SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG… ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013-2014 Môn thi: Toán (Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1(4đ): cho n số : [ ] 1 2 3 4 , , , , 0;1 n a a a a a ∈ Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 (1 ) 4( ) n n a a a a a a a a a a+ + + + + + ≥ + + + + + Bài 2(4đ): Giải phương trình: 2012 2012 2014 2014 3 sin os 2(sin os ) os2 2 x c x x c x c x + = + + Bài 3(4đ): Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển (1 ) n x+ có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 7 15 Bài 4(4đ): Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) lấy điểm S khác H. Chứng minh rằng: a) ( )AC SHK⊥ . b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH). Bài 5(4đ): Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và · · · 0 ' ' 60B BA B BC ABC= = = . Chứng minh A’B’CD là hình vuông. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bài Nội dung Điểm Bài 1 (4đ) Xét tam thức 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) (1 ) ( ) n n f x x a a a a a x a a a a a= − + + + + + + + + + + + + Ta có 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 (1) 1 1 (1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) n n n n f a a a a a a a a a a f a a a a a a a a a a = − − − − − − − + + + + + + ⇒ = − + − + − + − + + − Mặt khác [ ] 1 2 3 4 , , , , 0;1 n a a a a a ∈ nên 1 1 2 2 3 3 ( 1) 0 ( 1) 0 ( 1) 0 (1) 0 ( 1) 0 n n a a a a a a f a a − ≤ − ≤ − ≤ ⇒ ≤ − ≤ Mà 2 2 2 2 2 1 2 3 4 (0) 0 (1). (0) 0 n f a a a a a f f= + + + + + ≥ ⇒ ≤ Do đó phương trình f(x)=0 có nghiệm trên [ ] 0;1 vậy 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 (1 ) 4( ) 0 (1 ) 4( ) n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∆ = + + + + + + − + + + + + ≥ ⇒ + + + + + + ≥ + + + + + 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 2 (4đ) 2012 2012 2014 2014 2012 2 2012 2 12 12 2012 2012 2012 20 3 sin os 2(sin os ) os2 2 3 os (2cos 1) sin (1 2sin ) os2 0 2 os2 0(1) 3 os2 ( os sin ) 0 3 2 os sin 0(2) 2 * os2 0 ( ) 4 2 3 * os sin 2 x c x x c x c x c x x x c x c x c x c x c x x c x x k k Z c x x x π π + = + + ⇔ − − − + = = ⇔ + − = ⇔ + − = = ⇔ = + ∈ + − 12 0x = Ta nhận thấy 2012 2012 2012 2012 os 0 3 * os sin 0 3 2 sin 0 2 c x x R c x x x R x x R ≥ ∀ ∈ ⇔ + − ∀ ∈ − ∀ ∈ f f Vậy pt(2) vô nghiệm Phương trình có nghiệm là: ( ) 4 2 x k k Z π π = + ∈ 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1 1 1 1 Bài 3 (4đ) 0 (1 ) n n k k n k x C x = + = ⇒ ∑ số hạng liên tiếp là 1 ; k k n n C C + ta có 1 7 1 7 1 7 22 15 3 2 15 15 7 k n k n C k k n k n k C n k + + + = ⇔ = ⇒ = + ⇔ = + + − Do ,n k ∈¥ đặt 1 7 k t + = khi đó 22 1n t= − đế n là số nguyên dương bé nhất thì t cũng phải là số nguyên dương bé nhất vì 0k ≥ nên 1 7 1 0 1 7 t t t− ≥ ⇒ ≥ ⇒ = (vì t là số nguyên dương bé nhất) vậy 22.1 1 21n = − = Bài 4: (4đ) I A D B C S H K a) Cm: ( )AC SHK⊥ Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD nên HK//BD mà (1)AC BD HK AC⊥ ⇒ ⊥ Mặt khác ( ) (2)SH ABCD SH AC⊥ ⇒ ⊥ từ (1);(2) ta có ( )AC SHK⊥ b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH) Ta có · · ( . . )CDK DAH c g c CKD DHA∆ = ∆ ⇒ = mà · · · · · 0 0 0 90 90 90 ( )HDA DHA CKD HDA KID CK DH I+ = ⇒ + = ⇒ = ∩ = hay CK DH ⊥ (1)mặt khác ( ) (2)SH ABCD SH CK⊥ ⇒ ⊥ từ (1); (2) ta có ( )CK SDH⊥ hay góc giữa CK và mặt phẳng (SDH) bằng 90 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 5: (4đ) A' D' B' C' B C D A Theo giả thiết ta có tứ giác A’B’CD là hình thoi 1 1 ' ( ' ) '. . . . . . 0 2 2 ' CB CD BB BC BA BB BA BC BA a a a a CB CD = − = − = − = ⇒ ⊥ uuuruuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur Hay A’B’CD là hình vuông 1 1 1 1 Lưu ý: Học sinh có cách làm khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa câu đó. . ĐỊNH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG… ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2 013 -2 014 Môn thi: Toán (Thời gian làm bài 18 0 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1( 4đ): cho n số : [ ] 1 2 3 4 , , , , 0 ;1 n a a. + 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 2 (4đ) 2 012 2 012 2 014 2 014 2 012 2 2 012 2 12 12 2 012 2 012 2 012 20 3 sin os 2(sin os ) os2 2 3 os (2cos 1) sin (1 2sin ) os2 0 2 os2 0 (1) 3 os2 ( os sin ) 0 3 2 os sin 0(2) 2 *. 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 (1) 1 1 (1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) n n n n f a a a a a a a a a a f a a a a a a a a a a = − − − − − − − + + + + + + ⇒ = − + − + − + − + + − Mặt khác [ ] 1 2 3