SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2011 MÔN: TOÁN; KHỐI: D Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 1 . 1 x y x + = − + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số. 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 . 1 x m x + = − + Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 2 2sin 2 3cos4 3 4sin . 4 x x x π − + = − ÷ 2. Giải bất phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 7 . 2 11 14 0 .x x x x x− − + ≥ ∈¡ Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 2 2 0 . .I x= ∫ 2 4 - x dx Câu IV(1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật có độ dài AB = 2a , BC = a. Gọi M là trung điểm đoạn CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SBM) là 0 60 . α = 1. Chứng minh rằng mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC). 2. Tính thể tích tứ diện SABM theo a. Câu V(1,0 điểm) Tìm m để bất phương trình: ( ) 2 2 2 log 2 logx mx m+ < − có nghiệm thực. Câu VI(2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng d 1 : x – 3y - 2 = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng d 2 : 2x – y + 6 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3; 2). 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và mặt phẳng ( α ): x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng ( β ) đi qua A, B và vuông góc với ( α ). Câu VII(1,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: 1 2 3.z z i − + − = Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: www.laisac.page.tl TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG Tổ: Toán *** ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2011 MÔN: TOÁN; KHỐI: D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM I 1. (1,0 điểm) * Tập xác định: { } \ 1¡ * Sự biến thiên: ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 0, ;1 1; 1 y x x = > ∀ ∈ −∞ ∪ +∞ − ⇒ Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) ;1 và 1;+−∞ ∞ . 0,25 Cực trị: Hàm số không có cực trị. Giới hạn, tiệm cận: 1 1 1 1 1 1 lim lim ; lim lim 1 1 x x x x x x y y x x − − + + → → → → + + = = +∞ = = −∞ − + − + Do đó đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng. 1 1 lim lim 1; lim lim 1 1 1 x x x x x x y y x x →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ + + = = − = = − − + − + Do đó đường thẳng y = - 1 là tiệm cận ngang. 0,25 Bảng biến thiên: + + -1 -1 1 - ∞ + ∞ + ∞ - ∞ y y' x 0,25 * Đồ thị: Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; 1) và cắt trục hoành tại điểm (-1; 0). Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm I(1; -1) của hai tiệm cận. 0,25 2. (1,0 điểm) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( ) 1 . 1 1 x m x + = − + (2,0 đ) Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị ( ) 1 ' . 1 x y C x + = − + 0,25 Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đthị 1 1 x y x + = − + và đg thẳng y = m. 0,25 Suy ra đáp số: 1; 1:m m< − > phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 1:m = phương trình có 1 nghiệm. 1 1:m − ≤ < phương trình vô nghiệm. 0,5 II (2,0 đ) 1. (1,0 điểm) Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin 2 3cos4 3 4sin 1 4 x x x π − + = − ÷ ( ) ( ) 2 2 1 1 cos 4 3 cos 4 3 4sin 3 cos4 sin 4 2 1 2sin 2 x x x x x x π ⇔ − − + = − ⇔ − = − ÷ 0,25 3 1 cos 4 sin 4 cos2 cos 4 cos2 2 2 6 x x x x x π ⇔ − = ⇔ + = ÷ 0,25 ( ) 4 2 2 6 12 . 4 2 2 36 3 6 x x k x k k x k x x k π π π π π π π π + = + = − + ⇔ ⇔ ∈ = − + + = − + ¢ 0,5 2. (1,0 điểm) Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 7 2 11 14 0 1 .x x x x x− − + ≥ ∈¡ ( ) 2 2 2 2 11 14 0 1 2 11 14 0 2 7 0 x x x x x x − + = ⇔ − + > − ≥ 0,25 7 2; 2 7 2; 7 2 2; 7 2 0; 7 2 0; 2 x x x x x x x x x x = = = = ⇔ ⇔ < > ≤ > ≤ ≥ 0,5 7 0; 2; 2 x x x⇔ ≤ = ≥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là: ( ] { } 7 ;0 2 ; 2 T = −∞ ∪ ∪ +∞ ÷ 0,25 III (1,0 đ) (1,0 điểm) Tính tích phân 2 2 0 . .I x = ∫ 2 4 - x dx Đặt [ ] 2sin , 0; 2cosx t t dx tdt π = ∈ ⇒ = Khi x - 0 thì t = 0, khi x = 2 thì 2 t π = . 0,25 Do đó 2 2 2 2 2 2 0 0 0 4sin . . . 4 4sin . . 4 sin 2 .I t t dt t dt t dt π π π = = = ∫ ∫ ∫ 2 2 4 - 4 sin 2cost cos t 0,25 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 2 1 cos 4 . 2 cos4 . 4 2 sin 4 2 2 t dt dt t d t t t π π π π π = − = − = − ∫ ∫ ∫ 0,25 ( ) 1 2. sin 2 sin 0 . 2 2 π π π = − − = 0,25 IV (1,0 đ) 1. (0,5 điểm) CMR mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC). a a 2 α I M D C B A S * Ta có 1 2 MC CB BC BA = = ÷ MCB ⇒ ∆ đồng dạng CBA ∆ · · · · 0 90CAB MBC CAB IBA AI BI ⇒ = ⇒ + = ⇒ ⊥ * Mặt khác BI SA⊥ nên · ( ) 0 AIS 60 và BI SAC α = = ⊥ Do đó ( ) ( ) .SBM SAC⊥ 0,25 0,25 2. (0,5 điểm) Tính thể tích tứ diện SABM theo a. Tính được ( ) 2 2 1 2 . 2 2. 2. . . 2 2 2 AMB ABCD ADM BCM a a S S S S a a ∆ ∆ ∆ = − + = − = 2 2 3 ABM S a AI BM ∆ ⇒ = = 0,25 3 0 1 2 .tan 60 2 . 3 3 ABM a SA AI a V SA S ∆ = = ⇒ = = (đvtt). 0,25 V (1,0 đ) (1,0 điểm) Tìm m để bpt: ( ) ( ) 2 2 2 log 2 log 1x mx m+ < − có nghiệm thực. ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 2 1 x x m x I x m x > ⇔ + < − ⇔ + > − hoặc ( ) 2 1 2 1 x II x m x < + < − (x = 1 không thỏa mãn). 0,25 Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 , 1; ' 1 1 2 x x f x x f x x x x + − − = ∀ ≠ = − − + ( ) ' 0 2 0 2f x x x= ⇔ − − = ⇔ = − . ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 lim 1; lim 1; lim ; lim . x x x x f x f x f x f x − + →−∞ →−∞ → → = − = = −∞ = +∞ 0,25 Ta có bảng biến thiên: 0 - + ∞ - ∞ 1 1 + f '(x) f (x) x - 6 3 - ∞ -2 -1 + ∞ - 0,25 Lập luận đưa ra được kết quả ( ) 6 ; 1; 3 m ∈ −∞ − ∪ +∞ 0,25 VI (2,0 đ) 1. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng AC Đường thẳng AC đi qua điểm (3 ; 2) nên có pt: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 0 0a x b y a b − + − = + ≠ Góc của nó tạo với BC bằng góc của AB tạo với BC nên : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2.1 1 . 3 a 3b 1 3 . a b 2 1 . 1 3 + − − − = + − + + − + − 0,25 2 2 2 2 2 5 3 2 3 2 0 2 a b a b a b a ab b b a = − ⇔ + = − ⇔ + − = ⇔ = 0,25 Với a = -2b, chọn a = 2, b = -1, ta được phương trình AC: 2x - y - 4 = 0 (loại vì AC // AB). 0,25 Với a = 2 b , chọn a = 1, b = 2, ta được phương trình AC: x + 2y - 7 = 0. 0,25 2. (1,0 điểm) Lập phương trình mặt phẳng ( ) β Lập luận để chỉ ra được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) β là ,n AB n α = r uuur uur 0,25 Tìm được ( ) 1; 2;1n = − r 0,25 Khẳng định mặt phẳng ( ) β đi qua điểm A và có một vtơ pháp tuyến ( ) 1; 2;1n = − r 0,25 Phương trình mặt phẳng ( ) β : x - 2y + z - 2 = 0. 0,25 VII (1,0 đ) (1,0 điểm) Biểu diễn số phức z = x + yi ( ) ,x y ∈ ¡ bởi điểm M(x; y) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có: ( ) 1 2 3 1 2 1 3z z i y i − + − = ⇔ + − = 0,25 ( ) 2 2 1 2 2 3y⇔ + − = 0,25 ( ) 2 1 2 1 2y y⇔ − = ⇔ = ± 0,25 Tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z là hai đường thẳng song song với trục hoành 1 2y = ± . 0,25 Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết . HỒNG QUANG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2011 MÔN: TOÁN; KHỐI: D Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 1 . 1 x y x + = − + 1. Khảo sát sự biến thi n và. ; Số báo danh: www.laisac.page.tl TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG Tổ: Toán *** ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2011 MÔN: TOÁN; KHỐI: D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN – THANG. ) C của hàm số. 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 . 1 x m x + = − + Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 2 2sin 2 3cos4 3 4sin . 4 x x x π − + = − ÷ 2. Giải bất