Page 1 ĐỀ SỐ 2 Đề thi thử Đại học lần VI năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = −x 3 + 3x + 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Đường thẳng ∆ đi qua điểm I (0; 2) với hệ số góc k. Tìm các giá trị của k để ∆ cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I, B, C và tam giác ABC vuông tại A (0; 4). Câu 2. (1 điểm) Giải phương trình: 3sin 2 x.cos(x + 3 2 ) + 3sin 2 x.cosx = sinx.cos 2 x + sin 2 (x + 2 ).cosx Câu 3. (1 điểm) Giải hệ phương trình 22 22 14x 15xy 4y 24x 12y 0 7x 12x 4xy 36 x 8x 32 6 Câu 4. (1 điểm) Tính tích phân I = 22 2 3 x x 1ln xdx Câu 5. (1 điểm) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có góc giữa đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BB’C’C) bằng 0 30 và khoảng cách từ A đến trung điểm M của cạnh A’B’ bằng 3a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’. Câu 6. (1 điểm) Các số thực dương x, y, z thỏa mãn x ≥ y; x ≥ z. Chứng minh rằng: x 1 y 1 z 1 x y z y 1 z 1 x 1 y z x Câu 7. (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (S): x 2 + y 2 – 2x – 6y + 8 = 0 và hai đường thẳng d: 3x – y – 10 = 0 và ∆: x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ của điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến ∆ bằng độ dài đoạn MT là tiếp tuyến kẻ từ N đến đường tròn (S) với T là tiếp điểm. Câu 8.(1 điểm) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x 3 2t y 1 t z 1 t và mặt phẳng (P): x + 2y – z + 3 = 0 cắt nhau tại điểm A. Vậy phương trình dạng tham số các đường thẳng ∆ thuộc (P), vuông góc với d và có khoảng cách từ A đến ∆ bằng 2 2 . Câu 9. (1 điểm) Đặt a = x1 2 log 9 7 2 ; b = x1 2 1 log (3 1) 5 2 . Xét khai triển (a + b) 7 = 7 k 7 k k 7 k0 C a b . Tìm x để trong khai triển trên, số hạng thứ sáu bằng 84. Page 2 ĐỀ SỐ 2 Đề thi thử Đại học lần VI năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu 1. (2 điểm) 1. (1 điểm). Học sinh tự giải 2. (1 điểm) Đường thẳng ∆ : y = kx + 2 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt pt sau có 3 nghiệm phân biệt: x 3 + 3x + 2 = kx + 2 x(x 2 + k – 3) = 0 Để pt trên có 3 nghiệm phân biệt thì pt x 2 + k – 3 = 0 (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 k < 3. Gọi B (x B ; kx B + 2), C (x C ; kx C + 2) trong đó x B , x C là nghiệm của (*). Theo hệ thức Viet ta có x B + x C = 0 = 2x I I là trung điểm của BC. (0,5 điểm) Tam giác ABC vuông tại A AI = 1 BC 2 4AI 2 = BC 2 (x B – x C ) 2 + k 2 (x B – x C ) 2 = 16 2 2 B C B C 2 32 x – x – 4x x (k 1) 16 (k 3)(k 1) 4 k1 k 3k k 1 0 k 1 2 (các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện k < 3) (0,5 điểm) Câu 2. (1 điểm) Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 3sin 3 x + 3sin 2 xcosx = sinxcos 2 x + cos 3 x (sinx + cosx)(3sin 2 x – cos 2 x) = 0 (0,5 điểm) Với sinx + cosx = 0 x = k (k Z) 4 . Với 3sin 2 x – cos 2 x = 0 cos2x = 1 2 x k (k Z) 6 Đáp số: x = k; 4 x k (k Z) 6 (0,5 điểm) Câu 3. (1 điểm) Ta có 14x 2 – 15xy + 4y 2 – 24x + 12y = 0 (y – 2x)(4y – 7x + 12) = 0 Xét 4y – 7x + 12 = 0, khi đó pt thứ hai của hệ trở thành 2 x +8x +32 = 0 phương trình này vô nghiệm. (0,5 điểm) Xét y – 2x = 0 y = 2x thay vào pt thứ hai ta được 2 x 6 x 8x 32 6 (*) ∙ Nếu x6 thì (*) 2 22 6 x 0 x 8x 32 x x 8x 32 x x 4; y 8 Page 3 ∙ Nếu x 6 thì (*) 2 22 12 x 6 x 8x 32 x 12 x 8x 32 x 24x 144 x 7 y 14 Đáp số: (x; y) = 4; 8 , 7; 14 (0,5 điểm) Câu 4. (1 điểm) Ta có I = 22 22 3 1 x x 1.ln x .dx 2 . Đặt t = 2 x1 , với x = 3 thì t = 2, x = 22 thì t = 3 22 2 x dt dx, x t 1 x1 và I = 4 33 2 2 3 2 2 22 3 1 1 1 t t ln(t 1).dt t ln(t 1) dt 2 2 6 3 t 1 (0,5 điểm) 4 3 2 2 33 2 22 3 27 4 1 t 1 1 I ln2 ln3 dt 2 3 3 t 1 27 4 1 1 1 ln2 ln3 (1 t )dt dt 2 3 3 3 (t 1)(t 1) 33 27 4 1 1 1 t 1 ln2 ln3 (t t ) ln 22 2 3 3 3 6 t 1 Vậy I = 41 3 22 ln2 ln3 3 2 9 (0,5 điểm) Câu 5. (1 điểm) Gọi I là trung điểm của BC AA ’ M = B ’ BI B ’ I = AM = 3a. Do lăng trụ đã cho đều, nên ta có AI (BCB ’ C ’ ) '0 ABI 30 AI = B ’ I.tan 0 30 = a 3 ' AB 2a,BI a BB 2a 2 Gọi G, G ’ lần lượt là tâm của ABC và ''' ABC thì GG ’ = BB ’ = 2a 2 và trung điểm O của GG ’ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Ta có R = OA = 2 2 2 2 2a 3 1 AG OG 2a a 30 33 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là: S mc = 2 40 a 3 (1,0 điểm) Câu 6. (1 điểm) Bất đẳng thức tương đương với y x z y x z 0 y(y 1) z(z 1) x(x 1) . Do x = max x, y,z nên: A B M C G I O G ’ Page 4 − Nếu yz thì x y x y x(y 1) y(y 1) và y z y z x z x y y z x(x 1) z(z 1) x(x 1) y(y 1) z(z 1) y z z y x z 0 y(y 1) z(z 1) x(x 1) (đpcm) (1,0 điểm) − Nếu yz thì z y z y z(z 1) y(y 1) và x z x z x y x z z y x(x 1) y(y 1) y(y 1) x(x 1) z(z 1) y x z y x z 0 y(y 1) z(z 1) x(x 1) (đpcm) (0,5 điểm) Câu 7. (1 điểm) Đường tròn (S) có tâm I (1; 3) và bán kính R = 2 Ta có M (t; 3t – 10) d, khi đó IM (t – 1; 3t – 13) 2 2 2 IM (t 1) (3t 13) Ta có MT 2 = MI 2 – IT 2 = (t – 1) 2 + (3t – 13) 2 –2 và d(M, ) = MH = t 3t 12 2 2 t 3 2 Ta có MH = MT 2 (t 1) + 2 3t 13 − 2 = 8(t – 3) 2 2 t4 t 16t 48 0 t 12 Từ đó suy ra có hai điểm M thỏa mãn bài toán là : M 1 (4; 2) và M 2 (12; 26) (1 điểm) Câu 8. (1 điểm) Gọi vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của (P) lần lượt là d u (2;1;1) và p n (1;2; 1) Ta có dp dp u .n 1 , 2 un suy ra góc giữa d và (P) bằng 0 30 . Đường thẳng ∆ thuộc mặt phẳng (Q) vuông góc với d Phương trình (Q) : 2x + y + z + D = 0. Giao điểm của (P) với d là A(1; − 2; 0). Gọi M là giao điểm của (Q) với d và H là hình chiếu của A trên . Do là giao tuyến của (P) và (Q) nên có vectơ chỉ phương là pQ 1 u n , n ( 1; 1;1) 3 (0,5 điểm) Ta có 0 MAH 30 , AH = 2 2 AM 6 tức là khoảng cách từ A đến (Q) bằng 6 2.1 2 0 D 6 D 6 6 Với D = 6 (Q) : 2x + y + z + 6 = 0. Ta nhận thấy E (−3; 0; 0) thuộc (P) và (Q) nên pt : x 3 y z 1 1 1 I T M H d ∆ p ∆ d H M A Page 5 Với D = − 6 (Q) : 2x + y + z − 6 = 0. Ta nhận thấy F (1, 0, 4) thuộc (P) và (Q) nên pt : x 1 y z 4 1 1 1 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán : 1 x 3 y z : 1 1 1 và 2 x 1 y z 4 : 1 1 1 (0,5 điểm) Câu 9. (1 điểm) Ta có a = 1 x 1 x 1 5 9 7, b (3 1) Khi đó (a + b) 7 = 7 1k 7k 7 x 1 x 1 k x 1 x 1 55 2 7 k0 9 7 (3 1) C (9 7) (3 1) Số hạng thứ sáu trong khai triển ứng với k = 5. (0,5 điểm) Từ đó ta có : 5 x 1 x 1 1 2x 2 x 1 7 C (9 7)(3 1) 84 21(3 7) 84(3 1) x1 2(x 1) x 1 x1 x1 31 3 4.3 3 0 x2 33 Đáp số : x = 1; x = 2 . Page 1 ĐỀ SỐ 2 Đề thi thử Đại học lần VI năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = −x 3 + 3x + 2 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C). hạng thứ sáu bằng 84. Page 2 ĐỀ SỐ 2 Đề thi thử Đại học lần VI năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu 1. (2 điểm) 1. (1 điểm). Học sinh tự giải 2. (1 điểm) Đường thẳng. 4. (1 điểm) Tính tích phân I = 22 2 3 x x 1ln xdx Câu 5. (1 điểm) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có góc giữa đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BB’C’C) bằng 0 30 và khoảng cách từ A