SỞ GD VÀ ĐT GIA LAI KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 TRƯỜNG THPT Môn thi: TOÁN NGUYỄN BỈNH KHIÊM Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số: 3 2 1 x y x - = - a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 1y x= - +D Câu 2.(1,0 điểm) a) Giải phương trình: + = + 2 (sinx cosx) 1 cosx . b) Cho số phức 1 3z i= + . Tìm số nghịch đảo của số phức: 2 .z z z w = + Câu 3.(0,5 điểm) Giải phương trình: 2 1 2 2 log ( 5) 2 log ( 5) 0x x+ + + = Câu 4.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 4 2 6 3 1 2 4 8 4 4 x y x y x y x x x x xy + + + = + + + + − + + + = Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân: 2 1 0 ( ) x I x x e dx= + ò Câu 6.(1,0 điểm) Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, SA= a, SB hợp với đáy một góc 30 0 .Tính thể tích của khối chóp S.ABC. và tính khoảng cách giữa AB và SC. Câu 7.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 144. Gọi điểm (2;1)M là trung điểm của đoạn AB; đường phân giác trong góc A có phương trình : 3 0AD x y + + = . Đường thẳng AC tạo với đường thẳng AD góc ϕ mà 4 cos 5 ϕ = . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh B có tung độ dương. Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng D và mặt phẳng ( ) a lần lượt có phương trình 3 2 3 : 1 1 3 x y z- - + = =D ; ( ) : 2 1 0x y z a + - + = Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng ∆ với mặt phẳng ( )Oxy . Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (α). Câu 9.(0,5 điểm) Tìm hệ số của 7 x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của n x x − 2 2 , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 323 1 24 nnn ACC =+ + . Câu 10.(1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn 4 4 1 2x y xy xy + + = + . Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 2 2 3 1 2 1 1 P xy x y = + - + + + Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: P N V HNG DN CHM KY THI TH THPT QUễC GIA NM 2015 Mụn thi: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao Cõu Ni dung im 1a (1,0) Hm s: 3 2 2 3 1 1 x x y x x - - + = = - - Tp xỏc nh: \ {1}D = Ă o hm: 2 1 0, ( 1) y x D x -  = < " ẻ - Hm s nghch bin trờn cỏc khong xỏc nh ( ) ;1- Ơ v ( ) 1;+ Ơ v khụng t cc tr. 0,25 Gii hn v tim cn: ; lim 2 lim 2 2 x x y y y - Ơ + Ơđ đ = - = - = -ị l tim cn ngang. ; 1 1 lim lim 1 x x y y x - + đ đ = - Ơ = + Ơ =ị l tim cn ng. 0,25 Bng bin thiờn x 1 + y  y 2 + 2 Giao im vi trc honh: 3 0 2 3 0 2 y x x= - + = = Giao im vi trc tung: cho 0 3x y= = -ị Bng giỏ tr: x 0 1/2 1 3/2 2 y 3 4 || 0 1 0,25 th hm s nh hỡnh v bờn õy: 0,25 1b (1,0) 2 3 ( ) : 1 x C y x - + = - Gi ( ) 0 0 ; ( )M x y Cẻ l tip im, phng trỡnh tip tuyn ti M cú dng ( ) 0 0 0 ( )y f x x x y  = - + Vỡ Tip tuyn song song vi ng thng : 1y x= - +D nờn cú h s gúc 0 ( ) 1f x  = - 0,25 2 0 0 0 2 0 0 0 1 1 2 1 1 ( 1) 1 1 1 0 ( 1) x x x x x x ộ ộ - = = - ờ ờ = - - = ờ ờ - = - = - ờ ờ ở ở 0,25 Vi 0 0 2 1x y= = -ị . pttt l: 1 1( 2) 1y x y x+ = - - = - + ( loi) 0,25 Với 0 0 0 3x y= = -Þ . pttt là: 3 1( 0) 3y x y x+ = - - = - -Û 0,25 2a (0,5) Ta có: + = + 2 (s inx cosx) 1 cosx ⇔ + = +1 2sin xcosx 1 cosx ⇔ =cosx(2 sin x-1) 0 0,25 = ⇔ cosx 0 1 s inx= 2 π π π π π π = + ⇔ + ∈ = + x k 2 x= k2 (k Z). 6 5 x k2 6 Vậy phương trình có 3 họ nghiệm. 0,25 2b (0,5) Với 1 3z i= + , ta có 2 2 2 2 2 . (1 3 ) (1 3 )(1 3 ) 1 6 9 1 9 2 6z z z i i i i i i i w = + = + + + - = + + + - = + 0,25 2 2 1 1 2 6 2 6 2 6 1 3 2 6 (2 6 )(2 6 ) 40 20 20 2 36 i i i i i i i i w - - - = = = = = - + + - - 0,25 3 (0,5) 2 1 2 2 log ( 5) 2 log ( 5) 0x x+ + + = (*) Điều kiện: 2 5 0 5 0 5 5 0 x x x x ì ï + > ï ï + > > -Û Û í ï + > ï ï î Khi đó, 1 2 2 1 2 2 2 2 log ( 5) 2 log ( 5) 0 log ( 5) 2 log ( 5) 0x x x x - + + + = + + + =Û 2 2 2 2 2 2 2 2 log ( 5) log ( 5) 0 log ( 5) log ( 5)x x x x- + + + = + = +Û Û 0,25 (nhan) 2 2 2 2 ( 5) 5 10 25 5 10 20 2x x x x x x x+ = + + + = + = - = -Û Û Û Û Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất: 2x = - 0,25 4 (1,0) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 4 2 6 3 (1) 1 2 4 8 4 4 (2) x y x y x y x x x x xy + + + = + + + + − + + + = Điều kiện: 2 0x y+ ≥ (1) ( ) 2 1 4 2 2 1 6 3 0x y x y x y⇔ − + + + + − + = ( ) ( ) 1 4 2 1 4 2 1 4 2 0 2 1 6 3 x y x y x y x y x − − ⇔ + + − − + = + + + + ( ) ( ) 1 1 4 2 1 4 2 0 2 1 6 3 x y x y x y x ⇔ − − + + + = + + + + 0,25 0,25 Do điều kiên 2 0x y+ ≥ nên ( ) 1 1 2 2 0 2 1 6 3 x y x y x + + + > + + + + Suy ra 4 2 1 0 4 2 1x y x y+ − = ⇔ + = thế vào phương trình (2) ta được ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 4 2 4 2 4 1 2 4 2 4 0x x x x x y x x x x+ − + + + = ⇔ + − + + − = Đặt ( ) ( ) 2 1 2 4 2 4f x x x x x= + − + + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 1 8 7 ' 2 4 2 0, 2 4 2 2 4 x x x x f x x x x x x x x + − + + = − + + + = > ∀ ∈ − − − − ¡ 0,25 Suy ra hàm số đồng biến trên R mà 1 0 2 f = ÷ nên 1 2 x = là nghiệm duy nhất Với 1 1 2 2 x y= ⇒ = − (thảo đk) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) 1 1 ; ; 2 2 x y = − ÷ 0,25 5 (1,0) 2 2 1 1 1 2 0 0 0 ( ) x x I x x e dx x dx xe dx A B= + = + = + ò ò ò 0,25 1 3 0 1 3 3 x A = = 0,25 2 1 0 x B xe dx= ò Đặt 2 2 . 2 dt t x dt x dx xdx= = =Þ Þ Đổi cận: x 0 1 t 0 1 0,25 Vậy, 1 1 0 0 1 1 1 1 1 . 3 2 3 2 3 2 2 2 6 t t dt e e e I e= + = + = + - = - ò 0,25 6 (1,0) ( ) ( ) SA ABC SA A B A B ABC ì ï ^ ï ^Þ Þ í ï Ì ï î AB là hình chiếu của SB lên (ABC) do đó · 0 30SBA = Tam giác SAB vuông tại A nên · · 0 cot . cot . cot 30 3 A B SBA SA BC A B SA SBA a a = = =Þ = = 0,25 2 1 1 3 . 3. 3 2 2 2 A BC a S A B BC a a= = = Vậy, thể tích khối chóp S.ABC là: 2 3 1 1 3 . 3 3 2 2 A B C a a V SA S a= = × × = (đvtt) 0,25 Trong mp(ABC) Kẻ AI//BC và kẻ CI //AB suy ra ABCI là hình vuông cạnh 3a Trong mp(SAI) kẻ AH vuông góc với SI Ta có ( ) ( ( ) A H SI A H SIC A H CI CI SA I ì ï ^ ï ^Þ í ï ^ ^ ï î Nên ( ) ( ) , ;( )d A B SC d A SIC AH= = 0,25 Tam giác SAI vuông tại A nên 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 . . 3 3 2 3 A I SA a a a A H A H SA AI A I SA a a = + = = =Þ + + Vậy khoảng cách của AB và SC bằng 3 2 a Học sinh có thể sử dụng phương pháp tọa độ để tìm khoảng cách 0,25 7 (1,0) Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua AD 'M AC ⇒ ∈ + Ta có pt ': 1 0MM x y − − = + Gọi ' ( 1; 2)I MM AD I = ∩ ⇒ = − − + Do I là trung điểm ' ' ( 4; 5)MM M⇒ = − − * Đường thẳng AD có vtpt là (1;1)n = r 0,25 Giả sử đường thẳng AC có vtpt là 2 2 1 ( ; ), 0n a b a b = + ≠ ur . + Theo giả thiết suy ra: ( ) 1 2 2 1 2 2 1 . 7 4 4 cos cos , 7 50 7 0 7 5 5 2 n n a b a b n n a ab b b a n n a b ϕ = + = ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ = + r ur r ur r ur 0,25 Với 7a b = , chọn 1 7 :7 33 0b a pt AC x y = ⇒ = ⇒ + + = - Điểm ( ) 3 0 5 : 5;2 7 33 0 2 x y x A AD AC A A x y y + + = = − = ∩ ⇒ ⇔ ⇒ = − + + = = - Điểm (2;1)M là trung điểm của AB ( ) 9;0B ⇒ = (loại) + Với 7b a = , chọn 1 7 pt : 7 39 0a b AC x y = ⇒ = ⇒ + + = - Điểm ( ) 3 0 3 : 3; 6 7 39 0 6 x y x A AD AC A A x y y + + = = = ∩ ⇒ ⇔ ⇒ = − + + = = − - Điểm (2;1)M là trung điểm của AB ( ) 1;8B ⇒ = (thỏa mãn đk) 0,25 48 10 2 và pt : 7 15 0 ( '; ) 5 2 AB AB x y d M AB⇒ = + − = ⇒ = ; * Nhận thấy: ' 1 144 1 ( '; ). 48 ( ; ) 3. ( '; ) 2 3 3 M AB ABC S d M AB AB S d C AB d M AB = = = = ⇒ = V V Lại vì M’ nằm giữa A, C nên 3 ' ( 18; 3)AC AM C = ⇒ = − − uuur uuuuur Vậy ( ) 3; 6A = − , ( ) 1;8B = , ( 18; 3)C = − − là các điểm cần tìm. 0,25 8 Mặt phẳng ( )Oxy có phương trình z = 0 0,25 Thay ptts (1) của D vào phương trình z = 0 ta được: 3 3 0 1t t- + = =Û Suy ra giao điểm của đường thẳng D và mp(Oxy) là: (4;3;0)A 0,25 Mặt cầu tâm A, tiếp xúc với ( ) a có bán kính ( ,( )) 2 6R d A a = = =L 0,5 nên có phương trình: 2 2 2 ( 4) ( 3) 24x y z- + - + = . 0,25 9 (0,5) Tìm hệ số của 7 x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của n x x − 2 2 , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 323 1 24 nnn ACC =+ + . Ta có 3),2)(1()1( 6 )1(()1( .424 323 1 ≥−−=−+ −+ ⇔=+ + nnnnnn nnn ACC nnn 11 )2(33)1(2 =⇔ −=++⇔ n nn (Thỏa điều kiện) 0,25 Khi đó )2.( 2 .)( 2 11 0 322 11 11 0 112 11 11 2 ∑∑ = − = − −= −= − k kkk k k kk xC x xC x x Số hạng chứa 7 x là số hạng ứng với k thỏa mãn .57322 =⇔=− kk Suy ra hệ số của 7 x là .14784)2.( 55 11 −=− C 0,25 10 (1,0) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn 4 4 1 2x y xy xy + + = + . Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 2 2 3 1 2 1 1 P xy x y = + - + + + Ta cú 2 2 1 2 2xy x y xy + + t 0t x y= > ta c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) 2 3 2 1 2 2 2 2 1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 0 1. 2 t t t t t t t t t t t t + + - - - + - - Ê Ê - - Ê Ê Ê 0,25 Vi 0, 0x y> > v 1xy Ê ta cú 2 2 1 1 2 1 1 1 xy x y + Ê + + + (1) Tht vy (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 0 1 1 1 x y xy x y xy - - Ê + + + ỳng do 0, 0x y> > v 1xy Ê Khi ú (2) 4 3 4 3 1 1 2 1 1 2 P xy xy t t - = -Ê + + + + 0,25 Xột hm s ( ) 4 3 1 1 2 f t t t = - + + trờn 1 ;1 2 ộ ự ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 6 5 2 1 1 ' 2 0, ;1 2 1 1 2 1 1 2 t t f t t t t t t ộ ự - + - ờ ỳ = + = - < " ẻ ờ ỳ ở ỷ + + + + Suy ra ( ) (3) 1 7 1 , ;1 2 6 2 f t f t ổử ộ ự ữ ỗ ờ ỳ ữ = "Ê ẻ ỗ ữ ỗ ờ ỳ ữ ỗ ố ứ ở ỷ 0,25 T (2) v (3) ta cú 7 . 6 P Ê Du ng thc xy ra khi 1 2 xy = v 1 2 x y x y= = = Vy giỏ tr ln nht ca P bng 7 6 t c khi 1 2 x y= = 0,25 *Lu ý Hc sinh cú li gii khỏc vi ỏp ỏn chm thi nu cú lp lun ỳng da vo SGK hin hnh v cú kt qu chớnh xỏc n ý no thỡ cho im ti a ý ú; ch cho im n phn hc sinh lm ỳng t trờn xung di v phn lm bi sau khụng cho im. im ton bi lm trũn s. . ĐT GIA LAI KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 TRƯỜNG THPT Môn thi: TOÁN NGUYỄN BỈNH KHIÊM Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số: 3 2 1 x y x - = - a). thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: P N V HNG DN CHM KY THI TH THPT QUễC GIA NM 2015 Mụn thi: TON Thi gian. )2.( 2 .)( 2 11 0 322 11 11 0 112 11 11 2 ∑∑ = − = − −= −= − k kkk k k kk xC x xC x x Số hạng chứa 7 x là số hạng ứng với k thỏa mãn .57322 =⇔=− kk Suy ra hệ số của 7 x là .147 84)2.( 55 11 −=− C 0,25 10 (1,0) Cho các số thực