Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 chọn lọc số 12

Sở GD&ĐT Hoà Bình Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 tHPT Năm học 2012-2013 Đề chính thức Môn: Toỏn. Ngày thi: 25/12/2012 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu) Cõu 1 (4 im). Cho hm s: = + + + 3 2 2 3 2 3 3(1 )y x mx m x m m ( m C ), vi m l tham s. 1. Vi =1m , tỡm cc tr ca th hm s ó cho. 2. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m th ( m C ) cú hai im cc tr i xng vi nhau qua ng thng (d): x+ 2y - 5 = 0. Cõu 2( 6 im). 1. Tỡm nghim ; 2 2 x ca phng trỡnh 2 2 2cos 2 3 os4 4cos 1 4 x c x x + = ữ 2. Gii h phng trỡnh: 2 2 6 3 1 3 3 2 x xy x y x y x y + + = + + + = 3. i thanh niờn tỡnh nguyn quc t cú 12 bn gm 5 bn quc tch Vit Nam, 4 bn quc tch Phỏp v 3 bn quc tch Thỏi Lan. Hi cú bao nhiờu cỏch chn ra 4 bn vo mt t cụng tỏc sao cho trong t cú khụng quỏ 2 quc tch? Cõu 3 (3 im). Trong mt phng vi h ta Oxy cho hai ng trũn (C) 2 2 2 2 1 0x y x y+ + = v (C): 2 2 4 5 0x y x+ + = cựng i qua M(1;0). Vit phng trỡnh ng thng qua M ct hai ng trũn (C) v (C) ln lt ti A, B sao cho MA = 2MB. Cõu 4 ( 5 im). Cho hỡnh chúp S. ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v B, ; 2BA BC a AD a= = = . Cnh SA vuụng gúc vi mt phng ỏy v 2SA a= . Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn cnh SB. a. Tỡm giao im ca AH vi mt phng (SCD). b. Tớnh khong cỏch t H n mt phng (SCD). Cõu 5 (2im). Cho ba s khụng õm , ,x y z tha món iu kin: + + = 1x y z . Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc = + + 2F xy yz zx xyz . HT Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm Họ, tên thí sinh: , SBD Họ, tên giám thị 1: , chữ ký Họ, tên giám thị 2: , chữ ký HNG DN CHM MễN TON Câu Ý Nội dung Điểm Câu 1 1 Với 1m = : ( ) 3 2 3y x x C= − + , 2 3 6y x x= − + Xét , 0 0 2 x y x =  = ⇔  =  1,0 Lập luận tìm được điểm cực đại của đồ thị ( ) C là ( ) 2;4A Điểm cực tiểu của đồ thị ( ) C là ( ) 0;0B 0, 5 0, 5 2 ( ) , 2 2 3 6 3 1y x mx m= − + + − , 1 0 1 x m y x m = −  = ⇒  = +  Tìm được hai điểm cực trị của ( ) m C là ( ) ( ) 2 2 1, 3 2 1, 3 2 A m m m B m m m + − + − − − + + 0,5 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị MN là : 2 2y x m m= − + Gọi I là trung điểm của MN ta có ( ) 2 , 3I m m m− + Đường thẳng ( ) d : 1 5 2 2 y x= − + Để M và N đối xứng nhau qua ( ) d thì ( ) ( ) MN d I d ⊥   ∈   2 2 1 1 5 3 2 7 5 0 5 2 2 2 m m m m m m m =   ⇔ − + = − + ⇔ − + = ⇔  =  0, 5 0,5 0,5 Câu 2 1 2 2 2cos 2 3 os4 4cos 1 sin 4 3 os4 2cos 2 4 12 os 4 os2 6 36 3 x c x x x c x x x k c x c x k x π π π π π π   − + = − ⇔ + =  ÷    = +    ⇔ − = ⇔   ÷    = +   1,0 Do ; 2 2 x π π   ∈ −     nên 11 13 ; ; ; 12 36 36 36 x x x x π π π π − = = = = là các nghiệm cần tìm của phương trình. 1,0 2 Giải hệ phương trình : ( ) ( ) 2 2 6 3 1 1 3 3 2 2 x xy x y x y x y  − + + =   + + + =   1,0 ( ) ( ) ( ) 1 1 3 1 2 1 0 3 2 1 x x x y x y  =  ⇔ − − + = ⇔  = −  Với x= 1 3 thế vào phương trình ( ) 2 ta được 2 2 2 1 0 1 1 0 1 1 2 y y y y y y y − ≥  + = − ⇔ ⇔ =  + = − +  Với y = 2x+1 thế vào phương trình ( ) 2 ta có 2 2 1 4 7 1 1 5 0 1 5 21 17 0 x x x x x y x x  ≤  + + = − ⇔ ⇔ = ⇒ =   − =  KL: Hệ có hai nghiệm là ( ) 0;1 và 1 ;0 3    ÷   1,0 3 Chọn 4 bạn bất kỳ cho tổ công tác gồm 12 bạn có : 4 12 495C = (cách) Chọn 4 bạn cho tổ công tác sao cho có cả 3 quốc tịch có : 1 1 2 1 2 1 2 1 1 5 4 3 5 4 3 5 4 3 270C C C C C C C C C+ + = (cách) Vậy số cách chọn 4 học sinh vào một tổ công tác sao cho trong tổ không quá 2 quốc tịch là : 495 270 225 − = (cách) 1,0 1,0 Câu 3 ( ) C có tâm ( ) 1;1I , bán kính 1R = ( ) , C có tâm ( ) , 2;0I − , bán kính , 3R = Đường thẳng ( ) d đi qua ( ) 1;0M : ( ) 1 0a x by− + = trong đó ( ) 2 2 0a b+ ≠ ax by a⇔ + = Giả sử H , , H lần lượt là trung điểm của AM và BM . Khi đó 2MA MB= 2 2 ' 2 ' '2 IA IH I B I H− = − ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 1 ; 4 9 ;d I d I⇔ − ∆ = − ∆ , rút gọn được 2 2 36 6a b a b⇔ = ⇒ = ± Vì 2 2 0a b+ ≠ chọn 1 6b a= ⇒ = ± (Nhận vì IA > IH), từ đó có kết quả là (d1): 6 6 0x y− − = và (d2): 6 6 0x y+ − = 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 Câu 4 a b 2,0 1,0 1,0 1,0 Câu 5 Từ gt, chỉ ra được [ ] ; ; 0;1x y z∈ . Ta có 2 2 3 3 3 ( ) 3( ) 3 2xy yz zx xyz xyz xyz xyz+ + ≥ = ≥ ≥ , suy ra 0F ≥ Dấu bằng có xảy ra, chẳng hạn tại 0; 1x y z= = = ; KL …… Ta có 2 ( )( )x y z x y z x+ − − + ≤ (1) 2 ( )( )x y z x y z y+ − − + + ≤ (2) 2 ( )( )x y z x y z z− + + − + ≤ (3), các vế của (1); (2); (3) đều dương, nhân các vế tương ứng ta được ( )( )( ) ( )( )( ) (1 2 )(1 2 )(1 2 ) 1 (1 ) 4 x y z x y z x y z xyz x y z x y z x y z xyz z y x xyz F xyz + − − + − + + ≤ ⇒ + − − + − + + ≤ ⇔ − − − ≤ ⇔ ≤ + Mặt khác, dễ có 3 1 ( ) 3 27 x y z xyz + + ≤ = , từ đó ta có 7 27 F ≤ , dấu bằng xảy ra tại 1 3 x y z= = = , KL…… 0,5 0,5 0,5 0,5 Mọi lời giải đúng đều được xem xét và cho điểm tương ứng. −−−−− HẾT −−−−− G M D B C A S H AB cắt CD tại M , AH cắt SM tại G . Vậy G là giao điểm của AH và ( ) SCD 3 2 SBCD SHCD V SB V SH = = Chỉ ra được tam giác SCD vuông tại C Diện tích tam giác 2 2 SCD S a ∆ = , 2 2 BCD ABCD ABD a S S S= − = Thể tích tứ diện 3 1 2 . 3 6 SBCD BCD a V SA S ∆ = = ( ) ( ) 1 , . 3 SHCD SCD V d H SCD S ∆ ⇒ = ( ) ( ) , 3 3 HSCD SCD V a d H SCD S ∆ ⇒ = = . Hoà Bình Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 tHPT Năm học 2 012- 2013 Đề chính thức Môn: Toỏn. Ngày thi: 25 /12/ 2 012 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm. =  KL: Hệ có hai nghiệm là ( ) 0;1 và 1 ;0 3    ÷   1,0 3 Chọn 4 bạn bất kỳ cho tổ công tác gồm 12 bạn có : 4 12 495C = (cách) Chọn 4 bạn cho tổ công tác sao cho có cả 3 quốc tịch có : 1. tịch có : 1 1 2 1 2 1 2 1 1 5 4 3 5 4 3 5 4 3 270C C C C C C C C C+ + = (cách) Vậy số cách chọn 4 học sinh vào một tổ công tác sao cho trong tổ không quá 2 quốc tịch là : 495 270 225 −