm số y x2sin 3 π = + ÷ nghịch biến trên các khoảng 4 5 2 ; , ; 3 6 6 3 π π π π − − ÷ ÷ + Hàm số y usin= đồng biến trên khoảng ; 2 2 π π − ÷ ⇒ Hàm số y x2sin 3 π = + ÷ đồng biến trên khoảng 5 ; 6 6 π π − ÷ Bảng biến thiên: b) Đồ thị của hàm số y x2sin 3 π = + ÷ trên đoạn 4 2 ; 3 3 π π − . Ta có: x khi x y x x khi x 2sin 2sin 0 3 3 2sin 3 2sin 2sin 0 3 3 π π π π π + + ≥ ÷ ÷ = + = ÷ − + + < ÷ ÷ Do đó đồ thị (C′) của hàm số y x2sin 3 π = + ÷ có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y x2sin 3 π = + ÷ như sau: + Trên đoạn 2 ; 3 3 π π − thì (C′) trùng với (C). + Trên đoạn 4 ; 3 3 π π − − thì lấy đối xứng phần đồ thị (C) qua trục hoành. 2 -π -π/2 π/2 -2 -1 1 2 x y 2 3 π 5 6 π − 4 3 π − O 3 π − 6 π 2) Giải phương trình: a) x x 2 2 sin 2 cos 3 1+ = ⇔ x x1 cos4 1 cos6 1 2 2 − + + = ⇔ x xcos6 cos4= ⇔ x x k x x k 6 4 2 6 4 2 π π = + = − + ⇔ x k x k 5 π π = = ⇔ x k 5 π = b) x x x 2 2 3sin 2sin2 7cos 0+ − = ⇔ x x x x 2 2 3sin 4sin .cos 7cos 0+ − = (*) + Với xcos 0 = , ta thấy không thoả PT (*) + Với xcos 0 ≠ , chia 2 vế của PT (*) cho x 2 cos , ta được: (*) ⇔ x x 2 3tan 4tan 7 0+ − = ⇔ x x tan 1 7 tan 3 = = − ⇔ x k x k 4 7 arctan 3 π π π = + = − + ÷ c) x x x x x 2 cos2 sin2 3 cot 3 sin cos + = + ÷ (*). Điều kiện x x sin 0 cos 0 ≠ ≠ ⇔ x m 2 π ≠ (1). Với ĐK (1) thì (*) ⇔ x x x x x x x x 2 2 cos cos2 .cos sin2 .sin 3 3. sin .cos sin + + = ⇔ x x x x x 2 2 cos cos 3 3. sin .cos sin + = ⇔ x x 2 2sin 3sin 1 0− + = ⇔ x x sin 1 1 sin 2 = = ⇔ x k loaïi x k x k 2 ( ) 2 2 6 5 2 6 π π π π π π = + = + = + Vậy PT có nghiệm x k x k 5 2 ; 2 6 6 π π π π = + = + . Câu 2: 1) Khai triển n x(1 )− . Số hạng chứa x là: n C x nx 1 1 ( )− = − . Theo giả thiết ta suy ra được: n n7 7− = − ⇔ = . 2) Số cách lấy ngẫu nhiên 5 quyển sách từ 13 quyển sách là: C 5 13 = 1287 (cách) ⇒ n( ) 1287 Ω = . a) Gọi A là biến cố "Trong 5 quyển sách lấy ra có ít nhất 3 quyển sách Toán" + Nếu lấy 3 quyển Toán và 2 quyển Anh thì số cách lấy là: C C 3 2 5 8 . 280= + Nếu lấy 4 quyển Toán và 1 quyển Anh thì số cách lấy là: C C 4 8 5 8 . 40= + Nếu lấy 5 quyển Toán thì số cách lấy là: C 5 5 1= ⇒ n A( ) 280 40 1 321= + + = ⇒ P(A) = n A n ( ) 321 107 ( ) 1287 429 Ω = = b) Gọi B là biến cố "Trong 5 quyển sách lấy ra có ít nhất 1 quyển sách Anh" Số cách lấy ra 5 quyển sách mà không có quyển sách Anh nào là: C 5 5 1= ⇒ Số cách lấy ra 5 quyển sách trong đó có ít nhất 1 quyển sách Anh là: 1287 – 1 = 1286 ⇒ n B( ) 1286= ⇒ P(B) = 1286 1287 . Câu 3: a) Xét phép đối xứng trục Ox. Gọi A′, B′ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox. Vì A(3; 0), B(0; 3) nên A′(3; 0) ≡ A, B′(0; –3) ≡ C. Mặt khác A, B ∈ d ⇒ A′, B′ ∈ d′. 3 ⇒ Phương trình đường thẳng d′: x y 1 3 3 + = − ⇔ x y 3 0− − = . b) PT đường tròn (C) có tâm O, đường kính BC: x y 2 2 9+ = . G là trọng tâm của ∆MBC ⇒ OG OM 1 3 = uuur uuur ⇒ O V M G 1 , 3 : ÷ a Vậy quĩ tích điểm G là đường tròn (C′) ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k 1 3 = . PT đường tròn (C′) là: x y 2 2 1+ = . Câu 4: a) Giao tuyến của các cặp mặt phẳng: • Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD ⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD) Mặt khác, S ∈ (SAC) ∩ (SBD) Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SO • Trong (ABCD), gọi E = AB ∩ CD ⇒ E ∈ (SAC) ∩ (SBD) Mặt khác, S ∈ (SAB) ∩ (SCD) Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SE • Ta có S ∈ (SAD) ∩ (SBC). Gọi Sx = (SAD) ∩ (SBC). Mà AD // BC nên Sx // AD // BC. Vậy giao tuyến của 2 mp (SAD) và (SBC) là đường thẳng Sx đi qua S và song song với AD, BC. b) Trong (ABCD), gọi I = BM ∩ AC ⇒ I ∈ (SBM) Trong (SBM), gọi H = BG ∩ SI ⇒ H = BG ∩ (SAC) Gọi N là trung điểm của AD ⇒ MN // AC (MN là đường trunh cình của ∆ACD) J là giao điểm của AC và BN ⇒ J là giao điểm của 2 đường chéo hình bình hành ABCN Từ IJ // MN ⇒ I là trung điểm của BM. Trong ∆SBM, vẽ GK // SI Trong ∆SIM ta có: GK // SI ⇒ MI MS MK MG 3= = (vì G là trọng tâm của ∆SCD) ⇒ IM IK 3 2 = Trong ∆BHG, ta có: HI // GK ⇒ HB IB IM HG IK IK 3 2 = = = . Vậy HB HG 3 2 = . ============================== 4 S A D B C O E x . Đề số 8 ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2010 – 2 011 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: (4 điểm) 1) a) Lập bảng biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số:. Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 Đề số 8 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2010 – 2 011 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao Thời. Trên đoạn 4 ; 3 3 π π − − thì lấy đối xứng phần đồ thị (C) qua trục hoành. 2 - - /2 π/2 -2 -1 1 2 x y 2 3 π 5 6 π − 4 3 π − O 3 π − 6 π 2) Giải phương trình: a) x x 2 2 sin 2 cos