Đề thi thử đại học môn Toán chọn lọc số 47

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 47 Ngày 15 tháng 01 năm 2014 Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm) Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x − = + ( C ) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số. 2. Tìm m để đường thẳng ( ) m d : y = -x + m cắt (C ) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho tam giác PMN đều , với P (2;5) Câu II. (2,0 điểm) 1.Giải phương trình 2 2cos x 2 3sinx cosx 1 3(sinx 3 cosx)+ + = + . 2.Giải hệ phương trình 4 3 2 2 3 2 x x y x y 1 x y x xy 1  − + =   − + =   . Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân ( ) ∫ − − = 1 0 2 dx 4x 1xx I . Câu IV. (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trọng tâm G của ∆ ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC bằng 3 4 a . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a. Câu V. (1,0 điểm)Tìm tất cả các giá trị cảu m để phương trình: m54x6x4x23x =+−−+−−− có đúng 2 nghiệm phân biệt. Phần riêng (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần a hoặc b Chương trình chuẩn: Câu VI.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2, 1) lấy điểm B thuộc trục Ox có hoành độ x ≥ 0 và điểm C thuộc trục Oy có trung độ y ≥ 0 sao cho ∆ABC vuông tại A. Tìm B, C sao cho diện tích ∆ABC lớn nhất. Câu VII.a (1,0 điểm). Giải bất phương trình: ( ) 2 2 1 2 2 1 1 log 2x 3x 1 log x 1 2 2 − + + − ≥ . Câu VIII.a(1,0 điểm) Cho khai triển: 5 3 2 ( ) ( ) n P x x x = + với 0x > Biết n là số nguyên dương nghiệm đúng phương trình:. 1 4 3 7( 3) n n n n c c n + + + − = + .Tìm hệ số của số hạng chứa 8 x Chương trình nâng cao: Câu VI.b (1,0 điểm)Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 – 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho 3AB = . Câu VII.b (1,0 điểm) Giải phương trình: log 9 (x 2 – 5x + 6) 2 = 3 3 1 x 1 log log (3 x) 2 2 − + − . Câu VIII.b( 1,0 điểm) Có 1 xạ thủ bắn vào tấm bia. Xác suất trúng đích 0,2. Tính xác suất để trong 3 lần bắn có: a) Ít nhất một lần bắn trúng bia? b) Bắn trúng bia đúng 1 lần? Hết Mời các bạn dự thi vào thứ 4 và thứ 7 hàng tuần (19 giờ đến 22 giờ) 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 46 CÂ U Ý NỘI DUNG I 1 Học sinh tự vẽ hình 2 Gọi C(a; 1) thuộc đường tiệm cận ngang; 2 ( ; ) ( ) 1 + ∈ − b B b C b theo giả thiết tứ giác AICB nội tiếp đường tròn bán kính 10 2 , mà góc I vuông 10⇒ =AC hay 2 0 ( 1) 9 10 2 =  − + = ⇔  =  a a a TH1: với a = 0 khi đó C(0; 1) tứ giác AICB nội tiếp mà góc I vuông nên góc ABC cũng vuông, vậy: 2 2 . 0 ( 1).( ) ( 4)(1 ) 0 1 1 b b AB BC b b b b + + = ⇔ − − + − − = − − uuur uuur (bạn đọc giải tiếp) TH2: với a = 2 khi đó C(2; 1) theo như TH1 ta đưa được về đẳng thức: (bạn đọc giải tiếp) II 1 3 2 2 2 3 3 x 2y x y 2xy (1) 2. x 2y 1 y 14 x 2 (2)  + = +   − − + − = −   Đk: 2 x 2y 1 0− − ≥ Từ (1) ta có x = y hoặc x 2 = 2y + x 2 = 2y, thay vào (2) suy ra phương trình vô nghiệm + x = y, thay vào (2) ta được: 3 2 3 2. x 2x 1 x 14 x 2− − + − = − ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 3 3 3 2 3 2. x 2x 1 x 14 x 2 0 3 x 2x 1 2. x 2x 1 1 0 x 14 x 14(x 2) (x 2) ⇔ − − + − − − =   − −  ÷ ⇔ − − + =  ÷  ÷ − + − − + −   2 2 1 0 1 2x x x y⇔ − − = ⇔ = = ± (do biểu thức trong ngoặc luôn dương) 2 Ta có 8 8 8 8 0 ( ) − = + = ∑ k k k k a b C a b với k = 6, 1 3 1 2 2 1 1 1 log (3 1) log 9 7 1 1 3 5 5 2 (9 7) ; 2 (3 1) − − − + + − − = = + = = + x x x x a b theo thứ tự trong khai triển trên, số hạng thứ 6 tính theo chiều từ trái sang phải của khai triển trên là 1 1 5 1 3 1 5 1 1 1 3 5 6 8 ((9 7) ) .((3 1) ) 56(9 7)(3 1) 224 − − − − − − = + + = + + = x x x x T C 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 9 7 4 (3 ) 4.3 3 0 2 3 1 3 3 − − − − − −  = =  + ⇔ = ⇔ − + = ⇔ ⇔   = + =   x x x x x x x x III 1 A / C / Gọi I là giao điểm AB' và A'B, ' ( ' ) '⊥ ⇒ ⊥A B AB M A B MI , MI là đường trung bình của tam giác A'BC nên MI // A'C do đó ' ' ' ⊥ ⇒ ∆ A B A C A BC vuông tại A' B / 1 ' 2 2 ⇒ = =A M BC a và A'B = 2a, tam giác ABC vuông tại A suy ra AM = 2a, A C ' ( ' ) ' '⊥ ⇒ ⊥A B AB M A B AB từ đó suy ra tứ giác K ABB'A' là hình thoi, suy ra AA' = AB = 2a vậy tứ N H M diện A'ABM là tứ diện đều cạnh bằng 2a. Gọi N là trung điểm AB 3⇒ =MN a , Gọi H là tâm tam B giác đều ABN ' ( )⇒ ⊥A H ABM và 2 2 3 3 3 = = a HM MN suy ra 2 2 2 6 ' ' , 3 a A H A M HM= − = 3 1 . ' . . ' 4 2 2 ABC V S A H AB AC A H a= = = . 2 Ta có: 2 2 4sin( ).cos 1 4(sin cos cos sin )cos 1 2 3 sin cos 2cos 1 6 6 6 3 sin 2 cos 2 2 2(cos(2 ) 1) 4cos ( ) 3 6 x x x x x x x x x x x x π π π π π + + = + + = + + = + + = − + = − Từ đó: 2 2 2 2 2 6 6 6 4 4 4sin( ).cos 1 4cos ( ) cos ( ) 6 6 6 xdx xdx xdx I x x x x π π π π π π π π π = = = + + − − ∫ ∫ ∫ Đặt: 2 tan( ) cos ( ) 6 6 u x du dx dx dv v x x π π =  =     ⇒   = = −   −    2 6 3 3 2 2 .tan( ) tan( ) ln cos( ) ln 2 6 6 2 6 2 6 6 I x x x dx x π π π π π π π π π π π = − − − = + − = − ∫ IV Gọi M là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC K là giao điểm BC và AD, E là giao điểm BH và AC toạ độ M là nghiệm của hệ: 4 0 3 5 8 0 x y x y − − =   + − =  7 7 1 2 ( ; ) 1 2 2 2 x M y  =  −  ⇔ ⇒  −  =   , AD vuông góc với BC nên (1;1) AD BC n u = = uuur uuur , mà AD đi qua D nên pt AD 1( 4) 1( 2) 0 2 0x y x y− + + = ⇔ + − = Do A là giao điểm của AD và AM nên toạ độ A(1; 1), tương tự toạ độ K(3; - 1). Tứ giác HKCE nội tiếp nên góc BHK bằng góc KCE, mà góc KCE bằng góc BDA (do tứ giác ABDC nội tiếp) suy ra góc BHK bằng góc BDK. Vậy K là trung điểm HD (2;4)H⇒ Do ( ; 4)B BC B t t∈ ⇒ − kết hợp M là trung điểm BC (7 ;3 ), ( 2; 8); (6 ;2 )C t t HB t t AC t t⇒ − − − − − − uuur uuur do H là trực tâm tam giác ABC nên 2 . 0 ( 2)(6 ) ( 8)(2 ) 0 7 t HB AC t t t t t =  = ⇔ − − + − − = ⇔  =  uuur uuur nhưng do 3t ≤ nên 2 (2; 2); (5;1)t B C= ⇒ − Vậy phương trình AB: 3 4 0, : 1 0x y AC y+ − = − = PHẦN RIÊNG A. THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Va Đk: sinx 1 2 ; 2 x k k Z π π ≠ ⇔ ≠ + ∈ pt tương đương với: 2 2 2 2cos .sin 2 4sin 2 .cos .cos 2cos .sin 2 (2cos 1) 0x x x x x x x x= ⇔ − = 1 cos 0;cos ;sin 2 0 ; 2 ( ) 2 3 x x x x k x k k Z π π π ⇔ = = = ⇔ = = ± + ∈ MK H D C B A E VI.a. 1 Tổng số cách chọn 6 HS trong 12 HS là 6 12 C số HS được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối - Số cách chọn chỉ có HS khối 12 và khối 11 là: 6 7 C - Số cách chọn chỉ có HS khối 11 và khối 10 là: 6 9 C - Số cách chọn chỉ có HS khối 12 và khối 10 là: 6 8 C Số cách chọn thoả mãn ycbt là: 6 12 C - 6 7 C - 6 9 C - 6 8 C = 805 (cách) Đường thẳng ∆ cắt d' tại điểm Q có tung độ bằng 4 nên Q(1; 4; 4) 2 gọi ( ; ; )u a b c= r là vectơ chỉ phương của ∆ (a, b, c không đồng thời bằng 0). Do ∆ song song với (P) và vuông góc với d nên ta có hệ: 2 0 2 3 0 a b c a b c − + =   + + =  cộng, trừ vế với vế ta có: a c b c = −   = −  đường thẳng ∆ đi qua Q(1; 4; 4) có vectơ chỉ phương ( ; ; )u c c c= − − r có phương trình: 1 4 4 1 1 1 x y z− − − = = − Vb Đk: 2x ≥ ; bất phương trình tương đương với: 4 ( 5 1 1) 2 4 5 1 1 2 4 ( 5 1 1)( 5 1 1) x x x x x x x x x x x − − − > − ⇔ − − − > − − + − − − − ⇔ 5 1 1 2 4x x x− > − + − bình phương 2 vế ta được: 2 ( 1)(2 4)x x x+ > − − (*)do điều kiện 2x ≥ , ta bình phương 2 vế của (*) ta được: 2 2 4 4 2 4 2 4x x x x x+ + > − − + 2 10 0 0 10x x x⇔ − < ⇔ < < kết hợp Đk ta được nghiệm của Bpt là: 2 10x ≤ < VIb 1 Đk: 2 cos( ) 0 6 3 ( ; ) cos( ) 0 3 6 x x k k l Z x x l π π π π π π   − ≠ ≠ +     ⇔ ∈     + ≠ ≠ +     Ta có: tan( ) cot( ) cot( ) cot( ) 3 2 3 6 6 x x x x π π π π π + = − − = − = − − từ đó phương trình tương đương với: sin 3 sin sin 2x x x− = + (do tan( ).cot( ) 1 6 6 x x π π − − = ) chuyển vế, áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, đặt thừa số chung ta được: sin 2 0 2 sin 2 (2cos 1) 0 1 2 cos 2 2 3 k x x x x x x k π π π  = =    + = ⇔ ⇔   = −  = ± +    kết hợp điều kiện bài toán ta được nghiệm của phương trình là: 2 ; 2 ( ) 2 3 k x x k k Z π π π = = − + ∈ 2 Đường thẳng ∆ cắt d' tại điểm Q có tung độ bằng 4 nên Q(1; 4; 4) gọi ( ; ; )u a b c= r là vectơ chỉ phương của ∆ (a, b, c không đồng thời bằng 0). Do ∆ song song với (P) và vuông góc với d nên ta có hệ: 2 0 2 3 0 a b c a b c − + =   + + =  cộng, trừ vế với vế ta có: a c b c = −   = −  đường thẳng ∆ đi qua Q(1; 4; 4) có vectơ chỉ phương ( ; ; )u c c c= − − r có phương trình: 1 4 4 1 1 1 x y z− − − = = − . ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 47 Ngày 15 tháng 01 năm 2014 Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm) Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x − = + ( C ) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C). ∈ MK H D C B A E VI.a. 1 Tổng số cách chọn 6 HS trong 12 HS là 6 12 C số HS được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối - Số cách chọn chỉ có HS khối 12 và khối 11 là: 6 7 C - Số cách chọn chỉ có HS khối 11. là: 6 7 C - Số cách chọn chỉ có HS khối 11 và khối 10 là: 6 9 C - Số cách chọn chỉ có HS khối 12 và khối 10 là: 6 8 C Số cách chọn thoả mãn ycbt là: 6 12 C - 6 7 C - 6 9 C - 6 8 C = 805 (cách) Đường