ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy Bài 1 . ( 10 điểm) Cho hàm số : 3 2 3 3 ( ) log 12 x x f x x + = + . Tính tổng: S = f(cot 2 1) + f(cot 2 2) + f(cot 2 3) + … + f(cot 2 20) Bài 2 . (10điểm) Tính gần đúng nghiệm (theo đơn vị độ, phút, giây) của phương trình: sinx.sin2x + sin3x = 6cos 3 x Bài 3 . (10 điểm) Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: f(x) os2 2 2 2 ( 1).sinx 3 1 c x x x x + + + = − + trên [0;1] Bài 4 . (20 điểm) a) Tìm x biết : 2 6 13 23 1 (2 3) 33772562 x x x x A C P x x − + + − − − + = với n P là số hoán vị của n phần tử, k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử. b) Tìm hệ số của các số hạng chứa x 8 và x 19 trong khai triển nhị thức Niutơn của 5 3 1 ( ) n x x + , biết rằng: 1 16 15 7( 3) n n C C n + − = + ( n: nguyên dương, x > 0) Bài 5 . ( 30điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB = 3,54 cm; AD = 4,35 cm; SA = 5,22 cm. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB’ vuông góc với SB, AD’ vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Bài 6 . ( 10điểm) Tính giá trị của biểu thức: N = 20 12 20122001 20 12 20122002 20 12 20122008 20 12 20122009+ + + + + + + + Bài 7 . ( 10điểm) Tính gần đúng đạo hàm cấp 30 của hàm số: f(x) = sin 2 x tại x = 201209 5 π Hết ĐÁP ÁN (Dành cho máy FX- 570ES) Bài 1 . ( Chế độ: Rad) Cách 1: X = X + 1: A = A + 2 1 tan( ) 2 3 2 2 3 1 ( ) 3 tan( ) 1 log 12 tan( ) X X X ÷ + ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ CALC 0→ X, 0 → A = = …cho đến khi X nhận giá trị 20 thì dừng, đọc kết quả ở biến B Kết quả: S ≈160,0595 Cách 2: Khai báo : 2 1 tan( ) 2 3 20 2 2 1 3 1 ( ) 3 tan( ) 1 log 12 tan( ) X X X X X ÷ = = ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ∑ Bài 2. Biến đổi phương trình: sinx.sin2x + sin3x = 6cos 3 x thành: 4tan 3 x- 2tan 2 x – 3tanx + 6 = 0 0 0 0 0 0 0 60 .180 t anx 1,732050808 t anx 2 63 26'6 '' .180 t anx 1,732050808 60 .180 x k x k x k ≈ − + ≈ − ⇔ ≈ ⇔ ≈ + ≈ ≈ + Bài 3 . ( RAD, TABLE) Nhập hàm: os2 2 2 2 ( 1).s inX 3 ( ) 1 c X X f X X X + + + = − + = Start? 0 = End? 1 = Step? 0,04 = Suy ra [0;1] min ( ) (0) 5f x f= = AC Start? 0,44 = End? 0,56 = Step? 0,005 = AC Start? 0,48 = End? 0,5 = Step? 0,001 = Suy ra [0;1] m ax ( ) 6,7389f x = Bài 4 . a) Điều kiện: n nguyên dương, n ≤ 13. Khai báo : X = X + 1: 2 6 13 2 1 1 (2 3) 33772562 X X X X X A C P X X − + + + − − − + − CALC 0→ A = = … cho đến khi biểu thức bằng 0, ứng với X = 11 b) Điều kiện: n nguyên dương, n ≤ 15. * Khai báo: Y = Y + 1 : 1 16 15 7( 3) Y Y C C Y + − − + CALC 0→ Y = = … cho đến khi biểu thức bằng 0, ứng với Y =12 = n * 5 11 12 12 36 5 12 3 12 2 2 12 12 3 0 0 1 ( ) ( ) ( ) . k k k k k k k x C x x C x x − + − − = = + = = ∑ ∑ •-36+ 11 44.2 8 8 2 11 k k= ⇔ = = .Hệ số của x 8 là: 8 12 495C = •-36+ 11 55.2 19 10 2 11 k k= ⇔ = = .Hệ số của x 19 là: 10 12 66C = Bài 5 . +Chứng minh và tính toán: * Đặt: AB = a,AD = b, SA = c * Dựng C’:Trong (ABCD), gọi: O = AC∩ BD Trong (SBD), gọi: I = SO∩ B’D’ Trong (SAC): AI ∩ SC = C’ * BC ⊥AB, AB ⊥(ABCD) ⇒ SA ⊥ BC ⇒BC ⊥ (SAB) ⇒BC⊥ AB’, mà: AB’⊥SB⇒ AB’ ⊥(SBC)⇒ AB’⊥SC (1) Tương tự AD’⊥ SC (2) (1) & (2) ⇒SC (AB’C’D’) ⇒ SC⊥ AC’ * . ' ' . ' ' . S AB C S ABC V SB SC V SB SC = ; . ' ' . ' ' . S AC D S ACD V SC SD V SC SD = * V S.ABC = 1 . 3 SA S ABC = 1 6 abc=V S.ACD * ∆SAB vuông tại A có: SB = 2 2 2 2 SA AB a c+ = + và SA.AB=Ab’.SB 2 2 . ' SA AB ac AB SB a c ⇔ = = + ⇒ SB’ = 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' a c c c SA AB c a c a c a c − = − = = + + + *Tương tự: SD’ = 2 2 2 c b c+ ; SC’ = 2 2 2 2 c a b c+ + Do đó: •V S.AB’C’ = V S.ABC . 5 2 2 2 2 2 ' ' . 6( )( ) SB SC abc SB SC a c a b c = + + + •V S.AC’D’ = V S.ACD . 5 2 2 2 2 2 ' ' . 6( )( ) SC SD abc SC SD a b c b c = + + + Vậy: V S.AB’C’D’ = V S.AB’C’ +V S.AC’D’ = 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 2 ) 6( ) 6( )( )( ) abc abc a b c a b c a c b c a b c a c b c + + + = ÷ + + + + + + + + + Khai báo: 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . ( 2 ) 6( )( )( ) A BC A B C A B C A C B C + + + + + + CALC 3,54 → A; 4,35 → B;5,22 → C +Kết quả: V S.AB’C’D’ ≈ 7,9297 (cm 3 ) Bài 6 . Khai báo: A = A – 1: B = 20 12 A B+ + CALC 20122010 → A, 0 → B = = … cho đến khi A = 20122001 thì dừng, đọc kết quả ở B Kết quả: 2088,5103 Bài 7 . f’(x) = 2sinx.cosx = sin2x; f’’(x) = 2cos2x = 2sin(2x + 2 π ) f’’’(x) = 2 2 .cos(2x + 2 π ) = 2 2 .sin(2x + 2. 2 π ); …f (30) (x) = 2 29 .sin(2x + 29. 2 π ) ⇒ f (30) (201209 5 π ) = 2 29 .sin(2.201209 5 π + 29. 2 π ) ≈ 165902235,9 c b a I O C A B D S D ' B ' C ' . ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô. tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Bài 6 . ( 10điểm) Tính giá trị của biểu thức: N = 20 12 2 0122 001 20 12 2 0122 002 20 12 2 0122 008 20 12 2 0122 009+ + + + + + + + Bài 7 . ( 10điểm) Tính gần. =12 = n * 5 11 12 12 36 5 12 3 12 2 2 12 12 3 0 0 1 ( ) ( ) ( ) . k k k k k k k x C x x C x x − + − − = = + = = ∑ ∑ •-36+ 11 44.2 8 8 2 11 k k= ⇔ = = .Hệ số của x 8 là: 8 12 495C = •-36+ 11