Trang 1 Câu 1: Thiết lập công thức tính vận tốc gia tốc, gia tốc trong tọa độ cực và tọa độ trụ... Trang 5 Câu 3: Độ dời ảo, lực suy rộng qua phép biến phân, phát biểu nguyên lý Hamilton
Trang 1Trang 1
Câu 1: Thiết lập công thức tính vận tốc gia tốc, gia tốc trong tọa độ cực và tọa độ trụ
1 Tọa độ cực:
- Phương trình chuyển động: ( )
( )
r r t t
j j
= ì
í =
sin
x r
y r
j j
= ì
í =
î (0£ =r OM< +¥ và 0£ £j 2p )
- Chọn q1=r, qg1 =rg , eur ur1 =e r
, h1=h r
q2 =j, qg2 =jg , eur uur1=e j
, h2 =h j
- Ta có:
- Vận tốc:
2
1
i i i r r i
=
Suy ra: v r er= g urr +r e jg uurj
Hay: v2 = +rg2 r2jg2
- Gia tốc:
2
1 1 2 2 1
i
=
+
r
r
+
j
j
j j
g
2 Tọa độ trụ:
- Phương trình chuyển động:
( ) ( ) ( )
r r t t
j j
= ì
ï = í
ï = î
Với
cos sin
x r
y r
z z
j j
= ì
ï =
í
î
(0£ =r OM< +¥, 0£ £j 2p và -¥ £ < +¥z )
- Chọn q1=r, qg1 =rg , eur ur1 =e r
, h1=h r
q2 =j, qg2 =jg , eur uur1=e j
, h2 =h j
q3= z, qg3= zg , eur r3=k
, h3 =h z
Trang 2- Ta có:
- Vận tốc:
3
1
i
=
Suy ra: v r er= g urr +r e jg uurj +z kg r
Hay: v2 = +rg2 r2jg2+zg2
- Gia tốc:
3
1
i
=
+
r
r
g
+
j
j
j j
g
+ a z =zgg
Trang 3Trang 3
Cóu 2: Định lý cộng vận tốc, gia tốc
1 Định lý cộng vận tốc:
+ Ta cụ hệ quả: O
O
đ
đ
ủ ợ
ù
g
r uur ur
rurgđ= rurđ= x iđ đr+y jđ đur+z kđ đur ur= +vđ x i y j z kđ đrg+ đ đ đ đurg + urg
irđ = í i ir rđ đg = Þ ^ Þ ẽir rđ igđ irgđ Oy zđ đ Þ =irgđ a urjđ+a kurđ
Tương tự: urjgđ=a21irđ+a23kurđ
, kurgđ=a31irđ+a32urjđ
+ Ta cụ: i jr urđ đ = Þ0 i jr ur r urgđ đ đ đ +i jg = í0 i jr urgđ đ = -i jr urđ đg Þa12 = -a21 =wz
Tương tự: a23 = -a32 =wx vỏ a31 = -a13 =w y
+ Gọi w wur = x irđ+wyurjđ+wz kurđ
Ta cụ: ờỡwur rỉiđỳỹ=wyờỡur rjđ đỉi ỳỹ+wzờỡkur rđ đỉi ỳỹ= -a13( )-kurđ +a12urjđ=a13kurđ+a12ur rjđ=igđ
Tương tự: urjgđ=ờỡwur urỉ jđỳỹ
vỏ kurgđ=ờỡwur urỉkđỳỹ
+ Ta cụ: r vr urg = +đ xđờỡwur rỉiđỳỹ+yđờỡwur urỉ jđỳỹ+zđờỡwur urỉkđỳỹ= +rur ur urđ ờỡwỉrđỳỹ
Vậy: v vr uur ur ur ur= Ođ+ờỡwỉrđỳỹ+vđ
Trong đụ: vr
lỏ vận tốc tuyệt đối, vuur ur urOđ+ờỡwỉrđỳỹ
lỏ vận tốc kờo theo, vđur
lỏ vận tốc tương đối
2 Định lý cộng gia tốc:
v
a= = v đ+ờỡwỉrđỳỹ+vđ =a đ+ờởwỉrđỳ ờỷ ở+ wỉrđỳỷ+vđ
r
+ Trong đụ: ờởwỉrđỳ ờỷ = wỉ(vđ+ờwỉrđỳ)ỳ=ờwỉvđỳ+ờwỉờwỉrđỳỳ
g
Trang 4
v
w w
g
ur
Vậy: a a= O¢+éêwÙr¢ù éú+ wÙéwÙr¢ùù+2éwÙv¢ù+a¢
g
Trong đó: ar
là gia tốc tuyệt đối,
a O¢+éêwÙr¢ù éú+ wÙéwÙr¢ùù
g
là gia tốc kéo theo,
2éëwur urÙv¢ùû
là gia tốc Criolit,
éëwurÙéëwur urÙr¢ùûùû
là gia tốc hướng tâm;
a¢ur
là gia tốc tương đối
Trang 5Trang 5
Câu 3: Độ dời ảo, lực suy rộng qua phép biến phân, phát biểu nguyên lý Hamilton, thành lập phương trình Lagrange loại II
1 Độ dời ảo qua phép biến phân của tọa độ suy rộng:
Giả sử hệ có s bậc tự do, gọi q i với i=1, ,s là tọa độ suy rộng của hệ nếu thỏa:
1 2
1 2
1 2
, , , , , , , , ,
i
i
i
= ì
ï = í
ï = î
i
q cũng thỏa phương trình liên kết hay q q= i( )a, t
+ Biến phân của tọa độ suy rộng, định nghĩa:
( ), t ( , t) ( ), t i
q
a
¶
¶
+ Độ dời ảo có thể biểu diễn qua biến phân của tọa độ suy rộng:
1
r
q
=
¶
¶
å r
1 1
s
i
r
2 Lực suy rộng:
Lực tác dụng lên hệ:
1
N k k
F
=
åuur (uurF k
: hoạt lực hay lực thông thường không kể phản lực liên kết Ruurk
)
Công ảo hệ thực hiện tương ứng với độ dời ảo drurk
:
1
r
q
=
¶
=
¶
å ur
ur
→
å åuur ur å åuur ur
Đặt
1
N
k
r
q
=
¶
=
¶
åuur ur là lực suy rộng Q i tùy ý với tọa độ suy rộng q i
3 Nguyên lý Hamilton (nguyên lý tác dụng tối thiểu):
+ Chuyển động thực của cơ hệ được biểu diễn bởi một hàm Lagrange như sau:
( )
Trang 6+ L.dt: tác dụng nguyên tố
+
2
1
t
t
.dt
S= òL : tác dụng trong khoảng thời gian từ t1 đến t2
1
t
t
a
¶
+ Nguyên lý Hamilton: “Chuyển động thực của cơ hệ trong khoảng thời gian từ t 1 đến t 2 chỉ xảy ra sao cho tác dụng S đạt cực trị hay biến phân của tác dụng S bằng 0”
0
S a
2
1
t
t
.dt 0
4 Phương trình Lagrange loại II:
Xét cơ hệ s bậc tự do, q i i( =1, ,s) là tọa độ suy rộng Các d q i( )t1 =d q i( )t2 =0
Gọi L là hàm Lagrange của cơ hệ
Biến phân tác dụng S:
1
i
=
dt
i i
q
Ta có:
d
dt
q
2 1
t t
å g ò å g ò å g
Suy ra:
2
1
t
1 t
d
dt dt
s
i
i
=
å
i i
S
(phương trình Lagrange)
Trang 7Trang 7
i i
d
Q
(dạng khác của phương trình Lagrange)
Trang 8Câu 4: Thành lập phương trình chính tắc (phương trình Hamilton) Chứng minh rằng: Khi liên kết dừng thì hàm trùng cơ năng hệ
1 Thành lập phương trình Hamilton:
å g g å g
dt
2 1
t t
Vậy:
2
1
t
1 t
dt
s
=
Theo nguyên lý Hamilton thì d = S 0
i i
i i
H q p H
p q
¶
ï ¶ ï
-ï¶
î
g
g (hệ phương trình vi phân này gọi là phương trình Hamilton)
Giải ra suy ra được q t i( ) và p t i( )
2 Chứng minh rằng: Khi liên kết dừng thì hàm trùng cơ năng hệ:
Khi liên kết của hệ là liên kết dừng, ta có rurk
không phụ thuộc tường minh vào t hay 0
t
k
r
¶
ur r
i
T
q
å g g å g g
1
1 2
N
k k k
=
1
, t
t
s
q
=
å
ur
Trang 9Trang 9
2
2
1
2
k
r
q q
¶ ¶
å å
g g
Đặt
2
1 2
k
r
q q
¶
¶
å ur å g g
+ Ta có:
1
s
l l
l
T
q
=
å g g
j i
q q
T
g g
¹ î
1 nÕu
0 nÕu
i l ie
i l
å g g å g g å g g
l
T
q
Vậy khi liên kết dừng, hàm Hamilton chính là cơ năng của hệ
-Hết -
Lee Ein (K36.102.012) – HCMUP – 01.229.429.829