ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 78 Ngày 9 tháng 4 năm 2014 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 y 2x(1 x )= − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục hoành ( khác gốc tọa độ O). Tìm các điểm I thuộc (C) sao cho tam giác IAB vuông tại I. Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình 2sin 2x 1 4sin x 6 π − + = ÷ 2. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) x y 3 3 x y x y log x log y 1 + = − − = Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân ( ) 1 2 3 0 x x I dx x 1 + = + ∫ Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’= AB= a. Tính phần thể tích chung của hai khối chóp A.BB’C’C và A’.BB’C’C. Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) 3 3 3 a b c c a b b c a P 3c 3b 3a + − + − + − = + + PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2.0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x 2y 1 0− + = và hai điểm A(1;-1), B(4;0). Tìm điểm M thuộc d để 2 2 MA 2MB+ đạt giá trị nhỏ nhất. 2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1 2 x 3 y z 1 x 3 y 3 z d : ;d : 2 4 3 1 2 5 − + + − = = = = − . Viết phương trình đường thẳng d cắt d 1 , d 2 và song song với trục Oy. Câu VII.a (1.0 điểm) Trong một lớp học có 3 tổ: tổ I có 3 bạn, tổ II có 4 bạn, tổ III có 5 bạn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp các bạn của cả 3 tổ đứng thành hàng ngang sao cho các bạn tổ I đứng cạnh nhau, các bạn tổ III đứng cạnh nhau nhưng không có hai bạn nào của tổ I và III đứng cạnh nhau. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2.0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2 (C) : x 5 y 20− + = và đường thẳng d : x y 3 0+ + = . Tìm các điểm M thuộc (C) và N thuộc d sao cho hai điểm M,N đối xứng nhau qua trục Oy. 2. Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng x 1 y 2 z d : 1 1 2 − + = = − và hai điểm A(1;4;2) và B(-1;2;4). Viết phương trình đường thẳng d’ qua A, cắt d và khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d’ đạt giá trị lớn nhất. Câu VII.b (1.0 điểm) Chứng minh rằng số phức 1 z 1 z − + là số ảo nếu và chỉ nếu z 1 và z 1.= ≠ − Hết HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 78 Mời các bạn dự thi từ 19-22 giờ Thứ 2,4,7 1 Câu Nội dung Điểm I (2,0đ) 1. (1,0 điểm)Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2 y 2x(1 x )= − Tập xác định: D = ¡ Sự biến thiên: 2 1 1 y' 2(1 3x ), y' 0 x ;x 3 3 = − = ⇔ = = − 0.25 Hàm số đồng biến trên các khoảng 1 1 ; 3 3 − ÷ ; nghịch biến trên khoảng 1 1 ; ; ; 3 3 −∞ − +∞ ÷ ÷ . ￚ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại CT 1 4 3 x ;y 9 3 = − = − , đạt cực đại tại CD 1 4 3 x ;y 9 3 = = . ￚ Giới hạn: lim ; lim →−∞ →+∞ = +∞ = −∞ x x y y 0.25 ￚ Bảng biến thiên: x -∞ 1 3 − 1 3 +∞ y' - 0 + 0 - y +∞ 4 3 9 − 4 3 9 -∞ 0.25 • Đồ thị: 0.25 2.(1,0 điểm) Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục hoành Ox ( khác gốc tọa độ O). Tìm các điểm I thuộc (C) sao cho tam giác IAB vuông tại I. Ta có A(-1,0), B(1,0). Tam giác IAB vuông tại I nên I thuộc đường tròn tâm O( gốc tọa độ) với bán kính bằng 1. Tọa độ I là nghiệm của hệ: 2 2 2 y 2x(1 x )(1) x y 1(2) = − + = 0.25 Thay (1) vào (2) ta được: 2 3 2 6 4 2 x (2x 2x ) 1 4x 8x 5x 1 0+ − = ↔ − + − = 0.25 2 2 x 1(loai vì I A,B) 1 1 x y 1 2 2 x 2 = ≠ ↔ → = ± → = ± = 0.25 Do 2 2 x 1 1 x 0≤ → − ≥ nên x,y cùng dấu.Vậy chỉ có hai điểm I thỏa đề là 1 1 1 1 ; ; ; 2 2 2 2 − − ÷ ÷ 0.25 II (2,0đ) 1. (1,0 điểm) Giải phương trình 2sin 2x 1 4sin x 6 π − + = ÷ (1) (1) 2 sin2x cos sin cos 2x 1 4sin x 3 sin2x cos2x 1 4sin x 6 6 π π ⇔ − + = ⇔ − + = ÷ 0.25 ( ) 2 2 2 3 sin x cos x (1 2sin x) 1 4sin x 0 2 3 sin x cos x 2sin x 4sin x 0 2sin x 3 cos x sin x 2 0 ⇔ − − + − = ⇔ + − = ⇔ + − = 0.25 Mời các bạn dự thi từ 19-22 giờ Thứ 2,4,7 2 * 3 1 3 cos x sin x 2 cos x sin x 1 sin x 1 x k2 2 2 3 6 π π + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = + π ÷ 0.25 * sin x 0 x k= ⇔ = π Vậy nghiệm của phương trình là: x k2 6 π = + π ; x k ; k Z= π ∈ 0.25 2.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) x y 3 3 x y x y (1) log x log y 1(2) + = − − = ĐK: 3 x 0;y 0,x y x (2) log 1 x 3y y > > > → = → = 0.25 ( ) ( ) ( ) 3y y 3y 3y y y y 3y 2y y 6y 2y y 5y 2y 1 4y 2y 4 .y 2 .y do y 0 4 .y 2 2 .y 2 2 .y 1→ = ↔ = > → = → = → = 0.25 ( ) y 5 2 5 2 2 5 1 2 .y 1do y 0 nên2 .y 1 y 2 → = > = → = 0.25 2 3 2 y x 8 8 = → = . So sánh điều kiện ta được nghiệm của hệ là: 3 2 2 ; 8 8 ÷ 0.25 III (1,0đ) (1,0 điểm) Tính tích phân ( ) 1 2 3 0 x x I dx x 1 + = + ∫ ( ) dx x xx A ∫ + + = 1 0 3 2 1 = ( ) ( ) dx x xxx ∫ + +−++ 1 0 3 2 1 112 = ( ) ( ) ( ) dx x xx ∫ + +−+ 1 0 3 2 1 11 = = ( ) dx x x ∫ + + − 1 0 2 1 1 1 1 0.5 Đặt ( ) 2 1 1 1 1 + =⇒ + −= x dx dt x t 23 1 3 2 2 1 0 2 1 0 = == ∫ ttdttA 0.5 IV (1,0đ) (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’= AB= a. Tính phần thể tích chung của hai khối chóp A.BB’C’C và A’.BB’C’C. Phần chung của 2 khối chóp là đa diện OO’BB’C’C. Gọi V là thể tích đa diện đó. Ta có A'.BB'C'C A '.OB'C'O' V V V= − 3 ABC.A'B'C' ABC a 3 V S .AA' 4 = = 0.25 3 A.A'B'C' a 3 V 12 = 3 A'.BB' C'C a 3 V 6 = 0.25 Mà A.A'B'C' A.A'OO ' V AO AO' 4 V AB' AC' = = Nên suy ra 3 A.A 'OO' A'.OB'C'O' A.A'B'C' 3 a 3 V V V 4 16 = = = 0.25 Mời các bạn dự thi từ 19-22 giờ Thứ 2,4,7 3 Vậy 3 3 3 a 3 a 3 5a 3 V 6 16 48 = − = 0.25 V (1,0đ) (1,0 điểm) Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) 3 3 3 a b c c a b b c a P 3c 3b 3a + − + − + − = + + Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương 3 ( ) , 3 3 + −a b c c c và 1 3 ta được: 3 ( ) 1 3 3 3 + − + + ≥ + − a b c c a b c c (1). 0.25 3 ( ) 4 1 3 3 3 + − ⇒ ≥ + − − a b c c a b c (1) 0.25 Tương tự: 3 ( ) 4 1 3 3 3 + − ≥ + − − b c a a b c a (2), 3 ( ) 4 1 3 3 3 + − ≥ + − − c a b b c a b (3). 0.25 Cộng (1), (2) và (3) ta suy ra 1 min 1≥ ⇒ =P P khi 1= = =a b c . 0.25 VI.a (2,0đ) 1. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x 2y 1 0− + = và hai điểm A(1;-1), B(4;0). Tìm điểm M thuộc d để 2 2 MA 2MB+ đạt giá trị nhỏ nhất. Ta tìm điểm I(a,b) sao cho: 1 IA 2IB 0 I(3; ) 3 + = → uur uur r 0.25 Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 P MA 2MB MI IA 2 MI IB 3MI IA 2IB= + = + + + = + + uuur uur uuur uur 0.25 Mà ( ) 2 2 IA 2IB+ là hằng số nên 2 min min min P 3MI MI⇔ ⇔ ⇔ M là hình chiếu của 1 I(3; ) 3 lên d. 0.25 Đường thẳng d’ qua I vuông góc d có phương trình tham số x 3 t 1 y 2t 3 = + = − Tọa độ M là nghiệm của hệ x 3 t 1 2 31 23 y 2t t M ; 3 5 15 15 x 2y 1 0 = + = − ⇒ = − ⇒ ÷ − + = 0.25 2.(1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1 2 x 3 y z 1 x 3 y 3 z d : ;d : 2 4 3 1 2 5 − + + − = = = = − . Viết phương trình đường thẳng d cắt d 1 , d 2 và song song với trục Oy. Gọi 1 2 A(3 2t, 4t, 1 3t) d ;B( 3 t ',3 2t ', 5t ') d ;AB ( 6 t ' 2t,3 2t ' 4t,1 5t ' 3t)+ − + ∈ − + + − ∈ = − + − + − − + uuur 0.25 Gọi d là đường thẳng qua AB, d song song Oy nên 29 t 6 t ' 2t 0 13 1 5t ' 3t 0 20 t ' 13 = − − + − = ⇒ − + = = 0.25 Suy ra d qua ( ) 19 116 100 A ; ; có u AB 0;15;0 13 13 13 − − − = = ÷ r uuur 19 x 13 116 d : y 15t, t R 13 100 z 13 = − = − + ∈ = − 0.5 VII.a (1,0đ) (1,0 điểm) Trong một lớp học có 3 tổ: tổ I có 3 bạn, tổ II có 4 bạn, tổ III có 5 bạn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp các bạn của cả 3 tổ đứng thành hàng ngang sao cho các bạn tổ I đứng cạnh nhau, các bạn tổ III đứng cạnh nhau nhưng không có hai bạn nào của tổ I và III đứng cạnh nhau. Sắp 4 bạn tổ II đứng thành hàng ngang có 4!= 24 cách sắp. 0.25 Giữa 4 bạn tổ II có 5 “vách ngăn”. “Buộc” 3 bạn tổ I thành nhóm I, “buộc” 5 bạn tổ III thành nhóm III. 0.25 Sắp nhóm I và nhóm II vào 5 vách ngăn có 2 5 A 20= cách sắp. 0.25 Vậy số cách sắp thỏa đề là: 2 5 4!.A .3!.5! 345600= cách sắp. 0.25 Mời các bạn dự thi từ 19-22 giờ Thứ 2,4,7 4 VI.b (2,0 điểm) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2 (C) : x 5 y 20− + = và đường thẳng d : x y 3 0+ + = . Tìm các điểm M thuộc (C) và N thuộc d sao cho hai điểm M,N đối xứng nhau qua trục Oy. Gọi d’ là đường thẳng đối xứng với d qua Oy, d’: - x + y + 3 = 0 0.25 Tọa độ giao điểm của d’ với (C) là nghiệm của hệ: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 x 5 y 20 M 7;4 ,M 1, 2 x y 3 0 − + = ⇒ − − + + = 0.25 Suy ra N 1 (-7,4) thuộc d đối xứng với M 1 (7,4) thuộc (C) qua Oy. 0.25 Và Suy ra N 2 (-1,-2) thuộc d đối xứng với M 2 (1,-2) thuộc (C) qua Oy. 0.25 2.(1,0 điểm) Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng x 1 y 2 z d : 1 1 2 − + = = − và hai điểm A(1;4;2) và B(-1;2;4). Viết phương trình đường thẳng d’ qua A, cắt d và khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d’ đạt giá trị lớn nhất. d' qua A cắt d tại M(1-t, -2+t,2t) thuộc d. Khi đó ( ) 2 2 AM;AB 28t 152t 208 d B,d ' 3t 10t 20 AM − + = = − + uuuur uuur uuuur 0.25 Xét hàm 2 2 28t 152t 208 f (t) có 3t 10t 20 − + = − + ( ) ( ) 2 2 2 t 2 16 11t 8t 60 f '(t) 0 30 t 3t 10t 20 11 = − − − = = ⇔ = − + 0.25 Ta có t 30 4 28 f ( 2) 2 3; f ; lim f (t) 11 35 3 →±∞ − = = = ÷ Nên khoảng cách từ B đến d’ lớn nhất bằng 2 3 khi t = -2 0.25 Lúc đó x 1 y 4 z 2 d' : 1 4 3 − − − = = − − 0.25 VII.b (1,0đ) (1,0 điểm) Chứng minh rằng số phức 1 z 1 z − + là số ảo nếu và chỉ nếu z 1 và z 1.= ≠ − Giả sử z = a + bi, a,b thuộc R .Lúc đó ( ) ( ) 2 2 2 2 1 a b 2bi 1 z 1 z 1 a b − − − − = + + + 0.25 Ta có số phức 1 z 1 z − + là ảo nếu và chỉ nếu ( ) ( ) 2 2 2 2 1 a b z 1 và 0 1 a b − − ≠ − = + + 0.25 ( ) 2 2 2 2 1 a b 0 a b 1⇔ − − = ⇔ + = 0.25 2 z 1 z 1⇔ = ⇔ = 0.25 Mời các bạn dự thi từ 19-22 giờ Thứ 2,4,7 5 . ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 78 Ngày 9 tháng 4 năm 2014 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 y 2x(1 x )= − 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2 nhất. Câu VII.b (1.0 điểm) Chứng minh rằng số phức 1 z 1 z − + là số ảo nếu và chỉ nếu z 1 và z 1.= ≠ − Hết HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 78 Mời các bạn dự thi từ 19-22 giờ Thứ 2,4,7 1 Câu Nội dung. (1,0 điểm)Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2 y 2x(1 x )= − Tập xác định: D = ¡ Sự biến thi n: 2 1 1 y' 2(1 3x ), y' 0 x ;x 3 3 = − = ⇔ = = − 0.25 Hàm số đồng biến trên các khoảng 1 1 ; 3