ĐỀ THI Môn Thi : Toán 11 Thời gian làm bài : 180 phút Câu I( 1 điểm): Giải phương trình (sin 2 sin 4)cos 2 0 2sin 3 x x x x − + − = + Câu II(2 điểm): 1/ Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau sao cho mỗi số đó chia hết cho 3. 2/ Tìm số nguyên dương n sao cho: 1 2 3 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2 3.2 (2 1).2 2011 n n n n n n n C C C C + + + + + − + − + + = Câu III(2 điểm) : Cho hàm số: 3 2 3 2y x x= − + − (C) 1/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 9 2011y x= − + . 2/ Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị (C ) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị ( C ). Câu IV(2 điểm): 1/ Chứng minh phương trình : 4 3 2 2 2011 0x mx nx px− + + + + = có ít nhất 2 nghiệm với ∀ m,n,p R∈ 2/ Tính: 2 1 3 2011 2009 1 x x x Lim x → + − + − Câu V( 3 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD=60 0 ; SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD); 3 4 a SO = . Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của DE. 1/ Chứng minh (SOF) ⊥ (SAD). 2/ Tính khoảng cách từ O và C đến mặt phẳng (SAD). 3/ Gọi ( ) α là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( ) α . Tính diện tích của thiết diện này. Hết……………. Đáp án Câu Nội dung Điểm I Xét phương trình: ( 2 sin 4)cos 2 0 2sin 3 Sin x x x x − + − = + (1) Điều kiện: 3 sin 2 x ≠ − Phương trình (1) ⇔ sin2x.cosx- 1 2 sin2x+4cosx-2=0 ⇔ sin2x(cosx- 1 2 )+4(cosx- 1 2 )=0 ⇔ (cosx- 1 2 )(sin2x+4)=0 ⇔ x= 2 3 k π π ± + Đối chiếu với điều kiện: x= 2 3 k π π + Vậy phương trình có nghiệm: x= 2 3 k π π + 0,25 0,5 0,25 II 1 .Đặt A= {1;2;3;4;5;6} .Các tập hợp con của A gồm có 3 phần tử và tổng của các phần tử đó chia hết cho 3 là: {1;2;3}, {1;2;6}, {2;3;4}, {1;3;5}, {1;5;6},{2;4;6}, {3;4;5}, {4;5;6}. 0,5 ⇒ Có 8 tập Ứng với mỗi tập hợp trên ta có thể lập được 3=3.2.1=6 (số) thỏa mãn yêu cầu bài toán Vậy có 8.6=48 số cần tìm 0,5 2 Ta có 2 1 0 1 2 2 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 (1 ) . . . . n n n n n n n n x c c x c x c x c x + + + + + + + + − = − + − + − (1) 0,25 Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) theo x ta được 2 1 2 3 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 (2 1)(1 ) ( 1) 2 . 3. . (2 1). . n n n n n n n n x c c x c x n c x + + + + + + − − = − + − + − + ⇔ 2 1 2 3 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 (2 1)(1 ) 2 . 3. . (2 1). . n n n n n n n n x c c x c x n c x + + + + + + − = − + − + + (2) 0,5 Cho x=2 vào hai vế của (2) ta được: 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 (2 1). .2 n n n n n c n c + + + + = − + + Khi đó: 2n+1=2011 ⇔ n=1005. Vậy n=1005. 0,25 Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng y=-9x+2011 có phương trình dạng y= -9x+m (m ≠ 2011) 0,25 Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (c ) ⇔ hệ phương trình 3 2 2 3 2 9 3 6 9 x x x m x x − + − = − + − + = − có nghiệm 0,25 Giải (2): 1 3 x x = − = 0,5 Nếu x=-1 thì thế vào phương trình (1) ta được m=-7 (thỏa mãn). ⇒ phương trình tiếp tuyến: y=-9x-7. Nếu x=3 thì m=25( thỏa mãn) ⇒ phương trình tiếp tuyến: y= -9x+25 Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến:y=-9x-7,y= -9x+25. 2 Goi M(x 0 ,f(x 0 ) ∈ (c ); f(x 0 )= 3 2 0 0 3 2x x− + − . Đường thẳng ∆ với hệ số góc k đi qua điểm M(x 0 ,f(x 0 ) có phương trình là: y= k(x-x 0 )+ f(x 0 ) 0,25 ∆ là tiếp tuyến của (c ) ⇔ hệ phương trình 3 2 0 0 2 3 2 ( ) ( ) 3 6 1 x x k x x f x x x − + − = − + − + = có nghiệm 0,25 ⇒ (x-x 0 )[-2x 2 +(x 0 +3)x+x 0 2 -3x 0 ]=0 ⇔ 0 2 2 0 0 0 ( ) 2 ( 3) 3 0 x x g x x x x x x = = − + + + − = ∆ = (x 0 +3) 2 +8(x 0 2 -3x 0 )=9x 0 2 -18x 0 +9=9(x 0 -1) 2 >0 Yêu cầu bài toán ⇔ g(x)=0 có nghiệm kép x=x 0 ⇔ 0 0 0 3 4 x x ∆ = − − = − ⇔ x 0 =1 ⇒ M(1;0) Vậy M(1;0) 0,5 IV 1 Xét phương trình: 4 3 2 2 2011 0x mx nx px− + + + + = (1) Xét hàm số: 4 3 2 ( ) 2 2011f x x mx nx px= − + + + + 4 3 2 lim ( ) lim ( 2 2011) x x f x x mx nx px →+∞ →+∞ = − + + + + = −∞ ⇒ ∃ b>0 sao cho f(b) <o 4 3 2 lim ( ) lim ( 2 2011) x x f x x mx nx px →−∞ →−∞ = − + + + + = −∞ ⇒ ∃ a<0 sao cho f(a) <o 0,5 f(0)=2011>0 Hàm số f(x) liên tục trên các đoạn [a;0] và [o;b]; ( ). (0) 0 (0). ( ) 0 f a f f f b < < ⇒ phương trình có ít nhất 1 nghiệm x 1 ∈ (a;0) và ít nhất 1 nghiệm x 2 ∈ (0;b). Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm. 0,5 2 2 2 1 1 1 3 2 2011( 1) 3 4 lim lim[ 2011] 1 ( 1)( 3 2) 1 4021 lim( 2011) 2 3 2 x x x x x x x x x x x → → → + − − − + − = − − − + + + = − = − + + V Tam giác ABD đều nên BE AD⊥ ; OF//BE OF AD⇒ ⊥ (1) ( )SO ABCD SO AD⊥ ⇒ ⊥ (2) 1,0 1 Từ (1) và (2) ( OF) ( ) ( OF)AD S SAD S⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 2 Kẻ OH SF ⊥ tại H ( )OH SAD⇒ ⊥ ( ;( ))d O SAD OH⇒ = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 64 9 3 OF 9 16 16 3 8 a a OH SO a a OH = + = + = ⇒ = O là trung điểm của AC nên 3 ( ;( )) 2 ( ;( )) 4 a d C SAD d O SAD= = 0,25 0,5 0.25 3 Gọi K là hình chiếu của C trên mp(SAD) ⇒ H là trung điểm của AK ( ) ( )mp mp BCK α ≡ ;BC//AD nên mp(BCK) cắt mp(SAD) theo giao tuyến song song với AD.Từ K kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD, SA tại M và N .Thiết diện tạo thành là hình thang BCMN 2 2 2 2 2 2 2 12 12 OF 16 4 3 . 4 a a SF SO SF SH SO SO SH SF SF SF = + = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ MN cắt SF tại trung điểm I ⇒ MN là đường trung bình của tam giác SAD 2 2 2 3 ( ) ( ) 9 2 4 2 2 16 td AD a MN a a a MN BC CK a S ⇒ = = + + ⇒ = = = . ĐỀ THI Môn Thi : Toán 11 Thời gian làm bài : 180 phút Câu I( 1 điểm): Giải phương trình (sin 2 sin 4)cos 2 0 2sin 3 x x x x − + − = + Câu II(2 điểm): 1/ Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6. được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau sao cho mỗi số đó chia hết cho 3. 2/ Tìm số nguyên dương n sao cho: 1 2 3 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2 3.2 (2 1).2 2 011 n n n n n n n C. nghiệm. 0,5 2 2 2 1 1 1 3 2 2 011( 1) 3 4 lim lim[ 2 011] 1 ( 1)( 3 2) 1 4021 lim( 2 011) 2 3 2 x x x x x x x x x x x → → → + − − − + − = − − − + + + = − = − + + V Tam giác ABD đều nên BE AD⊥ ; OF//BE