SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi : TOÁN – THPT (Bảng B) Ngày thi : 15/3/2014 (Thời gian : 180 phút – không kể thời gian phát đề) Bài 1: (3,0điểm ) Cho hàm số 1 1 x y x + = − (1) . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm số (1).Viết phương trình đường thẳng (∆) vuông góc với đường thẳng y = -x và cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 2 3 . Bài 2:(2,5 điểm ) Giải phương trình 2 2sin 3 sin 2 1 3( 3 sinx cos )x x x+ + = + Bài 3:(2,5 điểm ) Tính tích phân 2 2 0 2cos sin 2 (1 sinx)(2 os ) x x I dx c x π − = − − ∫ Bài 4: ( 3,0 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(3;2) , trực tâm H(1;0) và gốc tọa độ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Tìm tọa độ các đỉnh B ,C. Bài 5: ( 3,0 điểm ) Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 - ( x + y + z) 4 3 ≤ .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 1 1 1 1 1x y z + + + + + Bài 6 : ( 3,0 điểm ) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh bằng a và điểm M thuộc cạnh CC' sao cho CM = 2 3 a .Mặt phẳng ( α ) qua A,M và song song BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện . Tính thể tích hai khối đa diện đó . Bài 7 : ( 3,0 điểm ) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 1 3 (2 9 3) 2(3 )( 1 ) 0 xy x y x y x x x y x x x y + + = + + + + + + + + + = HẾT ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài 1: +( ∆ ): y = x + m + Phương trình hoành độ giao điểm : x 2 +(m-2)x-m-1 = 0 + AB = 2 |x 1 - x 2 | = 2 2 8m + và d(I;( ∆ )) = | | 2 m + S IAB = 2 3 = 2 1 | | 8 2 m m + ⇔ m = ±2 , có 2 đường thẳng :y = x -2 và y = m + 2 Bài 2: 2 ( 3 sinx cos ) 3( 3sinx cos ) 0x x+ − + = ⇒ x = 6 k π π − + Bài 3:I = 2 2 2 2 0 0 1 1 2 (sinx) (sin ) 1 sinx 1 sin d d x x π π − + + ∫ ∫ = ln2 Bài 4: + Viết phương trình AH cắt Đường tròn (O) tại H' = (O) ∩ AH. H và H' đối xứng qua BC , Tìm được M là trung điểm HH'. Viết đường thẳng BC qua M và vuông góc AH . B,C là giao điểm của BC và đường tròn (O) ( tâm O , BK: OA). Bài 5 :+ (x + y + z ) 2 ≤ 3( 2 2 2 x y z+ + )(1) + 2 2 2 4 ( ) 3 x y z x y z+ + − + + ≤ (2) Từ (1) và (2) ⇒ x + y + z ≤ 4 +P = 1 1 1 9 1 1 1 3x y z x y z + + ≥ + + + + + + ≥ 9 7 .Do đó : P = 9/7 khi x = y = z =4/3 Bài 6: ( Tự giải nhé )+ Ta có : V AB1MD1BCD = 2V A.MCBB1 = 1 2 1 2 3 1 1 2. . . . .( ) 3 3 1 1 2 1 . .( ) 3 3 3 3 BCMB AB S AB BB CM a a a a = + = + = Do đó : V AB1MD1A'B'C'D' = 3 2 3 a Bài 7:+ĐK : x + y > 0. 2 2 2 1 xy x y x y + + = + , a = x + y và b = xy , a > 0 và a 2 ≥ 4b Ta có : 2 2 2 1 b a b a − + = ⇔ 3 1 2 ( 1) 0a b a− − − = ⇔ 2 ( 1)( 1 2 ) 0a a a b− + + − = ⇔ a = 1 ⇔ x + y = 1 ⇔ y = 1- x vào (2) ,ta có : 2 2 3 (2 9 3) 2(1 2 )( 1 1)x x x x x+ + + + + + + = 0 ⇔ 2 3 (2 ( 3 ) 3)x x− + − + = 2 (1 2 )( (1 2 ) 3 2)x x+ + + + + Xét hàm số f(t) = t 2 ( 3 2)t + + trên R. mà : f'(t) = 2 3 2t + + + 2 2 3 t t + > 0 với mọi t f(t) đồng biến trên R , mà : f(-3x) = f(1+2x) ⇔ x = -1/5 và y = 6/5 + Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( -1/5;6/5) M A' D' C' B' A C D B D1 B1 . TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi : TOÁN – THPT (Bảng B) Ngày thi : 15/ 3/2014 (Thời gian : 180 phút – không kể thời gian phát đề) Bài. (3,0điểm ) Cho hàm số 1 1 x y x + = − (1) . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm số (1).Viết phương trình đường thẳng (∆) vuông góc với đường thẳng y = -x và cắt đồ thị hàm số (1) tại hai. 2 2 1 3 (2 9 3) 2(3 )( 1 ) 0 xy x y x y x x x y x x x y + + = + + + + + + + + + = HẾT ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài 1: +( ∆ ): y = x + m + Phương trình hoành độ giao điểm : x 2 +(m-2)x-m-1 =