TRƯỜNG THPT C NGHĨA HƯNG ĐỀ THI THỬ THPT 2015 Môn: TOÁN. (Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề ) . Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 2 3 2 ( )y x x C= − + . a) Kháo sát c và vẽ đồ thị ( C) của hàm số b) Tìm m để phương trình x 3 -3x 2 +m+1=0 có 3 nghiệm phân biệt. Câu 2 (1,0 điểm). a) Giải phương trình: 4 4 2 4 2 17.2 1 0 x x- - - + = b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 11 1 2 z z z − = − − . Hãy tính 4 2 z i z i − + . Câu 3 (1,0 điểm). a) Giải phương trình : 1 tan cot 2 1 tan x x x − = + . b)Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và trong mỗi số đó có đúng 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ ? Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân 5 1 1 3 1 I dx x x = + ∫ . Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (2;1; 1), (1;0;3)A AB − = uuur . Chứng minh ba điểm A, B, O không thẳng hàng. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng OA sao cho tam giác MAB vuông tại M. Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm O của hai đường chéo AC và BD. Biết 5 2, 2 , 2 SA a AC a SM a = = = , với M là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC. Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho tam giác đường cao AA’có phương trình x+2y-2=0 trực tâm H(2;0) kẻ các đường cao BB’và CC’ đường thẳng B’C’ có phương trình x-y+1=0 M3;-2) là trung điểm BC .tìm tọa độ các đỉnh A,B và C. Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 0 x x x y y y x y x y + + + = + + + + − + − = . Câu 9 (1,0 điểm). Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2 3 7x y + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 3 2 5( ) 24 8( ) ( 3)P xy y x y x y x y = + + + − + − + + . Hết 1 TRƯỜNG THPT C NGHĨA HƯNG ĐÁP ÁN TOÁN. Câu Nội dung Điểm 1.a 1đ 1.b 1đ pt x 3 -3x 2 +m+1=0 có 3 nghiệm <=> pt x 3 -3x 2 +2 = - m+1=0 có 3 nghiệm < => đường thẳng (d) y=-m +1 cắt (C) tại 3 diểm < => -2<-m+1<2 < => -1<m<3 0,25 0,25 0,25 0,25 2.a 0,50 a) Giải phương trình: 4 4 2 4 2 17.2 1 0 x x- - - + = 4 4 2 4 2 16 4 2 17.2 1 0 17. 1 0 4 17.4 16 0 16 16 x x x x x x- - - + = - + = - + =Û Û (*) 0,25 Đặt 4 x t = (ĐK: t > 0) phương trình (*) trở thành 2 1 4 1 0 17 16 0 16 2 4 16 x x t x t t t x é é é = = = ê ê ê - + = ÛÛÛ ê ê ê = = = ê ê ê ë ë ë Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 0 và x = 2. 0,25 0,50 a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 11 1 2 z z z − = − − . Hãy tính 4 2 z i z i − + . 11 1 2 z z z − = − − ⇔ 2 4 13 0z z − + = , 2 ' 9 9i ∆ = − = ⇒ 2 3 2 3 z i z i = + = − 2 3z i = + ⇒ 4 2 z i z i − + = 2 1 2 i i − = − 2 3z i = − ⇒ 4 2 z i z i − + = 2 7 53 2 5 29 i i − = + 0,25 0,25 3.a 0,50 Giải phương trình 1 tan cot 2 1 tan x x x − = + . ĐK sin 2 0 2 cos 0 tan 1 4 x x k x x k x π π π ≠ ≠ ≠ ⇔ ≠ − + ≠ − Với ĐK pt tan 2 tan 2 4 x x π π ⇔ − = − ÷ ÷ Kết hợp ĐK, ta có nghiệm: , 4 x k k π π = + ∈ ¢ 0,25 0,25 3.b 0,50 + Đặt số cần tìm là: n abcde= + Số cách chọn 2 chữ số chẵn (có cả số 0): 2 6 4 C = . + Số cách chọn 3 chữ số lẻ: 3 4 4 C = . => Có: 6.4.5! 2880 = (số n) ( a có thể bằng 0). + Với a = 0 thì có: 1 3 . .4! 288 3 4 C C = (số). * Vậy có: 2880 288 2592 − = (số n) thỏa yêu cầu bài toán. 0,25 0,25 2 4 1đ Tính tích phân 5 1 1 3 1 I dx x x = + ∫ . Đặt 2 1 3 1, 0 3 t t x t x − = + ≥ ⇒ = 2 3 dx tdt ⇒ = Đổi cận: 1 2; 5 4.x t x t = → = = → = 0,25 4 2 2 1 2 1 I dt t = − ∫ 4 2 1 1 ( ) 1 1 I dt t t ⇔ = − − + ∫ 0,25 ( ) 4 2 ln 1 ln 1I t t = − − + 0,25 2ln 3 ln5I = − 0,25 5 1đ Cho điểm (2;1; 1), (1;0;3)A AB − = uuur . Chứng minh ba điểm A, B, O không thẳng hàng. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng OA sao cho tam giác MAB vuông tại M. Ta có (3;1;2) (3;1;2)OB OA AB B = + = ⇒ uuur uuur uuur 0.25 * (2;1; 1), (1;0;3)OA AB = − = uuur uuur không cùng phương: O, A, B không thẳng hàng. 0.25 Ta có (2 ; ; ) (2 ; ; )OM tOA t t t M t t t = = − ⇒ − uuuur uuur và (2 2; 1; 1), (2 3; 1; 2)AM t t t BM t t t − − − + − − − − uuuur uuuur Tam giác MAB vuông tại M thì . 0 (2 2)(2 3) ( 1)( 1) ( 1))( 2) 0AM BM t t t t t t = ⇔ − − + − − + − + − − = uuuuruuuur 2 5 6 11 5 0 1, 6 t t t t ⇔ − + = ⇔ = = . 0.25 • 1 (2;1; 1)t M A = → − ≡ (loại) và 5 5 5 5 ( ; ; ) 6 3 6 6 t M = → − thỏa bài toán. 0,25 6 1đ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm O của hai đường chéo AC và BD. Biết 5 2, 2 , 2 SA a AC a SM a = = = , với M là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC. j B A C S O M N H K Từ giả thiết ( ) ,SO ABCD SO AC OA a ⊥ ⇒ ⊥ = , 2 2 SO SA OA a= − = 0,25 2 2 1 : 2 OSM O OM SM SO a ∆ ⊥ = − = Ta có 2 2 : 2 , 3ABC B BC MO a AB AC BC a ∆ ⊥ = = = − = 3 . 1 3 . . 3 3 S ABCD V AB BC SO a = = 0,25 Gọi N trung điểm BC / / ( , ) ( ,( )) ( ,( ))MN AC d SM AC d AC SMN d O SMN ⇒ ⇒ = = OMN O ∆ ⊥ : : , ( )OMN O OH MN SO MN MN SOH ∆ ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 0,25 3 : ( ) ( ,( )SOH O OK SH OK SMN OK d O SMN ∆ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = OMN O ∆ ⊥ : 3 3 , , 2 2 4 a ON a OM OH MN OH a = = ⊥ ⇒ = 2 2 . 57 : ( , ) 19 OS OH SOH O d SM AC OK a OS OH ∆ ⊥ = = = + 0,25 7 1đ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác đường cao AA’có phương trình x+2y-2=0 trực tâm H(2;0) kẻ các đường cao BB’và CC’ đường thẳng B’C’ có phương trình x-y+1=0 M(3;-2)là trung điểm BC .tìm tọa độ các đỉnh A,B và C. M H I C A B A' B' C' N J Xét đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC kẻ đường kính AN => M là trung điểm HN = > N(4;-4) J là trung điểm AH = >MJ//AN và MJ ⊥ B’C’ Phương trình AN là x+y=0 =>tọa dộ A(-2;2) = > I(1;-1) BC có Phương trình 3 2 2 x t y t = + = − + B(3+t;-2+2t) IB=IA = > B (3 13; 2 2 13)+ − + C (3 13; 2 2 13)− − − 0,25 0,25 0,25 0,25 8 1đ Giải hệ phương trình. 2 3 3 2 3 (1 )( 3 3) ( 1) . (1) ( , ) 2 4 2( 2) (2) y x y x y x x y x y x y − − + − = − ∈ − + − = − ¡ (I) ĐKXĐ: + Điều kiện: 2 1 2 x x ≥ − ≥ − + Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có: 2 2 2 2 2x y x y= − + − + ; Thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1x y x y x x y y y + − + − + + + + = + + + ( ) 2 2 2 1 1 1 1 4 2 2 1x x x x y y y ⇔ + + + + + + + = + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1x x x y y y ⇔ + + + + + + = + + + (*). 0,25 + Xét hàm số ( ) 2 1f t t t t = + + + , với 1t ≥ − . + Ta có: ( ) / 1 2 1 2 1 f t t t = + + + ; ( ) ( ) ( ) // // 3 1 3 2 ; 0 4 4 1 f t f t t t = − = ⇔ = − + + Bảng biến thiên: + Từ bảng biến thiên suy ra: 0,25 4 t 1 − 3 4 − +∞ ( ) // f t − 0 + ( ) / f t ] Z 1 2 ( ) ( ) / 1 0; 1; 2 f t t ≥ > ∀ ∈ − +∞ + Do đó: Hàm số ( ) f t đồng biến trên nửa khoảng [ ) 1; − +∞ . + Suy ra phương trình (*) ( ) ( ) 1 2 1 2f x f y x y ⇔ + = ⇔ + = . + Thay 2 1x y = − vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 2 0y y y y − + − − + − = 2 1 1 6 7 1 0 1 2 6 3 y x y y y x = ⇒ = ⇔ − + = ⇔ = ⇒ = − * Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: ( ) ( ) 2 1 ; 1;1 , ; 3 6 x y = − ÷ . 0,25 9 1đ Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2 3 7x y + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 3 2 5( ) 24 8( ) ( 3)P xy y x y x y x y = + + + − + − + + . Ta có 2 2 2 3 3 6( 1)( 1) (2 2)(3 3) 36 5 2 x y x y x y x y xy + + + + + = + + ≤ ≤ ⇒ + + ≤ ÷ . 0,25 Ta có ( ) 2 2 2 2 2 5( ) 2 5( ) 2x y x y x y x y + ≥ + ⇒ + ≥ + và 2 2 2 2 2 ( 3) 9 2 6 6 0 2( 3) 8( ) ( 3) x y x y xy x y x y xy x y x y + − = + + + − − ≥ ⇔ + + + ≥ + − + + Suy ra 3 2( ) 24 2( 3)P xy x y x y xy ≥ + + − + + + 0,25 Đặt ( ] , 0;5t x y xy t = + + ∈ , 3 ( ) 2 24 2 6P f t t t ≥ = − + Ta có ( ] 2 3 / 2 2 3 3 (2 6) 8 24.2 ( ) 2 2 0, 0;5 3 (2 6) (2 6) t f t t t t + − = − = < ∀ ∈ + + Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng ( ] 0;5 . Suy ra 3 min ( ) (5) 10 48 2f t f = = − . 0,25 Vậy 3 2 min 10 48 2, 1 x P khi y = = − = 0,25 Chú ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa. Hết 5 . TRƯỜNG THPT C NGHĨA HƯNG ĐỀ THI THỬ THPT 2015 Môn: TOÁN. (Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề ) . Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 2 3 2 ( )y x x C= − + . a) Kháo. = 4 4 2 4 2 16 4 2 17.2 1 0 17. 1 0 4 17.4 16 0 16 16 x x x x x x- - - + = - + = - + =Û Û (*) 0,25 Đặt 4 x t = (ĐK: t > 0) phương trình (*) trở thành 2 1 4 1 0 17 16 0 16 2 4 16 x x t. ∈ ¢ 0,25 0,25 3.b 0,50 + Đặt số cần tìm là: n abcde= + Số cách chọn 2 chữ số chẵn (có cả số 0): 2 6 4 C = . + Số cách chọn 3 chữ số lẻ: 3 4 4 C = . => Có: 6.4.5! 2880 = (số n) ( a có thể bằng