Đề thi thử đại học môn Toán (19)

Diemthi.24h.com.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 177) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 2 y x 3mx 3 m 1 x m 1= − + − − − ( m là tham số) (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0.= 2. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương . Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình: 2sin 2x 4sin x 1 0. 6 π   − + + =  ÷   2. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x y x y 13 x, y . x y x y 25  − + =  ∈  + − =   ¡ Câu III (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a,= = cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc o 60 . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho a 3 AM 3 = . Mặt phẳng ( ) BCM cắt cạnh SD tại điểm N . Tính thể tích khối chóp S.BCNM. Câu IV (2 điểm) 1. Tính tích phân: 6 2 dx I 2x 1 4x 1 = + + + ∫ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = 2sin 8 x + cos 4 2x PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a.( 3 điểm ) Theo chương trình Chuẩn 1. Cho đường tròn (C) : ( ) ( ) 2 2 x 1 y 3 4− + − = và điểm M(2;4) . a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB b) Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C) có hệ số góc k = -1 . 2. Cho hai đường thẳng song song d 1 và d 2 . Trên đường thẳng d 1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d 2 có n điểm phân biệt ( n 2≥ ). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n. Câu V.b.( 3 điểm ) Theo chương trình Nâng cao 1. Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của ( ) 100 2 x x+ , chứng minh rằng: 99 100 198 199 0 1 99 100 100 100 100 100 1 1 1 1 100C 101C 199C 200C 0. 2 2 2 2         − +×××− + =  ÷  ÷  ÷  ÷         2. . Cho hai đường tròn : (C 1 ) : x 2 + y 2 – 4x +2y – 4 = 0 và (C 2 ) : x 2 + y 2 -10x -6y +30 = 0 có tâm lần lượt là I, J a) Chứng minh (C 1 ) tiếp xúc ngoài với (C 2 ) và tìm tọa độ tiếp điểm H . b) Gọi (d) là một tiếp tuyến chung không đi qua H của (C 1 ) và (C 2 ) . Tìm tọa độ giao điểm K của (d) và đường thẳng IJ . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với hai đường tròn (C 1 ) và (C 2 ) tại H . Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Diemthi.24h.com.vn Diemthi.24h.com.vn đáp án đề thi S 177 Câu Nội dung Điểm I 2.0đ 1,25đ 2 0.75đ Để ĐTHS (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng, ta phải có : ( ) ( ) ( ) 1 2 y' 1 2 x x 0 x 0 x 0 y y 0 y 0 0 > > > < < V (I) Trong đó : y = 3( x 2 2mx + m 2 1) y = m 2 m 2 + 1 = 1 > 0 với mọi m y = 0 khi x 1 = m 1 = x CĐ và x 2 = m + 1 = x CT . (I) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 m 1 0 m 1 0 3 m 1 2 m 1 m 3 m 2m 1 0 m 1 0 > + > < < + < < 0,25 0,5 II 2,0đ 1 1,0đ Ta có : 2sin 2x 4sin x 1 0. 6 + + = ữ 3 sin2x cos2x + 4sinx + 1 = 0 3 sin2x + 2sin 2 x + 4 sinx = 0 sinx ( 3 cosx + sinx + 2 ) = 0 sinx = 0 (1) hoặc 3 cosx + sinx + 2 = 0 (2) + (1) x = k + (2) 3 1 cosx sin x 1 2 2 + = sin x 1 3 + = ữ 5 x 2 6 = + k 0,25 0,5 Diemthi.24h.com.vn 2 1,0đ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x y x y 13 1 x y x y 25 2 + = + = ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 2 3 x xy x y y 13 1' y xy x y x 25 2' + = + = Lấy (2) - (1) ta đợc : x 2 y xy 2 = 6 ( ) x y xy 6 = (3) Kết hợp với (1) ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x y x y 13 I x y xy 6 + = = . Đặt y = - z ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x z x z 13 x z x z 2xz 13 I x z xz 6 x z xz 6 + + = + + = + = + = đặt S = x +z và P = xz ta có : ( ) 2 3 S S 2P 13 S 1 S 2SP 13 P 6 SP 6 SP 6 = = = = = = Ta có : x z 1 x.z 6 + = = . Hệ này có nghiệm x 3 z 2 = = hoặc x 2 z 3 = = Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là : ( 3 ; 2) và ( -2 ; -3 ) 0,25 0,25 0,25 0,25 III 1.0đ 1đ Ta có ( SAB) ( BCNM) và ( ) ( ) SAB BCNM BM = . Từ S hạ SH vuông góc với đờng thẳng BM thì SH (BCNM) hay SH là đờng cao của hình chóp SBCNM. Mặt khác : SA = AB.tan60 0 = a 3 . Suy ra : MA = 1 3 SA Lại có : MN là giao tuyến của của mp(BCM) với mp(SAD), mà BC // (SAD) nên NM // AD và MN // BC Do đó : MN SM 2 4a MN AD SA 3 3 = = = Vì AD (SAB) nên MN (SAB) , suy ra MN BM và BC BM Vậy thiết diện của mp(BCM) với hình chóp SABCD là hình thang vuông BCNM . Ta có : S BCNM = ( ) 1 MN BC BM 2 + Trong đó : BC = 2a , MM 4a 3 = và BM = 2 2 AB AM+ = 2a 3 3 Vậy S BCNM = 2 4a 2a 2a 3 10a 3 3 2 3 9 + ữ = ữ ữ Khi đó : V SBCNM = 1 3 SH. S BCNM Tính SH : Ta có MAB : MHS , suy ra : 0,5 N D B C A S M H Diemthi.24h.com.vn SH MS AB BM = MS.AB SH MB = = 2a 3 .a 3 a 2a 3 3 = Vậy : V SBCNM = 1 3 .a. 2 10a 3 9 = 3 10a 3 27 0,5 IV 2đ 1 1.0đ đặt t 4x 1= + , ta có dt = 2dx 4x 1+ hay t 2 dt = dx và 2 t 1 x 4 = Khi x = 2 thì t = 3 và khi x= 6 thì t = 5 Khi đó : 5 2 3 tdt I t 1 2 1 t 2 = + + ữ = ( ) 5 2 3 tdt t 1+ ( ) 5 2 3 1 1 dt t 1 t 1 ữ = ữ + + = 5 3 1 ln t 1 t 1 + + ữ + = 3 1 ln 2 12 0,25 0,5 2 1.0đ Đặt t = cos2x ( ) 1 t 1 thì sin 2 x = 1 t 2 + ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1 f ' t 4t t 1 8t t 1 2 2 = + = + ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2t t 1 4t 2t t 1 t 1 2 = + + + = ( ) ( ) 2 1 3t 1 7t 4t 1 2 + Bảng biến thiên Qua bảng biến thiên ta có : miny = 1 27 và maxy = 3 0,25 0,5 Va 3đ 1a Đờng tròn (C) : ( x 1) 2 + ( y 3 ) 2 = 4 có tâm I ( 1 ; 3) và bán kính R = 2 . Ta có : (d) : ( ) ( ) ( ) ( ) Qua M 2;4 qua M qua M d : d : MA MN AB MI vtpt MI 1;1 = uuur (d) : x 2 + y 4 = 0 (d) : x + y 6 = 0 0,25 0,5 0,25 1b Đờng thẳng (d) với hệ số góc k = -1 có dạng : y = -x + m hay x + y m =0 (1) Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đờng tròn (C) kc(I,(d)) = R 1 2 1 3 m m 4 2 2 2 1 1 m 4 2 2 + = + = + = + Vậy có 2 tiếp tuyến thoả mãn đề bài là : x + y 4 2 2 = 0 0,25 0,5 0,25 t f(t) f(t) -1 1/3 1 + 0 - 3 1 27 1 Diemthi.24h.com.vn 2 Theo đề ra ta có : 3 3 3 n 10 10 n C C C 2800 + = ( n 2 ) ( ) ( ) ( ) n 10 10! n! 2800 3! n 7 ! 3!7! 3! n 3 ! + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 10 n 9 n 8 10.9.8 n n 1 n 2 2800.6 + + + = n 2 + 8n 560 = 0 n 20 n 28 2 = = < Vậy n = 20 0,25 0,25 0,25 0,25 Vb 3.0 đ 1 Ta có : [(x 2 + x ) 100 ] = 100(x 2 + x ) 99 ( 2x +1) (1) và ( ) 100 2 0 100 1 101 2 102 99 199 100 200 100 100 100 100 100 x x C x C x C x C x C x+ = + + + + +L ( ) 100 2 0 99 1 100 99 198 100 199 100 100 100 100 x x ' 100C x 101C x 199C x 200C x + = + + + + L (2) Từ (1) và (2) ta thay 1 x 2 = , ta đợc 99 100 198 199 0 1 99 100 100 100 100 100 1 1 1 1 100C 101C 199C 200C 0. 2 2 2 2 +ììì + = ữ ữ ữ ữ 0.25 0.5 0,25 2a (C 1 ) có tâm I( 2 ; -1) và bán kính R 1 = 3 . (C 2 ) có tâm J(5;3) và bán kính R=2. Ta có : IJ 2 = ( 5 2) 2 + ( 3 + 1) 2 = 25 IJ = 5 = R 1 + R 2 Suy ra (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc ngoài với nhau . Tọa độ tiếp điểm H đợc xác định bởi : ( ) ( ) ( ) ( ) H I H J H I H J H H 19 x 2 x x 3 x x 5 2HI 3HJ 7 2 y y 3 y y y 5 = = = = = uur uuuur 0,25 0,25 0,5 2b Có : 2KI 3KJ= uur uuuur ( ) ( ) ( ) ( ) I K J K K K I K J K 2 x x 3 x x x 11 y 11 2 y y 3 y y = = = = Đờng tròn (C) qua K , tiếp xúc với (C 1 ) , (C 2 ) tại H nên tâm E của (C) là trung điểm của KH : 37 31 E ; 5 5 ữ . Bán kính (C) là EH = 6 Phơng trình của (C) là : 2 37 31 x y 36 5 5 + = ữ ữ 0,5 0,5 Diemthi.24h.com.vn . Diemthi.24h.com.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 177) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho. hai đường tròn (C 1 ) và (C 2 ) tại H . Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Diemthi.24h.com.vn Diemthi.24h.com.vn đáp án đề thi S 177 Câu Nội dung Điểm I 2.0đ 1,25đ 2 0.75đ Để ĐTHS. = + = + Vậy có 2 tiếp tuyến thoả mãn đề bài là : x + y 4 2 2 = 0 0,25 0,5 0,25 t f(t) f(t) -1 1/3 1 + 0 - 3 1 27 1 Diemthi.24h.com.vn 2 Theo đề ra ta có : 3 3 3 n 10 10 n C C C 2800 +