1 Họ và tên thí sinh:…………………… ………… Chữ ký giám thị 1: Số báo danh:…………………………… ……… …………….……………… SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN * Bảng: B * Lớp: 10 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu 1: (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 222.xy xy + =++ Câu 2: (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số f: → thỏa mãn điều kiện 2012 ( 1) 2011 (1 ) f xfxx − +−= , .x ∀ ∈ Câu 3: (4 điểm) Giải hệ phương trình: () () 2 2 42 215 42 215 xy yx ⎧ + =+ ⎪ ⎨ + =+ ⎪ ⎩ . Câu 4: (4 điểm) Chứng minh rằng với mọi a > 0 thì: a 2013 – 2013a + 2012 ≥ 0. Câu 5: (4 điểm) Cho đường tròn 22 (): 4 2 3 0Cx y x y + +++= và đường thẳng :230dx my m+−+= . Gọi I là tâm của (C). Tìm m để đường thẳng d cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất. HẾT (Gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC 1 SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN * Bảng: B * Lớp: 10 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (4 điểm) - Phương trình: 222 ++=+ yxyx (1) ( ) 1222 ++=⇔ yxxy (2) 22424 −−−=+⇔ yxxyyx (3) (1.0đ) Từ (2) , (3) suy ra xy2 là số chẵn và yx +2 là số nguyên. Đặt xy2 = 2t, t + ∈ . Kết hợp với (1) và (2), ta có hệ: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +=+ = 12 22 tyx txy . (0.5đ) Suy ra x2 và y là nghiệm của PT: X 2 – (t + 1)X + 2t = 0 (4). (0.5đ) PT (4) có Δ = t 2 - 6t + 1 = (t - 3) 2 - 8. PT (4) có nghiệm nguyên khi Δ ≥ 0 và Δ là số chính phương. Ta có Δ ≥ 0 ⇔ 0322t<≤ − hoặc 322t ≥+ ⇒ t ≥ 6 (0.5đ) Nên ta có (t - 5) 2 ≤ Δ < (t - 3) 2 (0.5đ) + Δ = (t - 5) 2 ⇔ t 2 - 6t + 1 = (t - 5) 2 => t = 6 (thỏa mãn) Giải ra có x = 8; y = 9 (0.5đ) + Δ = (t - 4) 2 ⇔ t 2 - 6t + 1 = (t - 4) 2 => 2t = 15 (loại) Vậy nghiệm của (1) là: () ;(8;9)xy = (0.5đ) Câu 2: (4 điểm) 2012. ( 1) 2011. (1 ) f xfxx−+ −= Đặt a = 2012, b = 2011 Thay x bởi x+1, ta có () ( ) 1 (1)af x bf x x+−=+ (1.0đ) () () 1 (2)af x bf x x⇒−+ =−+ (0.5đ) Cộng (1) và (2) theo vế ta có: 2 ()(()())2 ()()a b fx f x fx f x ab ++−=⇒+−= + (1.0đ) () ( ) 1 1 () 2 () ( ) af x bf x x x fx ab ab fx f x ab +−=+ ⎧ ⎪ ⇒⇒=+ ⎨ − + +−= ⎪ + ⎩ (1.0đ) (Gồm 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC 2 Vậy 1 () 4023 fx x=+ . (0.5đ) Câu 3: (4 điểm) () () () () 2 2 42 2151 42 2152 xy yx ⎧ +=+ ⎪ ⎨ +=+ ⎪ ⎩ Lấy (1) trừ (2) ta được: ( ) ( ) 4444422 x yxy yx−++=− (1.0đ) ( ) ( ) 228890xyxy⇔− ++= 8890 xy xy = ⎡ ⇔ ⎢ + += ⎣ (1.0đ) • Với x y= , ta có: ( ) 2 42 215xx + =+ 2 16 14 11 0xx⇔+−= 1 2 x⇔= hoặc 11 8 x = − (1.0đ) • Với 8890 x y++= , ta có: () 2 89 42 15 4 x x + +=− 2 64 72 35 0xx ⇔ +−= 9 221 16 9221 16 x x ⎡ −+ = ⎢ ⎢ ⇔ ⎢ −− = ⎢ ⎣ (0.5đ) 9 221 9 221 16 16 xy −± − =⇒= ∓ Vậy hệ có các nghiệm là: 1 1 11 11 9 221 9 221 9 221 9 221 ;;;;;;; 2 2 8 8 16 16 16 16 −− −+ −+ −− −− ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠⎝⎠ (0.5đ) Câu 4: (4 điểm) BĐT đã cho tương đương với: a 2013 + 2012 2013a. (0.5đ) + Biến đổi và dùng BĐT Cô-si, ta có: a 2013 + 2012 = a 2013 + 2012 sô 1 1 1 + ++ (1.5đ) 2013 2013 2013. 2013aa≥= (1.0đ) + Vậy BĐT đã được c/m và dấu “=” xảy ra khi a = 1 (1.0đ) Câu 5: (4 điểm) - Xác định được I(-2; -1) và bán kính của (C) là R = 2 (0.5đ) 3 - Viết được công thức tính diện tích của tam giác IAB: 2 1 .sin 2 IAB SRAIB Δ = (0.5đ) - Lập luận được IAB S Δ đạt giá trị lớn nhất sin 1AIB ⇔ = (0.5đ) d(I;d) 1 ⇔ = (1.0đ) 2 13 1 1 m m − ⇔ = + (0.5đ) 0 3 4 m m = ⎡ ⎢ ⇔ ⎢ = ⎣ (0.5đ) - Kết luận (0.5đ) HẾT . thí sinh: …………………… ………… Chữ ký giám thị 1: Số b o danh:…………………………… ……… …………….……………… SỞ GDĐT B C LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN * B ng: . B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất. HẾT (Gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC 1 SỞ GDĐT B C LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN. VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN * B ng: B * Lớp: 10 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (4 điểm) - Phương trình: 222