Trang 1 Cõu 1: Thit lp cụng thc tớnh vn tc gia tc, gia tc trong ta cc v ta tr. 1. Ta cc: - Phng trỡnh chuyn ng: ( ) () rrt t jj = ỡ ớ = ợ Vi cos sin xr yr j j = ỡ ớ = ợ ( 0 OM r Ê=<+Ơ v 02 jp ÊÊ ) - Chn 1 qr = , 1 qr = gg , 1 r ee = urur , 1 r hh = 2 q j = , 2 q j = gg , 1 ee j = uruur , 2 hh j = - Ta cú: 222 22 1 cossin1 r xyz hh rrr jj ảảả ổửổửổử ==++=+= ỗữỗữỗữ ảảả ốứốứốứ ()() 222 22 2 sincos xyz hhrrr j jj jjj ổửổửổử ảảả ==++=-+= ỗữỗữỗữ ảảả ốứốứốứ - Vn tc: 2 1 iiirr i vhqehrehe jj j = ==+ ồ ggg rururuur Suy ra: r vrere j j =+ gg ruruur . Hay: 2222 vrr j =+ gg - Gia tc: 2 1122 1 iirr i aaeaeaeaeae jj = ==+=+ ồ rururuururuur + 22 22 1d1d 22 2dt2dt r r vv arrrr hr r jj ộự ổử ộựảả ổử ờỳ=-=-=- ỗữ ỗữ ờỳ ỗữ ả ốứ ờỳ ởỷ ả ốứ ởỷ gg ggg g + 22 22 1d1d1d 202 2dt2dtdt vv arrrr hrr j j jjjj j j ộự ổử ảả ộự ổửổử ờỳ ỗữ =-=-==- ỗữỗữ ờỳ ờỳ ả ỗữ ốứốứ ởỷ ả ốứ ởỷ gggggg g 2. Ta tr: - Phng trỡnh chuyn ng: ( ) () () rrt t zzt jj = ỡ ù = ớ ù = ợ Vi cos sin xr yr zz j j = ỡ ù = ớ ù = ợ ( 0 OM r Ê=<+Ơ , 02 jp ÊÊ v z -ƠÊ<+Ơ ) - Chn 1 qr = , 1 qr = gg , 1 r ee = urur , 1 r hh = 2 q j = , 2 q j = gg , 1 ee j = uruur , 2 hh j = 3 qz = , 3 qz = gg , 3 ek = urr , 3 z hh = Trang 2 - Ta cú: 222 222 1 cossin01 r xyz hh rrr jj ảảả ổửổửổử ==++=++= ỗữỗữỗữ ảảả ốứốứốứ ()() 222 22 2 2 sincos0 xyz hhrrr j jj jjj ổửổửổử ảảả ==++=-++= ỗữỗữỗữ ảảả ốứốứốứ 222 222 3 0011 z xyz hh jjj ổửổửổử ảảả ==++=++= ỗữỗữỗữ ảảả ốứốứốứ - Vn tc: 3 1 iiirrz i vhqehrehehzk jj j = ==++ ồ gggg rururuurr Suy ra: r vrerezk j j =++ ggg ruruurr . Hay: 22222 vrrz j =++ ggg - Gia tc: 3 1 iirrz i aaeaeaeak jj = ==++ ồ rururuurr + 22 22 1d1d 22 2dt2dt r r vv arrrr hr r jj ộự ổử ộựảả ổử ờỳ=-=-=- ỗữ ỗữ ờỳ ỗữ ả ốứ ờỳ ởỷ ả ốứ ởỷ gg ggg g + 22 22 1d1d1d 202 2dt2dtdt vv arrrr hrr j j jjjj j j ộự ổử ảả ộự ổửổử ờỳ ỗữ =-=-==- ỗữỗữ ờỳ ờỳ ả ỗữ ốứốứ ởỷ ả ốứ ởỷ gggggg g + z az = gg Trang 3 Câu 2: Định lý cộng vận tốc, gia tốc. 1. Định lý cộng vận tốc: + Ta có hệ quả: O O rrr vvr ¢ ¢ ì ¢ =+ ï í ï ¢ =+ î g ruurur ruurur + () dd dtdt rrxiyjzkvxiyjzk ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢ ==++=+++ gggg ururrurururrurur + Ta có: () 2 1213 12.0 iiiiiiOyzijk aa ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢ =Û=Þ^ÞÎÞ=+ gggg rrrrrrrurur Tương tự: 2123 jik aa ¢¢¢ =+ g urrur , 3132 kij aa ¢¢¢ =+ g urrur + Ta có: 1221 .0.0. z ijijijijij aaw ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢ =Þ+=Û=-Þ=-= gggg rurrurrurrurrur Tương tự: 2332 x aaw =-= và 3113 y aaw =-= + Gọi xyz ijk wwww ¢¢¢ =++ urrurur Ta có: () 13121312yz ijikikjkji wwwaaaa éùéùéù ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢ Ù=Ù+Ù= +=+= ëûëûëû g urrurrurrururururr Tương tự: jj w éù ¢¢ =Ù ëû g ururur và kk w éù ¢¢ =Ù ëû g ururur + Ta có: rvxiyjzkrr wwww éùéùéùéù ¢¢¢¢¢¢¢¢¢ =+Ù+Ù+Ù=+Ù ëûëûëûëû g rururrururururururur Vậy: O vvrv w ¢ éù ¢¢ =+Ù+ ëû ruurururur Trong đó: v r là vận tốc tuyệt đối, O vr w ¢ éù ¢ +Ù ëû uururur là vận tốc kéo theo, v ¢ ur là vận tốc tương đối. 2. Định lý cộng gia tốc: + Ta có: () dd dtdt OO v avrvarrv www ¢¢ éùéù éù ¢¢¢¢¢ ==+Ù+=+Ù+Ù+ êúêú ëû ëûëû ggg r ruururururuurururururur + Trong đó: () rvrvr wwwwww éù éù éù éùéùéù ¢¢¢¢¢ Ù=Ù+Ù=Ù+ÙÙ êú ëûëûëû ëû ëû ëû g ururururururururururur Trang 4 dd dtdt v vxiyjzkaxiyjzkaxiyjzk vav w w  ổửổử  ==++=+++=+++ ỗữỗữ ốứốứ ộự  ị=+ ởỷ gggg ggggggggg g ur urrurururrururururrurur urururur Vy: 2 O aarrva wwww  ộự ộự ộựộự  =++++ ờỳ ởỷởỷ ởỷ ởỷ g ruururururururururur Trong ú: a r l gia tc tuyt i, O arr www  ộự ộự ộự  ++ ờỳ ởỷ ởỷ ởỷ g uurururururur l gia tc kộo theo, 2 v w ộự  ởỷ urur l gia tc Criolit, r ww ộự ộự  ởỷ ởỷ ururur l gia tc hng tõm; a  ur l gia tc tng i. Trang 5 Cõu 3: di o, lc suy rng qua phộp bin phõn, phỏt biu nguyờn lý Hamilton, thnh lp phng trỡnh Lagrange loi II. 1. di o qua phộp bin phõn ca ta suy rng: Gi s h cú s bc t do, gi i q vi 1, , is = l ta suy rng ca h nu tha: ( ) () () 12 12 12 ,, , ,, , ,, , i i i xxqqq yyqqq zzqqq =ỡ ù = ớ ù = ợ i q cng tha phng trỡnh liờn kt hay ( ) ,t i qq a = . + Bin phõn ca ta suy rng, nh ngha: ()()() ,t,t,t i iii q qqq daadaada a ả =+-= ả + di o cú th biu din qua bin phõn ca ta suy rng: () () 1 ,t,t s ii i i r rrqq q dadd = ả == ả ồ r rr () 1 1 1 d,td ddt =ddt tt s isi i si rrrrr rqqqq qqq = ảảảảả ị=++++ ảảảảả ồ rrrrr r 2. Lc suy rng: Lc tỏc dng lờn h: 1 N k k F = ồ uur ( k F uur : hot lc hay lc thụng thng khụng k phn lc liờn kt k R uur ). Cụng o h thc hin tng ng vi di o k r d ur : 11 NN kkk kk AAFr ddd == == ồồ uurur M () 1 ,t s k kii i i r rqq q dd = ả = ả ồ ur ur 1111 NssN kk kiki kiik ii rr AFqFq qq ddd ==== ổử ảả == ỗữ ảả ốứ ồồồồ urur uuruur t 1 N k ik k i r QF q = ả = ả ồ ur uur l lc suy rng i Q tựy ý vi ta suy rng i q . 3. Nguyờn lý Hamilton (nguyờn lý tỏc dng ti thiu): + Chuyn ng thc ca c h c biu din bi mt hm Lagrange nh sau: () ,,t,,t,t iiiii LqqTqqUq ổửổử =- ỗữỗữ ốứốứ gg Trang 6 + .dt L : tỏc dng nguyờn t + 2 1 t t .dt SL = ũ : tỏc dng trong khong thi gian t 1 t n 2 t . + Bin phõn ca tỏc dng S : () 2 1 t t ,t.dt S SSL dadadd a ả =ị= ả ũ . + Nguyờn lý Hamilton: Chuyn ng thc ca c h trong khong thi gian t t 1 n t 2 ch xy ra sao cho tỏc dng S t cc tr hay bin phõn ca tỏc dng S bng 0. 0 S a ả = ả hay 2 1 t t .dt0 SL dd == ũ 4. Phng trỡnh Lagrange loi II: Xột c h s bc t do, ( ) 1, , i qis = l ta suy rng. Cỏc ( ) ( ) 12 tt0 ii qq dd == . Gi L l hm Lagrange ca c h. Bin phõn tỏc dng S : 22 11 tt 1 tt ,,tdt s iiii i i i LL SLqqqq q q dddd = ộự ổử ảả ổử ờỳ ỗữ ==+ ỗữ ờỳ ỗữ ả ốứ ả ốứ ởỷ ồ ũũ gg g M d dt i i q q d d = g Ta cú: 222 111 ttt 111 ttt d dt = dt = dd dt sss iiii iii i iii LLLL qqqq q qqq dddd === ổửổửổử ổử ảảảả ỗữỗữỗữ - ỗữ ỗữỗữỗữ ả ốứ ảảả ốứốứốứ ồồồ ũũũ g ggg 22 2 1 11 tt t t 111 tt dd dt dt dtdt sss iii iii iii LLL qqq qqq ddd === ổửổử ảảả ỗữỗữ =-=- ỗữỗữ ảảả ốứốứ ồồồ ũũ ggg Suy ra: 2 1 t 1 t d dt dt s i i i i LL Sq q q dd = ộự ổử ảả ờỳ ỗữ =- ờỳ ỗữ ả ả ốứ ởỷ ồ ũ g Theo nguyờn lý Hamilton: 00 i i dLL S dtq q d ổử ảả ỗữ =ị-= ỗữ ả ả ốứ g (phng trỡnh Lagrange) Trang 7 v Ta có: () ()() ,,t,,t,t0 iiiii i i d LqqTqqUqTUTU dtq q ¶¶ æöæö =-Þ = ç÷ç÷ ¶ èøèø ¶ gg g dd dtdt i iii ii TTUTT Q qqq qq ¶¶¶¶¶ Þ-=-Þ-= ¶¶¶ ¶¶ gg (dạng khác của phương trình Lagrange). Trang 8 Cõu 4: Thnh lp phng trỡnh chớnh tc (phng trỡnh Hamilton). Chng minh rng: Khi liờn kt dng thỡ hm trựng c nng h. 1. Thnh lp phng trỡnh Hamilton: Xột hm Hamilton sau: ()() 11 ,,t,,t,,t ss iiiiiiiiii ii HqpqpLqqLqpHqp == ổử =-ị=- ỗữ ốứ ồồ ggg Ta cú: () 222 111 ttt 11 ttt .dtdtdt ss iiiiii ii ii HH SLpqpqqp qp dddddd == ộự ảảộự ổử ==+-+ ỗữ ờỳ ờỳ ảả ốứ ởỷ ởỷ ồồ ũũũ gg M d dt ii qq dd = g ()() 2222 2 1 1111 tttt t t 1111 tttt dtddddt ssss iiiiiiiiiiii iiii pqpqpqpqpqpq dddddd ==== ổử ị==-=- ỗữ ốứ ồồồồ ũũũũ gg Vy: 2 1 t 1 t dt s iiii i ii HH Spqqp pq ddd = ộự ổửổử ảả = + ờỳ ỗữỗữ ảả ốứốứ ởỷ ồ ũ gg Theo nguyờn lý Hamilton thỡ 0 S d = i i i i H q p H p q ả ỡ = ù ả ù ị ớ ả ù =- ù ả ợ g g (h phng trỡnh vi phõn ny gi l phng trỡnh Hamilton) Gii ra suy ra c ( ) i qt v ( ) i pt . 2. Chng minh rng: Khi liờn kt dng thỡ hm trựng c nng h: Khi liờn kt ca h l liờn kt dng, ta cú k r ur khụng ph thuc tng minh vo t hay 0 t k rả = ả ur r Hm Hamilton: () 11 ,,t,,t ss iiiiiii ii i T HqpqpLqqqTU q == ổử ả ổử ỗữ =-=-+ ỗữ ỗữ ốứ ả ốứ ồồ ggg g + ng nng ca h: 2 1 1 2 N kk k Tmr = = ồ g ur vi () 1 ,t t s kk kii i i rr rqq q = ảả =+ ảả ồ g g urur ur Trang 9 2 1111,1 2 ,11 11 22 1 2 NssNs kkkkk kijkij kijkij ijij sN k kij ijk ij rrrrr Tmqqmqq qtqtqq r mqq qq ===== == ổửổử ổử ảảảảả =++= ỗữỗữ ỗữ ỗữỗữ ảảảảảả ốứ ốứốứ ổử ả = ỗữ ỗữ ảả ốứ ồồồồồ ồồ gggg gg ururururur ur t 2 1,1 1 2 Ns k ijkijij kij ij r amTaqq qq == ả =ị= ả ồồ gg ur + Ta cú: 1 s l l l T HqTU q = ổử ả ỗữ =-+ ỗữ ả ốứ ồ g g 11,1,1 11 22 ssss j i lijjijil llijij lll q q T qaqaqq qqq ==== ộự ổử ổửổử ả ả ả ờỳ ỗữ ỗữỗữ =+ ờỳ ỗữ ỗữỗữ ỗữ ảảả ốứốứ ờỳ ốứ ởỷ ồồồồ g g gggg ggg Vi d = ỡ = ớ ạ ợ 1 nếu 0 nếu il ie il === ổử ả ỗữ ị=+= ỗữ ả ốứ ồồồ ggggg g 1,1,1 11 22 sss lijijijij lijij l T qaqqaqqT q ị=-+=+= 2 HTTUTUE (c nng h) Vy khi liờn kt dng, hm Hamilton chớnh l c nng ca h. Ht Lee Ein (K36.102.012) HCMUP 01.229.429.829 . 22 22 1d1d1d 202 2dt2dtdt vv arrrr hrr j j jjjj j j ộự ổử ảả ộự ổửổử ờỳ ỗữ =-=-==- ỗữỗữ ờỳ ờỳ ả ỗữ ốứốứ ởỷ ả ốứ ởỷ gggggg g + z az = gg Trang 3 Câu 2: Định lý cộng vận tốc, gia tốc. 1. Định lý cộng vận tốc: + Ta có hệ quả: O O rrr vvr ¢ ¢ ì ¢ =+ ï í ï ¢ =+ î g ruurur ruurur . 1 N k ik k i r QF q = ả = ả ồ ur uur l lc suy rng i Q tựy ý vi ta suy rng i q . 3. Nguyờn lý Hamilton (nguyờn lý tỏc dng ti thiu): + Chuyn ng thc ca c h c biu din bi mt hm Lagrange nh sau: () ,,t,,t,t iiiii LqqTqqUq ổửổử =- ỗữỗữ ốứốứ gg . a  ur l gia tc tng i. Trang 5 Cõu 3: di o, lc suy rng qua phộp bin phõn, phỏt biu nguyờn lý Hamilton, thnh lp phng trỡnh Lagrange loi II. 1. di o qua phộp bin phõn ca ta suy rng: Gi