Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Thanh Hóa số 15

9 341 1
Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Thanh Hóa số 15

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Sở GD ĐT Thanh Hóa Đề xuất đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán - Bảng A Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho phơng trình: m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1 1) Giải phơng trình trên với m=1. 2) Tìm m để phơng trình đã cho có đúng 8 nghiệm phân biệt 5 ; 2 2 x ữ Bài 2: 1) Giải phơng trình (Sin) x + (tg) x = () x (với x là tham số, 0 < x < 2 ) 2) Tìm a để phơng trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt. 3 2- x - Sin a +1 . log (x 2 + 4x + 6) + 2 4 1 ( 3) .log 2( 1 1) x x x Sina + + =0 Bài 3: Với mọi ABC, k 3 0, 4 . Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 A B B C C A Cos Cos Cos Cosk A Cosk B Cosk C + + + + Bài 4: Xét hai dãy số: { } { } + + > = + = + 1 1 1 1 a ; 0 1 ; ; voi 1 (i=1, 2 ) n n i i i i i i b a b a b a b a b Chứng minh (a 2006 + b 2006 ) 2 > 16039 Bài 5: Cho tứ diện ABCD 1) Gọi i (i= 1, 2, , 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần lợt là các cạnh của tứ diện Chứng minh: = 6 1 2 i i Cos . 2) Gọi G là trọng tâm của tứ diện; mặt phẳng () quay quanh AG, cắt DB tại M và cắt DC tại N. Gọi V, V 1 lần lợt là thể tích của tứ diện ABCD và DAMN. Chứng minh: 1 4 1 9 2 V V 3) Gọi diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của tứ diện lần lợt là: S a , S b , S c , S d . I là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD. Chứng minh: + + + = uur uur uur uur r . . . . 0 a b c d S IA S IB S IC S ID Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán. Bảng A Câu Nội dung Điểm Bài 1 5 1 3 Với m =1; Phơng trình = = 2 0 4 2 2 0 Cosx Cos x Cosx + = = = = = + x= 0 2 1 2 1 2 2 2 3 k Cosx Cosx x k Cosx x k 1 2 2 2 Phơng trình = + = 2 0 4 2 3 0 Cosx Cos x Cosx m * Cosx =0 Có 2 nghiệm: = 3 ; x= 2 2 x * Ycbt 4Cosx 2 - 2 Cosx +m - 3 =0 = = + 2 (-1 1) ( ) 4 2 3 Cosx t t f t t t m Có 2 nghiệm t 1 , t 2 thỏa mãn: < < < < 1 2 2 1 0 1: (a) 0<t<1=t (b) t t * Trờng hợp (b) loại (vì nếu t 2 =1 thì t 1 <0) * Trờng hợp (a) < < ( 1). (0) 0 1< m < 3 (0). (1) 0 f f f f Vậy giá trị m cần tìm: 1< m < 3 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 2 4 1 2 Phơng trình + = ữ ữ 1 x x Sin tg Chứng minh: ữ 0, 2 u có Sinu < u < tgu nên: < < ữ 1 : 0, 2 Sin tg 0,5 0,5 0,5 0,5 Khi đó x =0: VT =2 > VP x >0: VT > VP x <0; VT> VP Vậy phơng trình vô nghiệm 2 2 Đặt Sina -1 =m (-2 m 0) ta luôn có: xR thì: + + + 2 x 4 6 2 2 x-m 2 2 x nên TXĐ của phơng trình là R Ta có phơng trình ( ) + + + + + = + 2 2 2 4 6 2 ( 3) .log ( 4 6) 3 log (2 2) x m x x x x x m Xét hàm số: f(t) = ( ) [ ) 3 log ( ) : 2; + t t là hàm số đồng biến với x[2; +) nên phơng trình x 2 + 4x +6 = 2 x-m +2 (*) + + + = + + = 2 2 2 2 4 0 : (1) 6 4 2 0 : (2) x x m x x m Theo yêu cầu bài toán (*) có 3 nghiệm phân biệt 0 0 0 1 (1) có nghiệm kép x ;(2) có 2 nghiệm x (2) có nghiệm kép x ;(1) có 2 nghiệm x (1), (2) có 1 nghiệm chung; 2 nghiệm còn lại khác nhau = = = 3 2 5 2 2 m m m (loại) Vậy theo yêu cầu bài toán: + = = + = = + a=- 2 6 3 1 5 - ' 2 2 6 1 2 - "2 2 k Sina a k Sina a k Có 3 họ giá trị của a cần tìm 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3 2 Mọi ABC có < < < 0 1 4 4 4 4 A C A C Cos (1) 0,5 mµ: π π π π ≤ − ≤ − = − < 3 1 0 . 3 3 4 3 4 2 k B B B nªn: π π − ≥ − > 3 . 0 3 4 3 Cosk B Cos B (2) Ta cã: 1 2 os os os . 2 2 2 4 4 3 3 os os . : (a) 4 4 4 4 3 3 3 A C B C A C A C B C C C Cos A C B A C C Cos C Cos B Cosk B Cosk B π π π π − − − + −   + =     − − −   = = − ≤ − = −  ÷   Chøng minh t¬ng tù cã: 1 os os : (b) 2 2 2 3 B C C A C C Cosk C π − −     + ≤ −  ÷       vµ 1 os os : (c) 2 2 2 3 C A A B C C Cosk A π − −     + ≤ −  ÷       Tõ (a), (b), (c) suy ra (®pcm) DÊu "=" khi A=B = C= 3 π ⇔∆ABC ®Òu 0,5 0,5 0,5 Bµi 4 2 Ta cã S i = (a i + b i ) (i=1,2,3….) Th× ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 i+1 i+1 i+1 2 2 2 2 2 1 1 S = (a + b ) = : (i=1,2, ) 1 1 1 1 = +2 1 1 8 8 i i i i i i i i i i i i i i i i i i a b a b a b a b a b a b a b a b a b     + + +    ÷           + + + + + ≥  ÷  ÷       ≥ + + + + > + +  ÷   nªn ta cã: (a 1 + b 1 ) 2 > 0 (a 2 +b 2 ) 2 > 0 (a 2 +b 2 ) 2 > (a 1 + b 1 ) 2 + 8 ………………………. (a 2006 +b 2006 ) 2 > (a 2005 + b 2005 ) 2 + 8 Céng c¸c b®t trªn, ta cã: (a 2006 +b 2006 ) 2 > 8 . 2005 = 16040 > 16039 0,5 0,5 0,5 0,5 Bµi 5 7 B D C A I A1 D1 M H¹ IA 1 ⊥ (BCD); ID 1 ⊥ (ABC) IB 1 ⊥ (ACD); IC 1 ⊥ (ABD) Dùng A 1 M ⊥ BC 1 D M BC IM BC ⊥  ⇒  ⊥  nªn · 1 1 1 A MD α = (T¬ng tù víi α 2 …α 6 ) Ta cã: ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 6 6 i i=1 0 4 2 . . 0 4 2 ( ) 0 Cos 2: (dpcm) IA IB IC ID r IA IB IC ID r r Cos Cos Cos α α α α + + + ≥ ⇔ + + + ≥ ⇔ − + + ≥ ⇔ ≤ ∑ uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur 1,0 1,0 1,0 2 2 G A' A B C D O M N ∆    = = = = = ⇒ = = DAMN ABCD A' lµ träng t©m BCD Gäi: O lµ trung ®iÓm BC DM DN §Æt: vµ DB DC V Ta cã: . . (1) V dt(DMA') ' 2 ( ') 2 Cã: . : (a) dt(DBO) ( ) 3 2 ( ') 2 T ong tù ( ) 3 x y DM DN DA xy DB DC DA DM DA dt DMA x DB DO dt DBC dt DNA dt DBC + = = = ⇒ ⇒ ≠ ⇒  ≤ ≥   ≤ ≤ ⇒ ⇒ ≤ ≤   ≥   ≤ ≤ : (b) ( ) Tõ (a), (b) suy ra: ( ) 3 ( ) mµ . x+y=3xy ( ) 1 x y(3x-1) =x: (x ) y= 3 3x-1 1 x 0 va x 1 3 vµ 0 y 1 1 1 2 x 2 1 T ong tù, suy ra: ; 1 2 V VËy: y dt DMN x y dt DBC dt DMN DM DN xy dt DBC DB DC x x y   = = =   −   − ⇔ − 2 1 2 1 ( ) : ;1 V 3 1 2 3x 2 2 Cã: f'(x) = =0 x= (3 1) 3 x xy f x x x x vµ: x 1 2 2 3 1 f'(x) - 0 + f(x) 1 2 4 9 1 2 1 V 4 1 9 V 2 ⇒ ≤ ≤ 0,5 0,5 0,5 0,5 3 2 I P' D A B C M' M P N' N Gọi M=BC x (DAI); M' = AD x (BCI) N= AC x (DBI); N' = DB x (CAI) P= AB x (DCI); P' = DC x (ABI) vì I ở trong tứ diện, nên: M, M',. thuộc các cạnh của tứ diện. Do: (DAM) là mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh AD nên: d[M; (DAC)] = d[M; (DAB)] = = = = MB ( ) ( ) MC ( ) ( ) DAMB c DAMC b V S dt AMB dt DAB dt AMC V dt DAC S điểm M đoạn BC; nên: = uuur uuuur . c b S MB MC S + = + = + = + uuur uuuur r uur uuur uur uuur r uur uur uuur . . 0 ( ) ( ) 0 . . ( ). : (1) b c b c b c b c S MB S MC S IB IM S IC IM S IB S IC S S IM Chứng minh tơng tự: + = + uur uur uuur . . ( ). : (2) d a d a S ID S IA S S IM Mặt khác: I MM' = (AMD) (BCM') nên các vecto uuur uuur uuuuur ; '; ';IM IM MM song song Vậy gọi vecto: = + + + r uur uur uur uur ( . . . ) a b c d v S IA S IB S IC S ID thì = + + + r uuur uuur ( ) ( ). ') a b c d v S S IM S S IM song song với uuuuur 'MM Chứng minh tơng tự: r uuuur // 'v NN và r uuur // 'v PP Nhng uuuuur 'MM ; uuuur 'NN ; uuur ';PP không đồng phẳng nên: = r 0v (đpcm) 0,5 0,5 0,5 0,5 Chó ý: 1)§iÓm toµn bµi lµ ®iÓm tæng céng sau khi ®· lµm trßn ®Õn 0,5 ®iÓm (vÝ dô: 5,25 lµm trßn 5,5) 2) NÕu thÝ sinh lµm c¸ch kh¸c mµ ®óng chÝnh x¸c th× cho ®iÓm tèi ®a cña c©u ®ã. . Sở GD ĐT Thanh Hóa Đề xuất đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán - Bảng A Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho phơng trình: m.Cosx. minh: + + + = uur uur uur uur r . . . . 0 a b c d S IA S IB S IC S ID Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán. Bảng A Câu Nội dung Điểm Bài 1 5 1 3 Với m =1; Phơng trình = = 2 0 4. + = + 2 2 2 4 6 2 ( 3) .log ( 4 6) 3 log (2 2) x m x x x x x m Xét hàm số: f(t) = ( ) [ ) 3 log ( ) : 2; + t t là hàm số đồng biến với x[2; +) nên phơng trình x 2 + 4x +6 = 2 x-m +2 (*) +

Ngày đăng: 26/07/2015, 09:27

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan