Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 chọn lọc số 19

TRNG THPT H U LC 2 THI CHN I TUYN HC SINH GII LN 2 NM HC 2010 - 2011 Mụn: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt Cõu I (6 im) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = 4|x 3 | - 3|x| - 1. 2. Giải bất phơng trình: 2 4 1 7 tan x cos x + 3. Xét điểm A(1;0). Viết phơng trình của họ đờng thẳng đi qua A và tìm xem những đờng nào của họ ấy cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt. Câu II: (6 điểm) 1. Giải hệ phơng trình : ( ) 2 1 2 2 1 3 2 1 4 5 1 2 4 1 ln( 2 ) 0 x y x y x y y x y x + + + = + + + + + = 2. Giải phơng trình : (1 + cosx)( 2 + 4 cosx ) = 3. 4 cosx . 3. Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x [ ] 4;6 ( ) ( ) 2 4 6 2x x x x m+ + Câu III. (2 điểm) Tính tích phân sau; ( ) 1 2 2 1 2 2 3 4 12 5 dx I x x x = + + + Câu IV (4 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Đề các vuông góc Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (C). Biết (C) có phơng trình: (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = 5; ã ABC = 90 0 ; A(2;0) và diện tích tam giác ABC bằng 4. Tìm tọa độ các đỉnh B; C. 2.Cho khi chúp S. ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh. Gi M, N, P ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, AD, SC. Chng minh rng mt phng (MNP) chia khi chúp S.ABCD thnh hai phn cú th tớch bng nhau. Câu V: (2 điểm) Tìm giá trị ln nhất của tổng sau theo các hằng số dơng x,y,z,t: P = tazbycxdtbzaydxctczdyaxbtdzcybxa +++ + +++ + +++ + +++ 1111 Trong đó : a,b,c,d, là các số dơng thỏa mãn : .1 1111 =+++ dcba Ht Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. trêng thpt hËu léc 2 ®¸p ¸n ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LẦN 2 NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: TOÁN Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò Câu Nội dung Điểm I 6.0đ 1 2đ Do hàm sỗ đã cho là hàm số chẵn nên ta chỉ cần khảo sát với x 0. Khi đó, Với x 0 hàm số trở thành : y = 4x 3 - 3x - 1 Ta có : y = 12x 2 - 3, ta có bảng biến thiên. Ta cú BBT ca hm s ó cho : Ch ra cỏc khong n iu v cc tr ca hm s. Đồ thị : 0,25 0,5 0,25 0.5 0,5 1.0 1.0 0,5 0,5 2 2 Viết lại PT đã cho dới dạng: ( ) ( ) ( ) 2 3 tan 0 tan 0 1 1 4 1 tan 7 4 tan 3 tan 1 0 2 tan x x x x x x + + Từ đồ thị của hàm số đã cho ta suy ra: (1) và (2) tan 1 4 4 tan 0 x k x k x + + và x k 3 2 Họ đờng thẳng đi qua A(1; 0) có phơng trình y = k( x - 1) = kx - k Gọi B là điểm B(0; -1). Đờng thẳng nối AB dễ thấy có hệ số góc là ( ) 1 0 1 1 1 0 k = = Gọi k 2 là hệ số góc của tiếp tuyến với đờng cong (C) ở nhánh bên trái Oy vẽ từ A. Gọi x 0 là hoành độ tiếp điểm, ta có hệ sau: ( ) ( ) ( ) 3 2 0 0 0 2 2 0 0 4 3 1 4 12 3 5 0 6 k x k x x k x x = + = + < Thay (5) vào (4) ta đi đến phơng trình: x y y + 0 1 2 + 0 -1 -2 4 2 -2 -4 -6 -10 - 5 5 10 x y y + 0 1 2 + 0 -1 -2 1 2 -2 + + . ¸n ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LẦN 2 NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: TOÁN Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò Câu Nội dung Điểm I 6.0đ 1 2đ Do hàm sỗ đã cho là hàm số chẵn. TRNG THPT H U LC 2 THI CHN I TUYN HC SINH GII LN 2 NM HC 2010 - 2011 Mụn: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt Cõu I (6 im) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = 4|x 3 |. theo các hằng số dơng x,y,z,t: P = tazbycxdtbzaydxctczdyaxbtdzcybxa +++ + +++ + +++ + +++ 1111 Trong đó : a,b,c,d, là các số dơng thỏa mãn : .1 1111 =+++ dcba Ht Cỏn b coi thi khụng gii