SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ Đề chính thức Số báo danh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Môn thi: Toán Lớp: 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu). Câu I. (5,0 điểm). 1) Cho phương trình: 2 2210.xmxm−+−= Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm 12 , x x với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 12 22 12 12 23 2(1 ) xx P x xxx + = ++ + khi m thay đổi. 2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn 111 . abc + = Chứng minh rằng 222 A abc=++ là số hữu tỉ. (b). Cho ba số hữu tỉ ,, x yz đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: 222 111 ()()() B x yyzzx =++ −−− là số hữu tỉ. Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình: 22 10 . 119 xx xx ⎛⎞⎛⎞ += ⎜⎟⎜⎟ −+ ⎝⎠⎝⎠ 2) Giải hệ phương trình: 2 2 3 23 11 14 1 4. xx yy xx x yyy ⎧ ⎛⎞ + ++= ⎪ ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎨ ⎪ + ++= ⎪ ⎩ Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính .BPE Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (OAB ∉ ). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB ( ,PAB≠ và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( NP ≠ ). 1) Chứng minh rằng ANP BNP= và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động. Câu V. (4,0 điểm). 1) Cho 12 45 , , ,aa a là 45 số tự nhiên dương thoả mãn 12 45 130.aa a < << ≤ Đặt 1 , ( 1,2, ,44). jj j da a j + =− = Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu j d xuất hiện ít nhất 10 lần. 2) Cho ba số dương ,,abcthoả mãn: 22 22 22 2011.ab bc ca++ ++ += Chứng minh rằng: 222 1 2011 . 22 abc bc ca ab ++≥ ++ + HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm . SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 3 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN LỚP: 9 THCS Ngày thi: 24 - 3 - 2011 Câu Ý Hướng dẫn chấm Điểm Ta có 2 '( 1) 0,mmΔ= − ≥ ∀ nên phương trình có hai nghiệm với mọi m. 0,5 Theo định lí viet, ta có 12 12 2, 2 1xx mxx m + ==− , suy ra 2 41 42 m P m + = + 1,0 1) 2,5đ 2 2 (2 1) 11.1, 42 m Max P m − =− ≤ = + khi 1 . 2 m = 1,0 Từ giả thiết suy ra 2220ab bc ca − −= 0,5 2a) 1,5đ Suy ra 2 ()Aabcabc=+−=+− là số hữu tỉ 1,0 Đặt 111 ,,abc x yyzxz === −−− suy ra 111 . abc + = 0,5 Câu I 6 đ 2b) 1,0đ Áp dụng câu 2a) suy ra 222 111 ()()() B x yyzzx =++ −−− là số hữu tỉ. 0,5 Đk: 1. x ≠± Phương trình tương đương với 2 2 222 222 10 2 2 10 20. 11 19 1 19 xx x x x xx x x x ⎛⎞ ⎛⎞ +− =⇔ −−= ⎜⎟ ⎜⎟ +− − − − ⎝⎠ ⎝⎠ 1,0 Đặt 2 2 2 , 1 x t x = − ta được phương trình 2 10 5 0 93 tt t − −=⇔= hoặc 2 3 t − = 0,5 Với 5 , 3 t = ta được 2 2 25 13 x x = − (vô nghiệm) 0,5 1) 2,5đ Với 2 , 3 t =− ta được 2 2 22 13 x x = − − suy ra 1 . 2 x = ± 0,5 Đk: 0.y ≠ Hệ tương đương với 2 2 3 3 11 4 11 4. xx yy x xx yy y ⎧ +++= ⎪ ⎪ ⎨ ⎛⎞ ⎪ + ++= ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎩ 0,5 Câu II 6 đ 2) 2,5đ Đặt 1 , ux y x v y ⎧ =+ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ ta được hệ 22 32 24 440 2 1. 24 42 uuv u u u v uuv uu v ⎧⎧ + −= −+= = ⎧ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨⎨ = −= +−= ⎪⎪ ⎩ ⎩⎩ 1,0 Với 2 1, u v = ⎧ ⎨ = ⎩ ta được 1 2 1 1. 1 x x y xy y ⎧ += ⎪ = ⎧ ⎪ ⇔ ⎨⎨ = ⎩ ⎪ = ⎪ ⎩ (thoả mãn điều kiện) 1,0 Kẻ EF AC⊥ tại F, D GBC ⊥ tại G. Theo giả thiết ()() A DPE BPC SS = () () . ACE BCD SS⇒= 0,5 Mà A CBC EFDG=⇒= và AC = Suy ra . A EF CDG AE CGΔ=Δ ⇒= 0,5 Do đó ()AEC CDB c g c DBC ECAΔ=Δ −−⇒ = 0,5 Câu III 2đ 0 60BPE PBC PCB PCD PCB⇒=+=+= 0,5 1,0 Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến chung của (O) với (C), (D) tại A, B tương ứng. Suy ra .ANP QAP QBP BNP=== Ta có ANB ANP BNP QAP QBP=+=+ 0 180 AQB=− , suy ra NAQB nội tiếp (1). Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2) Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B cùng nằm trên một đường tròn. 0,5 0,5 Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên một đường tròn. 0,5 1) 3,0đ Ta có 22OCN OAN OBN ODN=== , suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 0,5 Câu IV 4,0đ 2) 1,0đ Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi qua các điểm N, O, D, C. Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố định. 1,0 1 2 44 2 1 3 2 45 44 45 1 ( ) ( ) ( ) 130 1 129.dd d aa aa a a a a+++ = − + − ++ − = −≤ −= (1) 0,5 1) 2,0 đ Nếu mỗi hiệu ( 1,2, ,44) j dj = xuất hiện không quá 10 lần thì 12 44 9(1 2 3 4) 8.5 130dd d+++ ≥ ++++ = mâu thuẫn với (1). Vậy phải có ít nhất một hiêụ ( 1, ,44) j dj = xuất hiện không ít hơn 10 lần 1,5 Câu V 2đ 2) 2,0đ Ta có 22 2 2( ) ( )ab ab+≥+. 0,5 A O N C D B P Q E H GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. Suy ra ()()() 222 2 2 2 22 22 2 2 222 abc a b c bc ca ab bc ca ca ++≥ + + ++ + +++ Đặt 22 2 2 22 ,,, x bcy caz ab=+ =+ =+ suy ra 222 22 2 2 22 22 22 22 yzx zxy xyz VT x yz +− +− +− ≥++ 22 2 1( ) () ( ) 22 2 22 yz zx xy x yz xyz ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ +++ ≥−+−+− ⎢⎥ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ 1,0 22 2 1( ) () ( ) 23 23 23 22 2 22 yz zx xy x xyyzz xy z ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ++ + ≥+−++−++− ⎢⎥ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ ()()() 1 2( ) 3 2( ) 3 2( 3 22 yz x zx y xy z≥+−++−++− ⎡⎤ ⎣⎦ Suy ra 1 1 2011 () 22 22 VT x y z≥++= 0,5 . Đề chính thức Số báo danh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Môn thi: Toán Lớp: 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03 /2011. THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 3 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN LỚP: 9 THCS Ngày thi: 24 - 3 - 2011 Câu Ý Hướng dẫn chấm. dương ,,abcthoả mãn: 22 22 22 2011. ab bc ca++ ++ += Chứng minh rằng: 222 1 2011 . 22 abc bc ca ab ++≥ ++ + HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm .