Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Bạc Liêu môn Toán bảng B (Năm học 2011 - 2012) - Ngày thi thứ nhất

Họ và tên thí sinh:…………………… ………… Chữ ký giám thị 1: Số báo danh:…………………………… ……… …………….……………… SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN (BẢNG B) * Ngày thi: 05/11/2011 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Bài 1: (5 điểm) Cho các số dương ,,abc thỏa mãn 222 3abc + +=. Chứng minh rằng: 22 22 22 a b c ab bc ca++= + + . Bài 2: (5 điểm) Cho dãy số () n u thỏa 1 3u = , 2 5u = , 21 32 nnn uuu ++ = − (n ≥ 1). Chứng minh rằng: ( ) 2011 3 mod 2011u ≡ . Bài 3: (5 điểm) Trong một kỳ thi học sinh giỏi Toán đề thi gồm có ba câu. Biết rằng mỗi thí sinh làm được ít nhất một câu, có 25 thí sinh làm được câu thứ nhất, có 20 thí sinh làm được câu thứ hai, có 14 thí sinh làm được câu ba, có 12 thí sinh làm được câu thứ nhất và thứ hai, có 10 thí sinh làm được câu thứ hai và thứ ba, có 7 thí sinh làm được câu thứ nhất và thứ ba, và có 1 thí sinh đạt điểm tối đa vì giải được cả ba bài. Hỏi có bao nhiêu thí sinh dự thi? Bài 4: (5 điểm) Cho hình bình hành ABCD. G ọi I, F, K là các điểm xác định bởi: ,,. A IABAFACAKAD αβγ == = JJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Chứng minh điều kiện cần và đủ để I, F, K thẳng hàng là: 111 β αγ =+ (biết rằng 0, 0, 0 α βγ ≠ ≠≠ ). HẾT (Gồm 01 trang) CHÍNH THỨC 1 Bảng B-Ngày 1 SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN (BẢNG B) * Ngày thi: 05/11/2011 * Thời gian: 180 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (5 điểm) Ta có a + b + c ≥ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ⇔ a 4 + b 4 + c 4 + 2(a + b + c) ≥ a 4 + b 4 + c 4 + 2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) (1,0đ) ⇔ a 4 + 2a + b 4 + 2b + c 4 + 2 c ≥ (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 ⇔ a 4 + 2a + b 4 + 2b + c 4 + 2 c ≥ 9 (1,0đ) Do đó ta chỉ cần chứng minh a 4 + 2a + b 4 + 2b + c 4 + 2 c ≥ 9 Mà a 4 + 2a = a 4 + a + a ≥ 34 3 aaa = 3a 2 (0,5đ) Tương tự b 4 + 2b ≥ 3b 2 ; c 4 + 2c ≥ 3c 2 (1,0đ) Vậy a 4 + 2a + b 4 + 2b + c 4 + 2 c ≥ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = 9 (0,5đ) Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. (1,0đ) Bài 2: (5 điểm) Xét phương trình đặc trưng 2 1 320 2 x xx x = ⎡ −+=⇔ ⎢ = ⎣ .2 n n uab=+ với 12 3 , u 5u == ta được : (2,0đ) 23 1 45 1 ab a ab b += = ⎧⎧ ⇔ ⎨⎨ += = ⎩⎩ 12 n n u =+ (1,0đ) 2011 2011 12u =+ ≡ 3(mod2011) (theo định lý Fecrmat) (2,0đ) Bài 3: (5 điểm) Gọi A là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ nhất. (0,5đ) Gọi B là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ hai. (0,5đ) Gọi C là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ ba. (0,5đ) Ta cần tính CBA ∪∪ Áp dụng công thức: CBACACBBACBACBA ∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪ (1,0đ) Theo giả thiết ta có: 25=A , 20=B , 14=C , 12=∩ BA , 10=∩CB , 7=∩CA , 1=∩∩ CBA . (1,5đ) Do đó 31171012142025 =+−−−++=∪∪ CBA (1,0đ) Vậy số thí sinh dự thi là 31. (Gồm 02 trang) CHÍNH THỨC 2 Bảng B-Ngày 1 Bài 4: (5 điểm) * Ta có: () à: KI AI AK AB AD KF AF AK AC AD MACABAD K FAB AD αγ βγ ββγ =− =− =− =− =+ ⇒= +− JJG JJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJGJJJG * Điều kiện cần và đủ để K, I, F thẳng hàng là tồn tại số thực k sao cho: () ()( ) 0 KF kKI A BADkABkAD kAB kAD ββγ αγ βα βγγ = ⇔+− = − ⇔− +−+ = JJJG JJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G * Vì , A BAD JJJGJJJG không cùng phương nên: ( ) ( ) () 0 0 0 0, 0, 0 111 kAB kAD k k do −+−+= −= ⎧ ⇔ ⎨ −+ = ⎩ − ⇔= ≠ ≠ ≠ ⇔+= JJJGJJJGG βα βγγ βα βγ γ βγβ αβγ αγ αγ β Hết (1,0đ) (0,5đ) (0,5đ) (1,0đ ) (0,5đ) (1,0đ) (0,5đ) . 111 β αγ =+ (biết rằng 0, 0, 0 α βγ ≠ ≠≠ ). HẾT (Gồm 01 trang) CHÍNH THỨC 1 B ng B- Ngày 1 SỞ GDĐT B C LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2 012 * Môn thi: TOÁN (B NG B) . sinh: …………………… ………… Chữ ký giám thị 1: Số b o danh:…………………………… ……… …………….……………… SỞ GDĐT B C LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2 012 * Môn thi: TOÁN (B NG B) * Ngày. được câu thứ nhất và thứ hai, có 10 thí sinh làm được câu thứ hai và thứ ba, có 7 thí sinh làm được câu thứ nhất và thứ ba, và có 1 thí sinh đạt điểm tối đa vì giải được cả ba b i. Hỏi có bao nhiêu