PHềNG GD&T H HềA s 1 đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2012-2013 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t ( vi h s l cỏc s nguyờn): x 2 + 2xy + 7x + 7y + y 2 + 10 b) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 5 7 15A a a a a= + + + + + Câu 2. a) Giải phơng trình sau: 6 x 1 x 3 x 1 . 3 2 2 4 x 3 2 2 + ữ = b) Tìm x; y biết: x 2 - y 2 + 2x - 4y-10 =0 với x,y nguyên dơng. Câu 3: Cho abc = 2 Rỳt gn biu thc: 22 2 12 ++ + ++ + ++ = cac c bbc b aab a A Câu 4: a) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 1 22 +++= yxxyyxM b) Bit xy = 11 v x 2 y + xy 2 + x + y = 2010. Hóy tớnh x 2 + y 2 Câu 5: Cho tam giỏc ABC cõn ti A. Trờn BC ly M bt kỡ sao cho BM < CM. T N v ng thng song song vi AC ct AB ti E v song song vi AB ct AC ti F. Gi N l im i xng ca M qua E F. a) Tớnh chu vi t giỏc AEMF. Bit : AB =7cm b) Chng minh : AFEN l hỡnh thang cõn c) Tớnh : ANB + ACB = ? d) M v trớ no t giỏc AEMF l hỡnh thoi v cn thờm iu kin ca ABC cho AEMF l hỡnh vuụng. 1 đề chính thức PHỊNG GD&ĐT HẠ HỊA Đề số 2 ®Ị thi chän häc sinh giái n¨m häc 2012-2013 M«n To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư: a) (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 . b) x 5 + x +1 c) x 4 + 4 d) x x - 3x + 4 x -2 với x > 0 C©u 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: a) 4 1004 1x 1986 21x 1990 17x = + + − + − b) 4 x – 12.2 x + 32 = 0 c) 1 a b x+ − = 1 a + 1 b + 1 x (x l à ẩn số) C©u 3: a) T×m sè d trong phÐp chia cđa biĨu thøc ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 6 8 2008x x x x + + + + + cho ®a thøc 2 10 21x x + + . b) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = 4 3 3x x ax b− + + chia hết cho đa thøc 2 ( ) 3 4B x x x= − + C©u 4: a)Cho 1 x y z a b c + + = v à 0 a b c x y z + + = . Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = . b) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ biĨu thøc : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã . C©u 5: Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh ∆ EDF vng cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. 2 ®Ị chÝnh thøc PHỊNG GD&ĐT HẠ HỊA Đề số 3 ®Ị thi chän häc sinh giái n¨m häc 2012-2013 M«n To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi 120 phót Bµi 1: (3 ®iĨm) Cho biĨu thøc + + − − += 3 1 327 : 3 3 3 1 2 2 2 x x x xx A a) Rót gän A. b) T×m x ®Ĩ A < -1. c) Víi gi¸ trÞ nµo cđa x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2: (4 ®iĨm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: y y y yy 31 2 19 6 3103 1 22 − + − = +− b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A= x xx )9)(16( ++ Bµi 3: (3 ®iĨm) Mét xe ®¹p, mét xe m¸y vµ mét « t« cïng ®i tõ A ®Õn B. Khëi hµnh lÇn lỵt lóc 5 giê, 6 giê, 7 giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ 55 km/h. Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Ịu xe ®¹p vµ xe m¸y. Bµi 4: (4 ®iĨm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: )2()()( cbabccaacbaab +−++−− b) tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = 4 3 3x x ax b− + + chia hết cho đa thức 2 ( ) 3 4B x x x= − + B i 5à : (6®iĨm) 1) Cho ®o¹n th¼ng AB, M lµ ®iĨm n»m gi÷a A vµ B. Trªn cïng nưa mỈt ph¼ng bê AB kỴ c¸c h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB. Gäi K lµ giao ®iĨm cđa CP vµ NB. CMR: a) KC = KP b) A, D, K th¼ng hµng. c) Khi M di chun gi÷a A vµ B th× kho¶ng c¸ch tõ K ®Õn AB kh«ng ®ỉi. 2) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, ba ®êng cao AA”, BB’, CC’ ®ång quy t¹i H. CMR: ' ' ' ' ' ' CC HC BB HB AA HA ++ b»ng mét h»ng sè. 3 ®Ị chÝnh thøc PHềNG GD&T H HềA s 4 đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2012-2013 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Bi 1: (4) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 2 2 2 3( ) 5 x y x y y x y x + + + (với x, y khác 0) b) Tỡm giỏ tr nguyờn ca x A M B bit A = 10x 2 7x 5 v B = 2x 3 . c) Cho x + y = 1 v x y 0 . Chng minh rng ( ) 3 3 2 2 2 0 1 1 3 x y x y y x x y + = + d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2 4 2 1x x x + Bi 2: (2) Gii cỏc phng trỡnh sau: a) (x 2 + x) 2 + 4(x 2 + x) = 12 b) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8( ) 4( ) 4( )( ) ( 4)x x x x x x x x x + + + + + = + Bi 3: (2) Cho hỡnh vuụng ABCD; Trờn tia i tia BA ly E, trờn tia i tia CB ly F sao cho AE = CF a) Chng minh EDF vuụng cõn b) Gi O l giao im ca 2 ng chộo AC v BD. Gi I l trung im EF. Chng minh O, C, I thng hng. Bi 4: (2)Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A. Cỏc im D, E theo th t di chuyn trờn AB, AC sao cho BD = AE. Xỏc nhv trớ im D, E sao cho: a/ DE cú di nh nht b/ T giỏc BDEC cú din tớch nh nht. 4 đề chính thức PHềNG GD&T H HềA s 5 đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2012-2013 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút B i 1. Cho biểu thức: 2 3 2 3 1 a 1 4a 2b 2 A : 2a b a 2a b 2a a b a b ab + = ữ ữ + + + a. Rút gọn A b. Tính giá trị của A biết 4a 2 + b 2 = 5ab và a > b > 0 B i 2 a) Cho a + b = 1. Tính giá trị biểu thức: M = 2(a 3 + b 3 ) 3(a 2 + b 2 ) b) Tỡm x,y,z tha món phng trỡnh sau : 9x 2 + y 2 + 2z 2 18x + 4z - 6y + 20 = 0. c) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : A = 3 + + + + + cba c bca b acb a Bi 3 Cho tam giỏc ABC, ba ng phõn giỏc AN, BM, CP ct nhau ti O. Ba cnh AB, BC, CA t l vi 4,7,5 a) Tớnh NC bit BC = 18 cm b) Tớnh AC bit MC - MA = 3cm c) Chng minh 1 = MA CM NC BN PB AP Cõu 4 ( 3,5 im): Cho hỡnh vuụng ABCD. Qua A k hai ng thng vuụng gúc vi nhau ln lt ct BC tai P v R, ct CD ti Q v S. 1, Chng minh AQR v APS l cỏc tam giỏc cõn. 2, QR ct PS ti H; M, N l trung im ca QR v PS . Chng minh t giỏc AMHN l hỡnh ch nht. 3, Chng minh P l trc tõm SQR. 4, MN l trung trc ca AC. 5, Chng minh bn im M, B, N, D thng hng. 5 đề chính thức PHềNG GD&T H HềA s 6 đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2012-2013 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Bi 1: ( 6 im ) a) Chng minh ng thc: x 2 +y 2 +1 x.y + x + y ( vi mi x ;y) b)Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc sau: A = 2 2 23 xxx x Bi 2. (8) Cho hỡnh vuụng ABCD . Gi E l 1 im trờn cnh BC . Qua E k tia Ax vuụng gúc vi AE . Ax ct CD ti F . Trung tuyn AI ca tam giỏc AEF ct CD K . ng thng qua E song song vi AB ct AI G . Chng minh : a) AE = AF v t giỏc EGKF l hỡnh thoi . b) AEF ~ CAF v AF 2 = FK.FC c) Khi E thay i trờn BC chng minh : EK = BE + DK v chu vi tam giỏc EKC khụng i . Bi 3 (3im): Tỡm d ca phộp chia a thc x 99 + x 55 +x 11 +x+ 7 cho x 2 -1 Bi 4( 3im) Trong hai s sau õy s no ln hn: a = 19711969 + ; b = 19702 PHềNG GD&T H HềA đề thi chọn học sinh giỏi 6 đề chính thức s 7 năm học 2012-2013 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Bi 1: ( 6 im ) a, Chng minh rng ( ) ( ) 3 3 333 .3 zyxxyyxzyx +++=++ b, Cho .0 111 =++ zyx Tớnh 222 z xy y xz x yz A ++= Bi 2 : (8). Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đờng chéo AC của hình chữ nhật ABCD; M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD. a) Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC. Chứng minh: 1 MO IC 2 = b) Tính số đo góc BMK? c) Gọi P và Q lần lợt là 2 điểm thuộc đoạn BM và BC. Hãy xác định vị trí của P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất? Bi 3 (3im): Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: 2 2 1 2 x M x + = + Bi 4( 3im) Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh sau: yx 2 +yx +y =1. PHềNG GD&T H HềA đề thi chọn học sinh giỏi 7 đề chính thức s 8 năm học 2012-2013 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Bi 1: ( 6 im ) a)Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc A = 9 1227 2 + x x b) Cho B = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 b c - a c a - b a b - c + + + + + Rỳt gn biu thc B, bit a + b + c = 0. Bi 2 : (6 im). Cho Tam giỏc ABC vuụng cõn A. im M trờn cnh BC. T M k ME vuụng gúc vi AB, k MF vuụng gúc vi AC ( E AB ; F AC ) a. Chng minh: FC .BA + CA . B E = AB 2 v chu vi t giỏc MEAF khụng ph thuc vo v trớ ca M. b. Tỡm v trớ ca M din tớch t giỏc MEAF ln nht. c. Chng t ng thng i qua M vuụng gúc vi EF luụn i qua mt im c nh Bi 3 (5 im): a) Cho a 4; ab 12. Chng minh rng C = a + b 7 b) Chng minh rng s: a = + 1 1 1 1 , n Z 1.2 2.3 3.4 n.(n+1) + + + + khụng phi l mt s nguyờn. B i 4( 3im) . Cho hai bt phng trỡnh: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x < 0 (2) Tỡm m hai bt phng trỡnh trờn cú cựng mt tp nghim PHềNG GD&T H HềA s 9 đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2012-2013 8 đề chính thức đề chính thức Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Bi 1: ( 5 im ) a) Cho a, b > 0 v a+b = 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc M = (1+ 1 a ) 2 + (1+ 1 b ) 2 b) Cho cỏc s a; b; c tho món : a + b + c = 3 2 . Chng minh rng : a 2 + b 2 + c 2 3 4 . Bi 2 : (8). Cho hỡnh ch nht ABCD . Trờn ng chộo BD ly im P , gi M l im i xng ca C qua P. Gi O l giao im ca AC v BD. a) T giỏc AMDB l hỡnh gi? b). Gi E, F ln lt l hỡnh chiu ca im M trờn AD, AB. Chng minh: EF // AC v ba im E,F,P thng hng. c) Chng minh rng t s cỏc cnh ca hỡnh ch nht MEAF khụng ph thuc vo v trớ ca im P. d) Giả sử CP BD và CP = 2,4 cm, 9 16 PD PB = . Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD. Bi 3 (4im): Gii phng trỡnh: 1) (x+1) 4 + (x+3) 4 = 16 2) 1001 1003 1005 1007 4 1006 1004 1002 1000 x x x x + + + = Bi 4( 3 im). a. Phõn tớch a thc thnh nhõn t: A = x 4 14x 3 + 71x 2 154x +120 b. Chng t a thc A chia ht cho 24 PHềNG GD&T H HềA s 10 đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2012-2013 9 đề chính thức M«n To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi 120 phót Bài 1: ( 4 điểm ). Chứng minh rằng: a) 8 5 + 2 11 chia hết cho 17 b) 19 19 + 69 19 chia hết cho 44 Bài 2 : (6 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF. 1.Chứng minh CE vuông góc với DF. 2.Chứng minh ∆ MAD cân. 3.Tính diện tích ∆ MDC theo a Bài 3 (5 điểm): a) Rút gọn biểu thức: 2 3 2 6 4 18 9 x x x x x + − − − + b) Cho 1 1 1 0( , , 0)x y z x y z + + = ≠ . Tính 2 2 2 yz xz xy x y z + + Bài 4 (5 điểm). a) Cho hai số x, y thoã mãn điều kiện 3x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3x 2 + y 2 b) Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1 Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 ≥ Một số đáp án 10 [...]... EF luôn đi qua một điểm N cố định ( 1 điểm ) a) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17 b) (1,5đ) áp dụng hằng đẳng thức: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) với mọi n lẽ Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(19 18 – 1917.69 +…+ 69 18) = 88 (19 18 – 1917.69 + …+ 69 18) chia hết cho 44 1 1 1 1 1 1 + + = 0 ⇒ = − + ÷ x y z z x... Tương tự (b + 1)2 ≥ 4b (2)………………0,25đ (c + 1)2 ≥ 4c (3) …………0,25đ Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có: (b + 1)2(a + 1)2(c + 1)2 ≥ 64abc (vì abc = 1) ((b + 1)(a + 1)(c + 1))2 ≥ 64 (b + 1)(a + 1)(c + 1) ≥ 8 0,25đ Bài IV: y x2 + y x + y = 1 (1) Nếu phương trình có nghiệm thì x ,y > 0 (1) y(x2 + x +1) = 1 ⇒ ⇒ y = 1 ,x= 0 y= 1 x2 + x +1 =1 11 Vậy nghiệm của phương trình trên là (x,y) = (0 ,1) (1đ) Bài 1:(2 . trờn cú cựng mt tp nghim PHềNG GD&T H HềA s 9 đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2012-2013 8 đề chính thức đề chính thức Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Bi 1: ( 5 im ) a) Cho. phng trỡnh sau: yx 2 +yx +y =1. PHềNG GD&T H HềA đề thi chọn học sinh giỏi 7 đề chính thức s 8 năm học 2012-2013 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Bi 1: ( 6 im ) a)Tỡm giỏ tr. ln hn: a = 19711969 + ; b = 19702 PHềNG GD&T H HềA đề thi chọn học sinh giỏi 6 đề chính thức s 7 năm học 2012-2013 Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Bi 1: ( 6 im ) a, Chng minh