các đề thi quốc gia 2015

Hệ Phương Trình Ôn Thi ĐẠI HỌC 2015 Tác giả : Nguyễn Thế Duy Lời nói đầu : Cũng như tiêu đề của bài viết , thì ở bài viết này gồm 42 hệ phương trình vô tỷ ôn thi ĐẠI HỌC năm 2015 gồm : 1) Phần I. Các bài toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số. 2) Phần II. Các bài toán sử dụng phương pháp đánh giá. 3) Phần III. Phân tích hướng đi hai bài toán Khối A và Khối B năm 2014. Toàn bộ các bài toán dưới đây là do sưu tầm trên các mạng xã hội và lời giải là do tác giả của bài viết Nguyễn Thế Duy trình bày. Hi vọng và mong muốn các bạn có được nhiều phương pháp giải hệ cũng như những phương án đối mặt khi gặp nó để biến bài toán hệ phương trình trở nên đơn giản hóa và giải quyết nó một cách dễ dàng. Phần I. Các bài toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số. Bài toán 1. Giải hệ phương trình :   22 2 2 2 21 , 1 12 xy xy x y xy xy x y x x xy                   Lời giải. Điều kiện : 0 ; 0x y xy   Phương trình đầu của hệ phương trình được viết lại thành :           22 22 21 2 1 2 0 2 0 1 1 2 1 1 0 0 x y xy x y xy x y xy xy x y x y x y x y xy x y x y xy x y                                  Với 1xy thế xuống phương trình hai chúng ta có : 2 2 7 1 7 33 3 4 1 0 2 7 1 7 33 xy xx xy                    Với   22 x y x y    thế xuống phương trình hai chúng ta có :   2 2 2 2 22 22 1 1 1 1 2 2 1 0 0 1 x x x x x y x ptvn y xy xy                          Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm :   2 7 1 7 2 7 1 7 , ; ; ; 3 3 3 3 xy                       Bài toán 2. Giải hệ phương trình :       3 3 2 2 3 6 3 4 0 , 1 1 6 6 5 12 x y x x y xy x y x y x x y                      Lời giải. Điều kiện : ;1xy   Phương trình một tương đương với :     3 3 2 3 3 3 6 4 3 1 3 1 3 1x x x y y x x y y y x              Thế vào phương trình hai ta được : Tuyển tập 42 Hệ phương trình ÔN THI ĐẠI HỌC 2015 Tác giả : Nguyễn Thế Duy www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com               2 2 1 2 6 7 7 12 1 2 2 6 7 3 2 8 16 2 4 0 2 2 7 3 x x x x x x x x x x x x xx xx xx                                  Do 2x  nên 20 60 x x        suy ra : 1 6 2 2 6 6 1 40 22 2 2 7 3 2 2 7 3 2 2 x x x x x x x x x x x x                                Từ đó suy ra     , 2, 3xy  là nghiệm duy nhất của hệ phương trình  Bài toán 3. Giải hệ phương trình :   22 22 2 1 3 2 , 4 4 6 3 2 0 x xy x x y y x y xy x y xy x y                       Lời giải. Điều kiện : 22 2 1 0 ; 3 0x xy x x y y       Xử lý phương trình hai chúng ta có :    22 21 4 4 6 3 2 0 2 1 2 2 0 22 yx x y xy x y x y x y yx                     Với 22yx thế xuống phương trình hai thì :     22 22 2 2 2 22 2 2 2 2 3 4 1 4 2 3 3 4 1 4 2 11 4 1 4 2 2 4 1 3 0 2 4 1 3 1 1 4 4 1 3 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x                                             Với 21yx thế xuống phương trình hai thì : 22 4 1 4 3 2 3 1x x x x      . Ý tưởng giải tương tự trường hợp trên ta được 2 3 x  Do đó hệ phương trình có nghiệm     21 , 1, 0 ; , 33 xy      Bài toán 4. Giải hệ phương trình :           2 2 , 14 xy x y xy x y y xy x y xy x x                   Lời giải. Điều kiện :     , 0 ; 2 0x y xy x y xy     Chúng ta có :                       2 2 0 2 2 1 0 0 2 2 xy x y xy x y y xy x y xy y x y xy x y y xy xy y xy xy xy x y xy y xy xy x y xy y                                          Từ phương trình hai :   2 2 44 1 1 2 2 11 y xy x x x x xx                www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Hay nói cách khác :     2 1 2 0 0 2 y xy y xy xy xy x y xy y             Do đó từ phương trình một 0xy suy ra thế xuống phương trình hai ta được : 32 1 0 1 17 2 3 4 0 2 xy xy x x x xy                    Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể trên  Bài toán 5. Giải hệ phương trình :       22 22 2 1 2 2 6 2 , 15 x xy y y xy x y y                  Lời giải. Điều kiện : 1 ; 2xy y    Cộng chéo theo vế của hệ phương trình ta được :             22 22 2 2 2 2 5 2 1 2 2 6 2 1 5 2 1 2 2 7 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 0 11 1 0 1 1 0 1 2 1 2 x xy y y x y y x xy y y x y xy y xy y y xy xy y xy y xy y xy y xy y xy y xy y                                                            Với 1xy y kết hợp với phương trình hai chúng ta có :         22 1 11 1 5 , 2,1 ; 1 2, 1 ; 2 1, 2 2 2 1 ; 2 xy y x y y x y xy y                                    Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể trên  Bài toán 6. Giải hệ phương trình :         22 2 4 3 4 1 3 1 2 , 1 2 2 1 y xy y x y y x xy y y x y x                     Lời giải. Điều kiện : 1 ; 2y y x Bình phương phương trình hai ta được :         1 2 1 2 1 1 2 4 y y x y y x       Phương trình một được viết lại thành :        2 2 3 1 4 1 3 1 1 2y y x y y y y x        Từ hai điều trên suy ra :     2 2 13 2 3 1 2 1 1 2 1 3 1 5 2 41 4 y y y y y y y y y y                         Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm   41 5 23 , , ; , 2 72 4 24 xy               Bài toán 7. Giải hệ phương trình :     3 1 2 2 1 8 , 5 2 9 x y x y x y xy x x y y                  Lời giải. Điều kiện : ; 2 1x y y www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Đặt 22 2 22 2 22 2 2 1 2 1 3 2 2 21 ,0 9 4 4 a x y x a b x y a b y x y b a yb ab x y a b                                   khi đó hệ phương trình trở thành :         2 2 2 2 2 2 2 2 22 21 1 2 1 2 1 8 1 2 1 2 1 8 2 1 4 ab a a b a b a b b a b a b a b a a b                              Do đó suy ra : 12 2 1 1 1 x y x yy             là nghiệm duy nhất của hệ phương trình  Bài toán 8. Giải hệ phương trình :                        22 1 1 2 , 8 8 8 y x y x y y x xy x y y x  Lời giải. Điều kiện : 0xy và  8x Đặt           22 a x y a b x by khi đó phương trình một của hệ phương trình trở thành :                       2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 0b a a b a b a b a b Phương trình hai của hệ phương trình được viết lại thành :                               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 16 8 64 8 2 8 8 0 8 0 8 x y y x x y x y y x x x y y x y x y  Với        2 1 8 a xy ta có :                         22 11 4, 5 3, 5 8 1 8 x y x y x y x y y y  Với        2 1 8 b xy ta có :              2 1 3 1 8 y x y xy  Với        2 0 2 0a b x y y phương trình vô nghiệm vì    0x y y Kết hợp với điều ta được nghiệm của hệ phương trình là         97 , 3,1 ; , 22 xy  Bài toán 9. Giải hệ phương trình :                          2 22 24 , 8 4 1 4 1 x y x y xy xy xy x y x y x y y x  Lời giải. Điều kiện : ,1xy Phương trình một được viết lại thành :            22 4 2 4 2 1x y x y xy x y xy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :                             2 22 2 2 2 1 4 4 4 1 4 1 4 8 2 2 1 4 4 x y x y x y y x x y x y y x y x Từ điều trên và kết hợp với phương trình hai đa được :                             22 8 2 4 8 6 2 16 12 2xy x y x y x y x y xy x y x y Từ   1 và   2 suy ra :                      2 4 12 16 0 4 0 4x y x y x y x y x y www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Dấu = xảy ra khi và chỉ khi               21 2 1 2 4 xy y x x y xy là nghiệm duy nhất của hệ phương trình  Bài toán 10. Giải hệ phương trình :                  2 2 1 5 , 2 x y y x y xy y xy y  Lời giải. Điều kiện : 0xy Đặt             22 1 21 a x y a b x y by , khi đó phương trình một trở thành :     22 4a b a b Từ cách đặt, ta có :                                2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 21 21 a x y x y a a b a b x y x y y xy y y yb by Mặt khác , từ phương trình hai :    2 2 2 2 4xy y y nên suy ra    2 2 2 2 3a b a b . Do đó ta có hệ phương trình :                      22 2 2 2 2 42 1 1 3 a b a b x ab y a b a b là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu  Bài toán 11. Giải hệ phương trình :                          2 22 1 , 3 2 2 3 1 0 x y y y x y x xy y xy x y x x x y  Lời giải. Điều kiện : 1xy Đặt        a x y by khi đó phương trình một trở thành :                           2 1 1 1 1 1ab a b ab a b ab a b a b a b ab a b Với   1ab a b ta có :                             22 1 1 1 1 1 1 0 1 y xy y x y y xy y x x y y y xy Đặt       2 1 0 1t y y t thế xuống phương trình hai chúng ta có :                                        2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 0 1 3 1 2 0 1 1 1 xy x t x x x t t x t x xy TH1. Với  1y thế vào phương trình    ta có :  1x hoặc  2x TH2. Với 1xy thế vào phương trình    ta có :                          32 1 1 1 2 1 1 2 1 0 1 0 1y y y y y y y                      32 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0y y y y y vô nghiệm vì  0VT Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm       , 1,1 ; 2,1xy  www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Bài toán 12. Giải hệ phương trình :                         3 3 2 2 2 2 1 2 1 , 22 y y x y y xy y y y y y x y y x  Lời giải. Điều kiện : xy . Khi đó phương trình hai có dạng :                      2 1 20 2 y y x y y y x y y y x y y y x y Xử lý phương trình một chúng ta được :                         2 2 1 1 1 2 1 0 12 y y y y y x y y y x y  Với 1y thế xuống phương trình hai suy ra  0x  Với      2 12y y x y ta có : 1. Hệ phương trình :                              2 2 2 12 12 2 1 0 2 2 2 y y x y y y x y y y y y y x y 2. Hệ phương trình :                            2 2 32 12 12 3 4 0 2 2 4 y y x y y y x y y y y y y x y Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ phương trình ban đầu thỏa mãn điều trên  Bài toán 13. Giải hệ phương trình :                         22 1 1 9 , 2 4 17 x x y x y x xy x x x xy xy y  Lời giải. Điều kiện : xy và  0x Đặt        a x y bx khi đó phương trình một trở thành :         22 1 1 9a b b a Mặt khác phương trình hai được biểu diễn dưới dạng :               2 2 2 2 2 2 2 21 2 21x xy x y ab a b Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương                     22 9 2 21 2 ab a b a b ab a b ab Đặt        t a b u ab , do đó ta có :                              2 2 2 2 9 19 2 3 2 21 2 2 21 2 ut t tu u t u t u u t u Vậy nên  ,x y x là nghiệm của phương trình :                        2 1 1 4 3 2 0 2 3 3 X x x X X or X y y Dựa vào điều kiện kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm       , 1, 3 ; 4, 3xy  Bài toán 14. Giải hệ phương trình :   3 3 2 2 3 2 3 3 3 3 3 , 21 3 36 1 27 x y x y xy x y xy x x y x y x                  Lời giải. Điều kiện : ,xy Chúng ta có : www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com         3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 0 3 1 0 3 9 27 x y x y xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y                       Thế vào phương trình hai ta được :                                 33 3 2 6 3 2 3 2 6 3 2 2 22 2 2 2 33 6 3 2 6 3 2 2 2 2 2 2 33 6 3 2 6 3 2 2 2 2 3 4 1 2 3 3 1 2 1 3 1 1 3 1 22 1 3 1 0 2 2 0 x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x ptvn                                                 Do đó hệ phương trình có nghiệm là :   1 1 1 1 1 , 1, ; , ; , 3 3 3 3 3 3 3 xy                      Bài toán 15. Giải hệ phương trình :           4 2 2 3 2 2 16 2 , 2 1 2 11 x x y y x xy x y x x y                 Lời giải. Điều kiện : 0 ; 11 0x x y    Phương trình một đã cho trở thành :           6 4 2 3 2 3 6 3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 16 2 2 8 2 0 2 2 2 4 2 0 2 x x y y x y x y x y x y x y x x y y x y x y x y                  Với 2 2xy thế xuống phương trình hai chúng ta có :         22 22 2 2 1 2 22 0 2 3 1 2 22 5 13 1 1 3 0 1 2 22 5 x x x x x x x x x x x xx x xx x xx                              Mặt khác :   2 22 3 1 2 22 4 1 3 3 0 0 11 2 22 5 2 22 5 x x x x x x xx x x x x                     Do đó 1 1 2 xy   là nghiệm duy nhất của hệ phương trình  Bài toán 16. Giải hệ phương trình :     2 22 1 2 0 , 2 3 2 0 y x y x x xy xy x y xy x                   Lời giải. Điều kiện : 2xy Xét phương trình một , ta có :                22 1 2 0 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 y x y x x xy y x y y x x y y x x y x x y x x y                            Mặt khác , từ phương trình hai :   2 3 2 0 0x x y x      hay 1 2 0x x y    suy ra 22 1 1 2 2 22 xy y x x y x y x y x y xy x y                     www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Kết hợp với phương trình hai ta được : 22 22 22 2 2 3 2 0 0 ;2 x y xy x y x x y xy x y x y x y                       Vậy     , 2, 0xy  là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu  Bài toán 17. Giải hệ phương trình :             2 2 2 2 2 1 1 1 2 , 4 1 6 5 1 1 1 1 y x y xy x y x x x y                        Lời giải. Điều kiện : 2 1 ; 1xy Đặt 22 2 2 1 10 1 10 xa ax yb by                  hệ phương trình đã cho trở thành :           2 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 22 2 23 23 3 2 2 3 23 2 22 4 6 5 4 3 3 5 4 5 6 5 1 3 23 30 1 2 7 5 3 0 2 a b b ab b ab b a ab a b a ab ab b a b a b a a ab ab ab b a a b a b b ab b a ab a b b ab b                                                                     Với 3 1 a b        khi đó ta có :       22 1 3 10 , 10,2 ; 10, 2 2 11 xx xy y y                   Bài toán 18. Giải hệ phương trình :         3 2 3 3 2 2 2 1 , 8 8 2 3 8 2 3 1 x x y x y y y xy x y x y y x x                    Lời giải. Điều kiện : 0 ; 0x y y   Từ phương trình một chúng ta có :            2 2 2 2 2 2 2 0 20 1 20 2 2 x x y x y y y x xy y x y y xy xy x y x y xy x y y x y y                                Mặt khác với điều kiện : 0 ; 0x y y   thì 1 0 2 x y y x y y      nên    vô nghiệm Với 0xy thì phương trình hai trở thành :         2 2 2 2 2 2 2 8 8 3 8 2 3 1 4 2 3 1 2 1 1 3 13 2 2 3 1 1 4 1 2 2 3 1 4 1 71 4 x x x x x x x x x x xx x x x x                                Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm :   3 13 3 13 7 1 7 1 , ; ; ; 4 4 4 4 xy                       www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Bài toán 19. Giải hệ phương trình :     2 2 11 , 2 1 1 0 x y x x x y xy x x y y x                     Lời giải. Điều kiện : 1 ; 1 0x x y x     Đặt 2 1 0 1t x x t      khi đó phương trình một trở thành :             2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 11 00 1 1 1 1 t t y t t y t t y t t y t t y t yt y t y t y t y t t t y t t t y t                                          Từ phương trình hai chúng ta có :     2 22 1 1 1 0 0 0;1 0x y y x y y y y t                 Do đó suy ra được :     2 1 1 1 0y t t t y t        hay nói cách khác từ phương trình một ta có : 1y t y x    thế xuống phương trình hai thì :         2 3 2 10 10 5 5 5 1 , 1, 0 ; , 22 2 1 0 10 yx yx xy yy y y y y                             Do vậy hệ phương trình có nghiệm kể trên  Bài toán 20. Giải hệ phương trình :       3 4 3 2 2 , 5 2 4 0 y y x x x xy x y x y y                    Lời giải. Điều kiện : ;2x y x Đặt 2 2 0 a x y a b y b x y             khi đó phương trình hai trở thành :          22 5 4 0 1 5 4 1 1 4 4 4 a b a b a b b b a b b b a b x y x y                        Mặt khác , xét phương trình một chúng ta có :             3 32 3 3 3 2 4 2 3 2 2 2 3 2 4 2 2 2 1 2 1 2 1 y y x x x y y x x x y y x x y x                              Do đó hệ phương trình ban đầu trở thành :       22 2 22 22 4 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 0 2 1 0 2 3 1 3 3 1 3 3 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0 x y x y x y x y y y y y y x x y xy y x y y y y y y y y y xy xy xy                                                                                             Kết hợp với điều kiện , hệ phương trình có nghiệm duy nhất     , 3,2xy   Bài toán 21. Giải hệ phương trình :   22 12 , 4 9 16 9 7 9 x y x x y xy x y xy x y                 Lời giải. Điều kiện : 1xy www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com [...]... của tôi cũng như của cô ấy đó là thi đỗ ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM 2015 Bên cạnh đó hi vọng các bạn có một tài liệu vừa đủ để trang bị cho mình nhiều kiến thức Nói chung nó không thể tránh khỏi sai xót nên nếu sai ở đâu hi vọng bạn đọc thông cảm và cố gắng khắc phục giúp tác giả Chào thân ái !!! Thị Trấn Cồn – Hải Hậu – Nam Định , 08/09/2014 Tác giả : Nguyễn Thế Duy www.DeThiThuDaiHoc.com ... lời giải cho bài này nhưng bài viết này là của riêng tôi nên tôi sẽ đem những gì mà mình đã phải đối mặt với câu hệ này trong phòng thi Và hi vọng nó có ích cho các bạn khi đọc bài biết này Trước hết , khi nhìn câu hệ này tôi phải mất tới 1,2 phút định hướng cần phải làm gì Các bạn cũng vậy , hãy dành vài phút để nháp nó Việc quan trọng đầu tiên là tìm điều kiện của bài toán : x 2  12  2 3  x  2... đến đây đã có vấn đề Vấn để ở chỗ điều kiện chặt của x tôi kiểm tra lại và dấu hỏi được đặt ra cho tôi là : ‘’ Chưa có x  0 thì làm sao mà có thể áp dụng bất đẳng thức AM – GM ‘’ và nếu chứng minh được x  0 thì tôi đã gần như hoàn thành bài toán Thật vậy :     y  12  y 12  x 2  12  x 12  y  12  y 12  x 2  0  x  0 Vậy là mọi chuyện coi như đã xong Trình bày vào giấy thi cẩn thận Tôi... nhiều vì không có nghiệm đẹp Thực sự đó là một điểm nhấn của bài toán này Bởi tôi đi thi đã không thể hoàn thành được nó , đáng buồn Nếu được làm lại tôi sẽ làm như sau : trước hết việc có máy tính cầm tay tôi sẽ dùng chức năng SHIFT SOLVE thì ra nghiệm khá xấu Thật thú vị khi tôi gặp câu chuyện như thế này Đó là ra phòng thi và về nơi trọ tôi có hỏi người xem xử lý đoạn này thế nào Và tôi đã bất ngờ khi... và hàm số f y  2y 2  3y  2  1  y đồng biến trên 0;1 nên nó có nghiệm duy nhất Điều này thì chẳng ai bảo sai nhưng tôi xếp nó vào   dạng may mắn Nhưng chúng ta cần tìm một cách tự nhiên cho nó Đó là : hệ số trước các hạng tử có điều đặc biệt 2,3,2,1 mặt khác 2 + 1 = 3 nên nếu tách 3y  y  2y thì ta sẽ nhóm được như sau :     2y 2  3y  2  1  y  2 y 2  y  1  y  1  y  0    2... có mối liên hệ gì nên tôi tìm hướng ở phương trình một Đây là một phương trình đối xứng là vì ở con số 12 đồng thời cũng như hai biến x, y đều có sự xuất hiện x , x 2 và y , y nên nếu đặt z  y thì phương trình một trở thành : x 12  z 2  z 12  x 2  12 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Đến đây thì tôi nghĩ ngay đến ý tưởng của bất đẳng thức AM – GM mà không quan tâm điều gì khác đặc biệt là... y 2  4y  2  Bài toán 34 Giải hệ phương trình :  2 6x  y  11  10  4x  2x  0   Lời giải Điều kiện : y 2  4y  2  0 ; 2x 2  4x  10  0 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM chúng ta có : www.DeThiThuDaiHoc.com x, y   www.MATHVN.com    14  4x  2x 4 10  4x  2x 2 y  6x  11  10  4x  2x  2 2 2 4 Rút gọn ta được : 4 y  6x  11  14  4x  2x  x  10x  2y  15  0   2 2 Tiếp tục...  2y  1   2  2y  1     2y 2  1     49 49  y  4  2 y4 2 2y  1 2y  1 0  y  4   49  0 2y 2    1 y  4  49  y  5  y  4   49 5t  y  y  t  6 , theo bất www.DeThiThuDaiHoc.com đẳng thức Bunhiacopxki ta có : Ta viết phương trình hai lại thành : 2 2  www.MATHVN.com 2     1 1 5t  y  y  t   5t 2  y  5y  5t 2    1   6y  36  5t 2  y  y  t 2... 5 y  5 y  5    của hệ phương trình ban đầu    4   5 x2   x 3 x, y   Bài toán 37 Giải hệ phương trình :   x y 4y 2  3x  8  5xy  5y   Lời giải Điều kiện : x, y  0 Sử dụng các đánh giá cho phương trình một thì :  4  4   2  4 8 2 2  2   2x  5 x2   2x    2  1 x     2x    x y x y  x y 4 x y    4 x y 2 2 2          4  8  5 x2 ... của hệ ban đầu       x  1 2  y 2  3 x 2x  1  Bài toán 39 Giải hệ phương trình :  1 3x 2  x   y x 2  x  2  Lời giải Điều kiện : x, y  0 Hệ phương trình đã cho tương đương với : www.DeThiThuDaiHoc.com x, y    www.MATHVN.com  x  1 2  y 2  3 x 2x  1  x  1 2  y 2  3 x 2x  1     2 2 1 3x  x   y x 2  x 5x 2  x  1  2y x 2  x   2           Áp dụng bất . Trình Ôn Thi ĐẠI HỌC 2015 Tác giả : Nguyễn Thế Duy Lời nói đầu : Cũng như tiêu đề của bài viết , thì ở bài viết này gồm 42 hệ phương trình vô tỷ ôn thi ĐẠI HỌC năm 2015 gồm. Khối B năm 2014. Toàn bộ các bài toán dưới đây là do sưu tầm trên các mạng xã hội và lời giải là do tác giả của bài viết Nguyễn Thế Duy trình bày. Hi vọng và mong muốn các bạn có được nhiều phương. vào phương trình hai ta được : Tuyển tập 42 Hệ phương trình ÔN THI ĐẠI HỌC 2015 Tác giả : Nguyễn Thế Duy www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com               2 2 1 2 6 7 7 12 1