1 ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM 2015 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) Ngày thi: 20 tháng 01 năm 2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm ). Cho hàm số 42 21 y x mx m ( m là tham số, m ). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m = 1. b) Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32. Câu 2 (1,0 điểm ). Giải phương trình 2sinsin3 sin2 4cossin3 2cos2 2. x x x x x x Câu 3 (1,0 điểm ). Tính tích phân 2 2 3 1 ln( 1) x I dx x . Câu 4 (1,0 điểm ). Trong một bình đựng 8 quả cầu trắng, 7 quả cầu xanh và 9 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để 4 quả cầu lấy được gồm đủ cả ba màu. Câu 5 (1,0 điểm ). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 2 2 1 : 1 2 1 x y z d và mặt phẳng ():3 2 5 0 P x y z . Chứng minh rằng đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P ) và viết phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của d trên ( P ). Câu 6 (1,0 điểm ). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B . Các mặt bên ( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, I là trung điểm SC . Cho AB = 2 a , SA = BC = a , CD = 25 a . Gọi H là điểm thỏa mãn 1 5 AH AD . Tính theo a thể tích tứ diện IBCD , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BH và SC . Câu 7 (1,0 điểm ). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C ) có tâm (1;2) I , bán kính 17 và đường thẳng BC có phương trình 3 5 30 0 xy . Biết trực tâm H của tam giác thuộc đường thẳng :5 3 24 0 d x y . Chứng minh 2 AH IM , với M là trung điểm đoạn thẳng BC và tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . Câu 8 (1,0 điểm ). Giải phương trình 2 22 3 9 4 4 7,( ). x x x x x Câu 9 (1,0 điểm). Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2 12 abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 1 1 1 1 1 1 P abc . Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh :…… …………………….; Số báo danh:…………………… 1 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM 2015 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đáp án – thang đi ể m có 5 trang) Câu Đáp án Điểm 1 (2,0đ) a) (1,0 điểm) Khi m = 1 hàm số trở thành 42 2 y x x . TXĐ: D . Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 2 ' 4( 1) y xx . 0 '0 1 x y x . 0,25 - Các khoảng nghịch biến ( ;1) và (0;1) ; khoảng đồng biến (1;0) và (1; ) . - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại 1, 1 CT xy ; đạt cực đại tại 0, x y CĐ =0. - Giới hạn: lim lim xx yy . 0,25 - Bảng biến thiên: x -1 0 1 y ’ - 0 + 0 - 0 + y 0 -1 -1 0,25 Đồ thị: 0,25 b) (1,0 điểm) Ta có 32 ' 4 4 4( ) y x mx xx m . 2 0 '0 x y xm . Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi 0 m (*). 0,25 2 Các điểm cực trị của đồ thị là 22 (0; 1),( ; 1), ( ; 1) A m B m m m C m m m . Suy ra tọa độ trung điểm của BC là 2 (0; 1) M m m . 0,25 2 ,2 AM m BC m 2 1 . 2 ABC S AMBC m m . 0,25 Ta có phương trình 2 32 4 m m m (thỏa mãn điều kiện (*)). Vậy với m 4 thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng . 32 0,25 2 (1,0đ) Phương trình đã cho tương đương sinsin cossin sin cos x x x x x x 2 3 4 3 2 2 2 2 0 sin sin cos cos sin cos x x x x x x 2 3 2 2 2 0 (sin3 cos)(sin 2cos) 0 x x x x sin 2cos 0 (1) sin3 cos 0 (2) xx xx . 0,25 Ta thấy cos x 0 không là nghiệm của phương trình () 1 . cos x 0 , (1) tan 2 arctan2 ( ) x x k k . 0,25 4 2 sin3 sin( ) ,( ) 3 2 82 xk x x k k x . 0,25 Vậy phương trình có nghiệm 3 ; ; arctan2 , ( ) 4 8 2 k x k x x k k . 0,25 3 (1,0đ) Đặt 2 2 3 2 2 ln( 1) 1 1 1 2 x du dx ux x dv dx v x x . 0,25 2 22 2 2 2 2 2 2 1 11 1 1 1 .ln 1 ln5 ln2 2 8 2 11 xx I x dx dx x x x x x . 0,25 Đặt 2 1 22 1 . 1 x I dx xx Đặt 2 1 2 t x xdx dt . 1 1; 2 4 x t x t . 4 44 1 11 1 1 1 1 1 1 1 8 ln ln 2 1 2 1 2 1 2 5 dt t I dt tt t t t . 0,25 Suy ra 1 1 1 8 1 1 16 1 1 1 ln5 ln2 ln ln5 ln ln16 ln5 ln5 8 2 2 5 8 2 5 2 2 8 I 5 2ln2 ln5. 8 I 0,25 4 (1,0đ) Số phần tử của không gian mẫu là 4 24 () 10626. nC 0,25 Gọi A là biến cố “4 quả cầu lấy được có đủ ba màu”. Ta xét 3 trường hợp: - Lấy được 2 quả cầu trắng, 1 quả cầu xanh, 1 quả cầu đỏ : 0,25 3 2 1 1 8 7 9 . . 1764 CCC (cách). - Lấy được 1 quả cầu trắng, 2 quả cầu xanh, 1 quả cầu đỏ: 1 2 1 8 7 9 . . 1512 CCC (cách). - Lấy được 1 quả cầu trắng, 1 quả cầu xanh, 2 quả cầu đỏ: 1 1 2 8 7 9 . . 2016 CCC (cách). 17641512 2016 5292. nA 0,25 5292 126 0,5 10626 253 PA . 0,25 5 (1,0đ) Đường thẳng d đi qua (2;2;1) A có vectơ chỉ phương (1;2;1) u . Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến (3;2;1) n . 0,25 Có 0 nu và () AP suy ra //(P) d . 0,25 Phương trình đường thẳng a đi qua (; ;) A 2 21 vuông góc với ( P ) có dạng 2 2 1 3 2 1 x y z . Tọa độ giao điểm A ’ của a và ( P ) là nghiệm hệ: 2( 2) 3( 2) 1 2 2( 1) 0 ' 1;0;2. 3 2 5 0 2 x y x y z y A x y z z 0,25 Hình chiếu của d trên ( P ) là đường thẳng đi qua A ’ song song với d có phương trình là 12 1 2 1 x y z . 0,25 6 (1,0đ) Do (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy nên () SA ABCD . 1 ,, 2 dI BCD dS ABCD 1 22 a SA . Gọi điểm D NA sao cho D BCN là hình bình hành. Suy ra . BC DN a DC BN a 25 Xét tam giác vuông ABN có 2 2 2 2 16 AN BN AB a 45 AN a AD a . 0,25 2 2 2 11 ( 5)2 6 , 5.2 5 22 ABCD ABD BCD ABCD ABD S a a a a S aa a S S S a 3 2 1 3 2 6 IBCD aa Va (đvtt). 0,25 Trong mặt phẳng (ABCD) , kẻ CE // BH ( E thuộc AD ) ta có 1 ( , ) ( ,( )) ( ,( )) (,( )) 2 dBHSC dBH SCE dH SCE dASCE Kẻ AF CE tại F, AF cắt BH tại K . Kẻ AJ vuông góc với SF tại J suy ra 0,25 4 (,( )) dASCE AJ . Có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 4 4 55 aa AK AF AK AH AB a a 2 2 2 2 2 1 1 1 1 5 4 16 21 a AJ AJ AS AF a a Vậy 12 ( , ) (,( )) 2 21 a dBHSC dASCE . 0,25 7 (1,0đ) Kẻ đường kính AA ’ của đường tròn ( I ) suy ra IM là đường trung bình của tam giác AA’H nên 2 AH IM . Mặt khác , AHIM cùng hướng suy ra 2 AH IM 0,25 Tọa độ B, C là nghiệm hệ 22 ( 1) ( 2) 17 3 5 30 0 xy xy Suy ra B (0; -6), C (5; -3) (hoặc C (0; -6), B (5; -3)). 0,25 Trung điểm M của BC có tọa độ 59 ; 22 M . Trực tâm H của tam giác thuộc đường tròn ( C ’) là ảnh của ( C ) qua phép tịnh tiến 2 IM T , với vectơ tịnh tiến có tọa độ 2 (3;5) IM . Từ biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến suy ra phương trình đường tròn ( C ’) có tâm ; I 47 22 ':( 4) ( 7) 17 C x y . 0,25 Vậy H là giao điểm của đường tròn ( C ’) và đường thẳng có phương trình 5 3 24 0 xy nên ta có 2 điểm H thỏa mãn là H (3; -3) hoặc H (0;-8). Suy ra 0;2 A hoặc 3;3 A . 0,25 8 (1,0đ) Điều kiện: 39 . 24 x 0,25 Phương trình đã cho tương đương với 2 22 3 2 2 9 4 2 5 4 4 x x x x x x 22 2 ( 2) 4( 2) 2. ( 2) 2 3 1 9 4 5 2 xx x x x x x (Mẫu khác 0 39 ; 24 x ). 0,25 2 ( 2) 0 2 24 1 0 (*) 2 3 1 9 4 5 2 xx x x x x 0,25 Ta thấy 2 3 1 0 39 , ; . 24 9 4 5 2 0 xx x xx phương trình (*) vô nghiệm. Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 2. 0,25 5 9 (1,0đ) Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các cặp số dương ta có 22 32 1 1 2 1 (1 )(1 ) 22 a a a a a a a a Dấu “=” xảy ra 2 0 1 1 . 2 a a a a a Loại 0 a vì a dương. 0,25 2 32 2 1 (1 )(1 ) 2 b b b b b (Dấu “=” xảy ra khi b = 2) 2 32 2 1 (1 )(1 ) 2 c c c c c (Dấu “=” xảy ra khi c = 2) Suy ra 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 P abc 0,25 2 2 2 9 2. (2 ) (2 ) (2 ) P abc (Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2) 0,25 Suy ra 1 P . Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2. Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1. 0,25 (Chú ý. Nếu học sinh có cách giải khác mà kết quả đúng vẫn tính điểm tối đa.) Hết . ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM 2015 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) Ngày thi: 20 tháng 01 năm 2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. thêm. Họ và tên thí sinh :…… …………………….; Số báo danh:…………………… 1 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM 2015 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đáp án – thang đi ể m. (2,0 điểm ). Cho hàm số 42 21 y x mx m ( m là tham số, m ). a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m = 1. b) Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị