Trờng : THCS Đinh Xá Phan I: SO HOẽC MOT SỐ KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1/ a1 ,a2, a3 chia hết cho b Thì : a/ a1+ a2 + a3 +… chia heát cho b b/ a1n + a2.n + a3.n … chia heát cho b * HỆ QUẢ : a1 M b Thì a2 M b a1 + a2 M b 2/ b1\ a1 , b2 \ a2 , b3 \ a3 b1.b2 b3 \ a1.a2.a3 * HỆ QUẢ: b\ a bn \ an 3/ bc\ ac ⇒ b \ a 4/ Neáu a Mb aM c ( b,c) = vaø b.c \ a.c ( với n ∈ N, c ≠ , c ∈ Z ) ( c ≠ 0) ⇒ a M b.c 5/ Nhị thức Niu-Tơn: a/ an - bn = ( a-b)(an-1b0 + an-2b + an-3b2+…+a0bn-1) với n ∈ N, vaø a ≠ b b/ an + bn = ( a+ b)(an-1b0 - an-2b + an-3b2 – an-4b3 +…-abn-2 + a0bn-1) với n ∈ N, n lẻ vaø a ≠ -b c/ ( a+ b+ c)2 = a + b2 + c + 2ab + 2ac + 2bc d/ (a + b − c ) = a + b2 + c + 2ab − 2ac − 2bc 6/ Định lý BRu ( mở rộng chia hết đa thức ) Nếu f(x) có nghiệm x0 f(x) = ( x-x0)g(x) họăc f(x) M ( x-x0) Nói cách khác f(x) M(x- a) f(a) = • CHÚ Ý:a/ Nếu tổng hệ số đa thức f(x) f(x) có nghiệm Hay f(x) M(x-1) b/ Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ f(x) có nghiệm x = -1 Hay f(x) M(x+1) Trêng : THCS Đinh Xá 7/ CHIA HET CHIA CO Dệ : • Ngòai điều kiện chia hết học lớp , ta cần nhớ thêm điều kiện sau: + Mọi số chẵn chia hết cho + ĐK chia hết cho ( họăc 25) : Số có chữ số tận lập thành số có chữ số chia hết cho (hoặc 25) số chia hết cho (4 họăc 25) + ĐK chia hết cho ( họăc 125) : số có chữ số tận lập thành số có chữ số chia hết cho (hoặc 125) số chia hết cho (hoặc 125) + Tích số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho + Với a,b ∈ Z ; b ≠ tồn cặp số nguyên q, r cho a = b.q + r (0 ≤ r < b ) Ta gọi r số dư , q thương phép chia a cho b + Định lý BRu mở rộng ( Tham khảo) : Phần dư phép chia f(x) cho nhị thức g(x) = x-a số giá trị f(a) + Lược đồ Hooc-Ne ( Tính hệ sốø đa thương dư phép chia n n −1 n−2 Đa thức f(x) = an x + an −1 x + an −2 x + + a1 x + a0 cho nhị thức x − α an α an-1 an-2 bn=an bn −1 = α bn + an −1 … bn − = α bn −1 + an − a1 b1 = α b2 + a1 … a0 r = α b1 + a0 ( Dòng thứ : giá trị ô cuối số dư, giá trị ô lại hệ số đa thức thương) + Tam giác PASSCAN: 1 1 1 10 10 1 Trờng : THCS Đinh Xá 1 15 21 20 35 15 35 21 1 28 56 70 56 28 ( Các số dòng tam giác ứng với hệ số khai triển lũy thừa tổng số hạng) 8/ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN : n n −1 n−2 n f(x) = a0 x + a1 x + a2 x + + an −1 x + a0 p • Nếu có nghiệm hữu tỷ q : p ước an ( an Mp ) q ước a0 ( a0 Mq ) • Nếu có nghiệm ngun x = a a ước an • Nếu f(x) có nghiệm x = a (x- a ) nhân tử f(x) * VD1- Phân tích đa thức: f(x) = x3 – x2 +4 thành nhân tử +4 chia hết cho x2+x+2) +nghiệm nguyên có f(x) x = { −1;1; −2; 2} + Thử lại ta có x = nghiệm Vậy f ( x) = ( x − 2)( x + x + 2) ( ( CMR : x3 – x2 f ( x) = x2 + x + ) x−2 + x2+x+2 coù ∆ = -7 < ( VN) * VD2 phân tích f(x) = 3x3 + 7x2 + 17x -5 thành nhân tử Nghiệm nguyên có đa thức x ∈ { −1; +1; −5; +5} Nghiệm hữu tỷ có đa thức Thử lại ta có 9/ Phương 5 x ∈ − ; + ; − ; + 1 nghiệm ⇒ f ( x) = 3( x − )( x − x + 5) x2-2x +5 3 trình bậc hai : ax + bx + c = ( a ≠ ) Có biệt thức : ∆ = b − 4ac * ∆ < phương trình vơ nghiệm b 2a −b + ∆ −b − ∆ * ∆ > phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = , x2 = 2a 2a * ∆ = tphương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − VD- 3x2 – 8x + = 10/ phương pháp chứng minh quy nạp: f(x) = a * CM f(x) với x = VN Trờng : THCS Đinh Xá * Giaỷ sử f(x) với x = n * Chứng minh f(x) với x = n+1 VD I-PHÉP CHIA HẾT −5 BÀI 1: 1, Cho biểu thức: A = n−2 a, Tìm số nguyên n để biểu thức A phân số b, Tìm số nguyên n để biểu thức A số nguyên 2, Tìm x biết: a, x chia hết cho 12; 25; 30 ≤ x ≤ 500 b, (3x – 24) 73= 74 c, x − =16 + 2.(−3) 3, Bạn Hương đánh số trang sách số tự nhiên từ đến 145 Hỏi bạn Hương dùng chữ số ? Trong chữ số sử dụng có chữ số ? BÀI 2: 1, Cho S = + 52 + 53 + + 596 a, Chứng minh: S M 126 b, Tìm chữ số tận S 2, Chứng minh A = n(5n + 3) M n với n ∈ Z 3,Tìm a, b ∈ N, biết: a + 2b = 48 ƯCLN (a, b) + BCNN (a, b) = 14 BÀI :a Chứng minh: 12n + (n ∈ Z) tối giản 30n + b.Bạn Hương đánh sách dày 284 trang dãy số chẵn c, Bạn Hương cần chữ số để đánh hết sách ? d, Trong dãy số chữ số thứ 300 chữ số ? e, Tính: 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 99.101 + 14 27 + 21.36 BÀI 3: 1) Rót gän A = 21.27 + 42.81 + 63.108 3 3 + + ++ n ∈N * 2) Cho S = 1.4 4.7 7.10 n(n + 3) Chøng minh: S < 3) So sánh: 2003.2004 2004 2005 2003.2004 2004.2005 4) Tìm số nguyên tố P cho số P + P +10 số nguyên tố 5) Tìm giá trị nguyên dơng nhỏ 10 cđa x vµ y cho 3x - 4y = - 21 n −5 )Cho ph©n sè: A = n + (n ∈ Z ; n ≠ 1) a) Tìm n để A nguyên b) Tìm n để A tối giản Trờng : THCS Đinh Xá BI 1) Tìm giá trị a ®Ĩ sè 123a5 a) Chia hÕt cho 15 b) Chia hÕt cho 45 2/ Chøng minh r»ng: A = 10 n + 18n − chia hÕt cho 27 (n số tự nhiên) 3/ Cho A = n + 3n + 2n a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn n b) Tìm giá trị nguyên dơng n với n < 10 ®Ĩ A chia hÕt cho 15 4/ Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có không 130 em tham gia Sau chÊm bµi thÊy sè em đạt điểm giỏi chiếm yếu chiếm 1 , đạt điểm chiếm , đạt điểm tổng số thí sinh dự thi, lại đạt điểm trung bình 14 Tính số học sinh loại BÀI 5: 1/ Cho A = + 32 + 33 + + 32004 a) TÝnh tæng A b) Chøng minh A M130 c) A có phải số phơng không ? Vì ? 2) Tìm n ∈ Z ®Ĩ n + 13n − 13 Mn + CHUYÊN ĐỀ TÍNH TỔNG HỮU HẠN Bài 1: a Cho n số nguyên dương Hãy so sánh: 1 1 1+ + n 2 ÷ ( n+1) n n+1 b Tính: 1 1 1 + + + + + + + + + + 3 4 1+ 1 + 20052 20062 Bài 2: Chứng minh rằng: n 1 〈 + + + + n 〈 n 2 -1 với n ∈ N VÝ dô1(SGK-T8.Tr25) Chøng minh r»ng: n − n chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn n Gi¶i: Ta cã n − n =n.(n-1).(n+1) Trong ba số nguyên liên tiếp n,n-1,n+1 cómột số chia hÕt cho , mét sè chia hÕt cho (2,3)=1 Do n n M6 Trờng : THCS Đinh Xá Qua toán ta thấy n n đồng d chia cho số 2,3 và6 từ ta đề xuất số toán tơng tự nh sau Bài1: Chứng minh r»ng : n + m M6 ⇔ n + m M6(∀m, n ∈ Z ) Gi¶i: Tacã (n + m ) − (n + m) = (n − n) + (m − m) M6, (theoVD1 ) Từ suy điều phải chứng minh.Tổng quát hoá ta đợc toán sau Bài2: Chøng minh r»ng: 3 3 x1 + x + x3 + + x n M ⇔ x1 + x + x3 + + x n M , ( xi ∈ Z , ∀i = 1, n) 6 Bµi3: Cho A= 13 + + 33 + + 983 + 99 Hái A cã chia hÕt cho kh«ng? Hớng dẩn: Đặt S=1+2+3+4+ +98+99 Theo ta cã A-S chia hÕt cho 6,trong ®ã S= 99(99 + 1) = 6.33.25 ⇒ S M Do ®ã A M 6 Bµi4:(Thi häc sinh giái T.P-HCM năm học 2003-2004) Chứng minh rằng: ( x + y + z ) − x − y z M6 với số nguyên x,y,z Giải: [ ] ( x + y + z ) − x − y − z = ( x + y + z ) − ( x + y + z ) − ( x − x) − ( y − y ) − ( z − z ) Theo VD1 ta thấy hạng tử VP chia hết cho 6, từ suy điều phải chứng minh Bài5: ViÕt sè 2005 2004 thµnh tỉng cđa k sè tù nhiªn tuú ý a1 , a , a3 , , a k T×m sè d cđa phÐp chia a13 + a + a3 + + a k cho3 Giải: Đặt N= a13 + a + a3 + + a k vµ 2005 2004 = a1 + a + a3 + + a k Ta cã N- 2005 2004 = (a13 − a1 ) + (a − a ) + (a3 − a3 ) + + (a k − a k ) M3 ,(VD ) Mặt khác 2005 2004 chia cho d 1, ®ã N chia cho d Kết hợp với đẳng thức đà học VD1 đợc phát triển thành toán thú vị sau Bài 6: Cho P = (a − ab + 1) + (b + 3ab − 1) − (a + b) Chøng minh r»ng P chia hÕt cho víi mäi sè nguyên a,b Giải: Đặt x = a ab + 1; y = b + 3ab − ⇒ x + y = (a + b) Khi ®ã ta cã P= x + y − ( x + y ) = ( x − x) + ( y − y ) M6 Bài7: Chứng minh với số nguyên x,y th×: ( x + xy ) + ( y + x y ) M ⇔ x + y M 3 3 Gợi ý: Đặt a = x + 3xy ; b = y + 3x y ⇒ a + b = ( x + y)3 ,: Trêng : THCS Đinh Xá Ta có a + b M3 ⇔ a + b M3( BT1 ) ⇔ ( x + y ) M3 ⇔ x + y M3 (vì số nguyên tố) Bài8: Cho số nguyên x, y , z thoả mÃn : x+y+z= 3.2006 2007 Chøng minh r»ng: M= ( x + xy + yz ) + ( y + xy + xz ) + ( z + yz + xz ) chia hÕt cho Giải: Đặt a = x + xy + yz; b = y + xy + xz; c = z + yz + xz ⇒ M = a + b + c Ta cã: a + b + c = x + y + z + 2( xy + yz + zx) = ( x + y + z ) M6(Theo − gt ) Do ®ã M M6 (theo-BT ) Kết hợp ví dụ với toán tìm nghiệm nguyên ta có số toán sau Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau: a) ( x + y ) + ( y + z ) = x + y + z + 20053 (1) b) ( x + y − 1) + (2 xy + 1) = 189 (2) Gi¶i: a) (1) ⇔ [( x + y ) − ( x + y )] + [( y + z ) − ( y + z )] = 20053 (3) DƠ thÊy VT cđa (3) chia hÕt cho (theo-VD1).Nhng 20053 kh«ng chia hÕt cho 6,do phơng trình đà cho nghiệm nguyên b) Đặt p = x + y 1; q = xy + ⇒ p + q = ( x + y ) Khi phơng trình (2) trở thành : p + q = 189 Vì 189 M3 nên p + q M3 ⇒ p + q M3(theo BT1 ) Từ suy p+q số phơng chia hết cho Mặt khác p + q = 189 ⇔ ( p + q)( p − pq + q ) = 9.3.7 Do ®ã p+q chØ cã thĨ b»ng ⇒ ( x + y ) = ⇒ x + y = 3( x, y ∈ Z + ) , từ suy phơng trình có hai nghiệm (x,y)=(1,2)hoặc (2,1) Thử lại thấy thoà mÃn Bài 10 trang 14 (Sách tập tóan tập I ) chứng minh r»ng n +1 − n = n +1 + n với n số tự nhiên Chứng minh : ( n + − n )( n + + n ) = n + − n = ⇔ n +1 − n = n +1 + n Ph¸t biĨu c¸ch kh¸c : Chøng tá với số tự nhiên n ( n + − n ) vµ ( n + + n ) hai số nghịch đảo Trờng : THCS Đinh Xá = n +1 + n n +1 n (với n số tự nhiên) Bµi 12: TÝnh a 2+ 1 b 2+ 1 + 3+ + + 3+ 4+ + 4+ + + 100 + 99 + + n + n −1 víi n ≥ Gi¶i : a = 2+ 1 3+ + 4+ + + 100 + 99 − + − + − + + 100 − 99 = 100 − = b = + 2+ + 3+ + 4+ + + n + n −1 víi n ≥ − + − + − + + n − n − = n − Bµi 13: TÝnh a A = b B = 1− 1 Định hớng : − = 2− 2− −1 1+ + + 3− 3− + + + − 20005 − 2006 2k − k + hay n − n + = Gi¶i : −1 n + n +1 Trêng : a A = 1− THCS Đinh Xá + + + 20005 − 2006 = − ( + ) + ( + ) − ( + ) + − ( 2005 + 2006 ) = − − + + − − + − 2005 − 2006 = − ( + 2006 ) b B = 1− − 2− + 3− + − 2k − k + B = − ( + ) + ( + ) − ( + ) + + ( 2k + 2k + 1) = − − + + − − + + 2k + 2k + = ( 2k + − 1) ëBµi 71, thay = x ∈ N ta có toán Bài 14 Chứng minh: Với x>0,n ≥ n+x − n = Ta cã: x n+ x + n Bµi15 TÝnh a C = 4+ 1 b D = 3+ + + 7+ 5+ + + 10 + 7+ + + + + 16 + 13 2k + + 2k Với k số tự nhiên Giải a áp dụng vào bài a ( ) - 12 = , x = Ta có: C = 4+ + 7+ + 10 + +… + 16 + 13 Trêng : THCS Đinh Xá = + − + 10 − + + 16 − 13 = 16 − = − = b áp dụng bài3vào bài 4b ( ) - ( ) = 2, x = Do ta đa dạng toán 4a nh ? ( Nhân vµo vÕ ) 2 2 + + + + 3+ 5+ 7+ 2k + + 2k − 2D = 2D = − + − + − + + 2k + − 2k − 2k + − 2D = 2k + − ⇒ D = Bµi 16: TÝnh a E = +1 n n + + (n + 1) n n = 1b.P = = n n +1 25 24 + 24 25 =? = n +1 + n n +1 − n n n + 1 − n +1 E= 2+2 + + n n + + ( n + 1) n 1 1 Định hớng : = + 1 25 − = 1− + − + + 24 − 25 = 5 3 + + + +2 +5 2006 2003 + 2003 2006 3(5 − 5) = Ta cã (5 + 5)(5 − 5) 2+2 10 Trêng : THCS Đinh Xá + y = 18 y ⇔ y2 - 18y + = Cã ∆' = 81 − = 80 y1 = + 80 = + y1 = - 80 = - Thay l¹i Èn x nÕu: y = + => (9 + ) x = (9 + ) NÕu y = - => x=-2 Vậy phơng trình có hai nghiệm: x=2 *.Bài tập : Bµi 1: TÝnh a A = 2 2 − + − + + 3− 7 − 11 11 − 15 15 − 19 2003 − 2007 b.B = 4 4 + + + + + 13 13 + 17 17 + 21 221 + 225 c.C = 1 + + + + 11 + 11 2006 2001 + 2001 2006 Bµi2:Chøng minh S = 1+ + + + + số tự nhiên 40000 Bài 3:Giải phơng trình: 1 1 − + − = víi x ≥ -1 x +1 − x + x+3 − x+5 x+5 − x+7 x+7 − x+9 III – PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 19 Trờng : THCS Đinh Xá Phần CC BI TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC, PHÂN THỨC Phần 1: Biến đổi biểu thức chứa số 1) Rút gọn biểu thức sau: a) A = + − 29 − 12 b) B = + + 20 + 40 12 15 + − c) C = ÷( + 11) −2 3− +1 2) Thu gọn P = 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ 3) Tính giá trị biểu thức A = 4) Chứng minh + 5) Rút gọn biểu thức A = 6) A = 3- 2= 3+ 2 2( - 3) + 1 1 ,b = + với a = 2+ 2− a +1 b +1 84 84 số nguyên + 1− 9 3+ 10 + + 3− − 3+ 2+ - 2 2( + 3) 10 + − + 4- + 4+ - 2( - 3) 2( + 3) = + - 1+ + 1- 2( - 3) + 2( + 3)2 = 3- 24 = =- - 20 Trờng : THCS Đinh Xá 7) Rỳt gn biểu thức: a) A = 2+ + 2+ + 2− − 2− + 3 + + ÷ − + b) B = ÷(24 + 6) ÷ 2+ 3 2− 3 2+ 8) Rút gọn biểu thức: a) A = + − − − b 9) Rút gọn biểu thức A = 3 − 44 + 16 10) Cho x = 10 + ( − 1) 6+2 − Tính P = (x − 4x + 1)1997 11) So sánh hai số 10 + 13 12) Rút gọn biểu thức A = + 17 2+ 3+ 4+ + + + + + 10 + 16 13) Rút gọn biểu thức sau: a) A = 49 + 20 + 49 − 20 b) B = + 10 + + − 10 + c) C = + 15 + − 15 − − 14) Chứng minh số sau số nguyên: a) M = (5 + 6)(49 − 20 6) − − 11 15) Trục thức mẫu số: a) A = 2 2+ 4+2 b) B = 23 − + c) C = 2+ + 3 21 Trêng : THCS Đinh Xá 16) Tớnh giỏ tr ca biu thức A = (3x + 8x + 2) 2008 với x = ( + 2) 17 − 38 + 14 − 17) Rút gọn biểu thức sau: a) A = ( − 16 − 15 + 3) b) B = (3 − 10) 19 + 40 c) C = 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 d) D = 13 + 30 + + e) E = m + m − + m − m − f) F = + 10 + + − 10 + − ( + 10) + 2008 18 (Rút gọn) 1.1 + 11 + 11 − 11 11 − − −1 + ( − 2) Phần 2: Biến đổi biểu thức chứa biến Bµi : Cho biĨu thøc A = m + 2m.n 2m.n + m− 1+ n + n2 + n (m ≥ , n ≥ 1) a ) Rút gọn A b ) Tìm giá trị cđa A víi m = + + − c ) T×m GTNN cđa A Bµi : Chøng minh : 2 ) a + b = a+ a −b + a− a −b 2 2 ) a − b = a+ a −b − a− a −b 2 3/ hai số n + n + n + (n số nguyên dương), số lớn hơn? 22 Trêng : THCS §inh X¸ ( n + − n + 1)( n + + n + 1) = ( n + ) − ( n + 1) = n + − (n + 1) = n + − n −1 =1 ( n + − n )( n + + n ) = ( n + 1) − ( n ) = n +1− n =1 ( n + + n + 1) > ( n + + n ) ⇒ n + − n +1 < n +1 − n ⇒ n + + n < n +1 4/ Rút gọn : 1.2.A = ab − b a − b b 1.3.B = ( x + 2) − x x− x x+2 x −1 x −1 + − 5) Cho biểu thức A = 1: ÷ x x +1 x − x +1 x −1 a) Với điều kiện x A xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Chứng minh A > với x > x ≠ 6)Cho biểu thức A = 4a 10a + 2a + 20 + + (a + 1)(a + 2) (a + 1)(a + 3) (a + 2)(a + 3) a) Tìm điều kiện a để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A x x −1 x +1 − − 7) Cho biểu thức A = ÷ ÷ x −1 4 x x +1 a) Rút gọn A b) Tìm x để 2A + x = 8) Cho biểu thức P = 3x + 9x − x +1 x −2 − − x+ x −2 x +2 x −1 a) Rút gọn biểu thức P 23 Trêng : THCS Đinh Xá b) Tớnh giỏ tr ca P x = + 2 8) Cho biểu thức P = 3x + 9x − x +1 x −2 − + x+ x −2 x + 1− x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x cho giá trị tương ứng biểu thức A nguyên x +2 10) Cho biểu thức M = x + 1 − ÷ ÷ x +1 x + x +1 Tìm x để biểu thức M có nghĩa rút gọn M 11) Cho biểu thức P = x x −1 x x +1 x +1 − + x− x x+ x x a) Rút gọn P b) Tìm x để P = 12) Cho biểu thức A = − x − x +x x a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa Với điều kiện đó, rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A + x - = 13) Cho biểu thức P = x+2 x +1 x +1 + − x x −1 x + x + x −1 a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh P < 14) Cho biểu thức P = với x ≥ x ≠ 2x + x x − x x + + − x x− x x+ x a) Rút gọn P b) So sánh P với c) Với giá trị x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức giá trị nguyên 24 nhận P Trêng : 15) Cho biểu thức THCS Đinh Xá A= x+4 x4 + x4 x4 16 − +1 x2 x a) Với giá trị x biểu thức A xác định b) Tìm giá trị x để A đạt giá trị nhỏ c) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên x +2 x +3 x +2 x − − 16) Cho biểu thức P = ÷: − ÷ x −3 x +1 x −5 x +6 2− x a) Rút gọn P b) Tìm x để ≤− P 2 x −1 5x + − 17) Cho biểu thức A = ÷: 4x − 1 − 2x + 2x + 4x + 4x B = − + 19 − a) Với giá trị x A có nghĩa b) Rút gọn A B c) Tìm giá trị x để A = B 18) Cho biểu thức P = x +1 x+2 x +1 − − x −1 x x −1 x + x + a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q = 19) Cho biểu thức A = + x P x+2 x +1 + − x x −1 x + x +1 x −1 a) Tìm x để A có nghĩa Hãy rút gọn A b) Tính A với x = 33 − c) Chứng minh A < x2 − x 2x + x 2(x − 1) − + 20) Cho biểu thức P = x + x +1 x x −1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P 25 Trêng : THCS Đinh Xá c) Tỡm x biu thc Q = x nhận giá trị số nguyên P x x − 21) Cho biểu thức P = ÷: − ÷, với x ≥0; x ≠ x −1 x x − x + x −1 x +1 a) Rút gọn P b) Tìm x cho P < 2x x + x − x x + x − 22) Cho biểu thức M = x −1 x x −1 x −1 x + ÷ 2x + x − x − a) Hãy tìm điều kiện x để biểu thức M có nghĩa, sau rút gọn M b) Với giá trị x biểu thức M đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ M 23) Cho biểu thức P(x) = 2x − x − 3x − 4x + a) Tìm điều kiện để P(x) xác định, rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x) P(-x) x 26) Cho biểu thức M = x+2 x +1 + + , với ≤ x ≠ x x −1 x + x +1 − x a) Rút gọn M b) Chứng minh với ≤ x ≠ 1, ta có M < 1/3 x2 y2 x y2 − − 27) Cho biểu thức P = (x + y)(1 − y) (x + y)(1 + x) (1 + x)(1 − y) a) Tìm điều kiện để P xác định, rút gọn P b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trỡnh P = 26 Trờng : THCS Đinh Xá a +3 a +2 a+ a a a − + 28) Cho biểu thức P = ÷: ÷ a −1 a +1 a −1 ( a + 2)( a − 1) a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để a +1 − ≥ P 29) Cho a, b, c ba số phân biệt khác không thỏa mãn điều kiện a + b + c = Đơn b c b − c c − a a − b a + + + + giản biểu thức: P = ÷ ÷ b c b − c c − a a − b a x x − 30) Cho biểu thức P = + ÷: ÷− x + x −1 x x + x − x −1 a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có nghĩa rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức Q = P − x nhận giá trị nguyên 31) Cho biểu thức A = x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x −2 3− x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A < c) Tính giá trị biểu thức A với x = 29 + 12 − 29 − 12 d) Tìm giá trị nguyên x cho A số nguyên PHƯƠNG TRèNH-H PHNG TRèNH Chuyên đề : Hệ phơng trình I sơ lợc vấn đề lý thuyết 1.Vấn đề số nghiệm - Giải tối thiểu đến số nghiệm hệ phơng trình có phơng trình bậc phơng trình bậc - Cần đề cập đến số nghiệm hệ có chứa dấu giá trị tuyệt đối dầu 2.Vấn đề tìm tập nghiệm hệ phơng trình (Giải hệ) - Học sinh cần đợc trang bị tất phơng pháp giải hệ - Học sinh nắm cách giải số hệ 3.Vấn đề quan hệ yếu tố nghiệm hệ : *Cần đề cập đến dạng toán - Tìm điều kiện để biểu thức (x, y) nghiệm hệ thoả mÃn ®iỊu kiƯn cho tríc - Chøng minh biĨu thøc gi÷a (x, y) nghiệm hệ thoả mÃn ĐK cho trớc *Cần lu ý đến khía cạnh bất đẳng thức, cực trị, số học ĐK 4.Vấn đề quan hệ hệ phơng trình : 27 Trờng : THCS Đinh Xá - Giải quan hệ tơng đơng quan hệ nghiệm chung II Các dạng toán điểm hình Bài : Tìm số nghiệm c¸c hƯ sau theo tham sè x + y = 2a 2xy + = 2a x + y = 25 mx - y = 3m - x - y-m = mx - 2y = x + = 3y y + = 3x x + y = x + y = x +2 y =m x + y = Bài : Giải hệ PT sau : x + 8y = 12 x + 8xy + 12y = x- 1 1 x + y + z = 2 − =4 xy z 1 = y− = z− =1 y z x x + y = x y 13 y − x = x +1 − 2y = 3 x − y = x y + y x = 12 x x + y y = 28 mx − y = m + (m + 1) x + y = 2m Bµi : Cho hệ PT : a ) Tìm m để hƯ cã nghiƯm tháa m·n xy lín nhÊt (nhá nhÊt ) có b ) Tìm m để hệ có nghiệm nguyên (x, y) c ) Tìm m để hệ cã nghiƯm (x, y) mµ x − y = Bài : Tìm giá trị tham số ®Ó : x − y = m 2x − y = m + a> vµ tơng đơng mx - y = x - my = mx - 2my + = m x - my = m - b> vµ cã nghiÖm chung 2x - 3y = mx + y = PHƯƠNG TRÌNH Phương trình vơ tỷ Phương pháp nâng lên lũy thừa Dạng chứa bậc hai: Ta bình phương hai vế phương trình sau tìm điều kiện có nghĩa thức phương trình Thí dụ 1: Giải phương trình 2y − − y − = 28 Trờng : THCS Đinh Xá 2y − ≥ y ≥ ⇔ ⇔y≥2 Giải: Điều kiện: y − ≥ y ≥ 2y − − y − = ⇔ ⇔ 2y − = y − ( 2y − 2) = ( y − 2) ⇔ ⇔ 2y – = y – y = – (không thỏa ĐK) Vậy phương trình cho vơ nghiệm ( hay S = ∅ ) Thí dụ 2: Giải phương trình: 2x − = x − 2x − ≥ x ≥ ⇔ 2⇔x≥2 Giải: Điều kiện: x − ≥ x ≥ Bình phương hai vế phương trình ta có 2x – = (x – )2 ⇔ 2x – = x2 – 4x + ⇔ x2 – 6x + = ⇔ (x – 1)(x – 5) = ⇔ x −1 = x = 1(< 2) ⇔ x − = x = Vậy phương trình có nghiệm x = Thí dụ 3: Giải phương trình x + + − x = Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Lập phương hai vế ta có: x + + – x + 3 (x + 1)(7 − x).2 = ⇔ (x + 1)(7 – x) = ⇔ x = −1 x = , thỏa mãn phương trình cho Vậy phương trình có hai nghiệm x = – , x = Phương pháp đưa phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Áp dụng đẳng thức biến đổi dạng bình phương đưa phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (chú ý xét điều kiện để khai triển dấu giá trị tuyệt đối) Phương pháp đặt ẩn phụ: Thí dụ: giải phương trình: 3x2 + 21x + 18 + x + 7x + = (1) Giải: Đk: ≥ Đặt x + 7x + = y ⇒ x2 + 7x + 7= y2 ⇔ 3y2 – + 2y = (1) ⇔ 3y2 + 2y – = 29 Trêng : THCS Đinh Xá Phng phỏp bt ng thc Chng tỏ tập giá trị hai vế khác phương trình vơ nghiệm Thí dụ: Giải phương trình x − − 5x − = 2x − (*) Giải: x ≥ x −1 ≥ Điều kiện: 5x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ 2x − ≥ x ≥ Với điều kiện ta có < nên x < 5x x − < 5x − nên vế trái (*) số âm Ta lại có > nên 2x – > nên vế phải (*) số dương Vậy phương trình vơ nghiệm Sử dụng tính đối nghịch hai vế Thí dụ: Giải phương trình x − + − x = x − 6x + 11 Giải: x − ≥ x ≥ ⇔ 4 − x ≥ x ≤ Điều kiện Ta có: x2 – 6x + 11 = (x – 3)2 + ≥ 2 A + B2 A + B ≥ Áp dụng bất đẳng thức ÷ vào vế trái ta x −2 + 4−x ≤ Dấu “ = ” xảy x – = – x ⇔ x = Vậy hai vế x = Giá trị x = thỏa mãn điều kiện ≤ x ≤ Vậy phương trình có nghiệm x = Sử dụng điều kiện xảy dấu “ = ” bất đẳng thức: Thí dụ: Giải phương trình : x x+2 + =2 x x+2 Giải: Điều kiện x + ≥ ⇔ x ≥ – (*) a b + ≥ với a, b > dấu “ = ” xảy a = b b a Do phương trình tương đương x + = x Ta có bất đẳng thức Điều kiện x > (**) Bình phương hai vế ta có: x = −1 x + = x2 ⇔ x2 – x – = ⇔ x = Kết hợp với điều kiện (*) (**) phương trình cho có nghiệm x = Bài tập: Bài Giải phương trình 2.1 x + 2x + = − x 30 Trêng : THCS Đinh Xá 2.2 + 2x x = x − 2.3 − 2z + x = z − 2.4 z − = − z Bài Giải phương trình 3.1 3x + − x + = 3.2 11 − x − x − = 3.3 x − − 5x − = 3x − Bài Giải phương trình 3x + 6x + + 5x + 10x + = − 2x − x Bài Giải phương trình x 4x − + =2 x 4x − Bài Giải phương trình x + 2− x − + x + −6 x − =1 BÀI TOÁN CỰC TRỊ A – ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC Tìm giá trị nhỏ nhất: Đưa dạng M = A2 + B ≥ B ⇒ Min M = B ⇔ A= Bài Áp Dụng: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau 7.1.A = 9x2 + 12x + 7.2.B = x(x + 1)(x2 + x – 4) 7.3.C = (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) 7.4.D = x + x + 7.5.E = x − x + + 7.6.F = x( x + 1)( x + 2)( x + 3) + 7.7.M = x4 – 6x2 + 10 7.8.N = x6 – 2x3 + x2 – 2x + 7.9.P = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 7.10 Q = 2x2 + 2xy + y2 – 2x – 2y + 7.11 T = 4x2 + y2 + 9z2 – 12x + 2y – 6z + 13 Tìm giá trị lớn nhất: Đưa dạng M = - A2 + B ≤ B ⇒ Max M = B ⇔ A= Bài Áp Dụng: Tìm giá trị lớn biểu thức sau 8.1.A = – 4x – 4x2 8.2.B = – x4 – 4x3 – 4x2 8.3.C = 2x2(6 – 2x2) 8.4.D = - + − x + x 8.5.E = x − x + 21 8.6.F = -2x2 – y2 – 2xy + 4x + 2y + 8.7.I = -x2 – 4y2 – z2 + 2x + 12y + 6z – 18 B - XỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÓ DẠNG A+ B ≤ A + B A− B ≥ A B 31 Trờng : THCS Đinh Xá Du = xảy ⇔ A.B ≥ Bài Áp Dụng: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau 9.1.M = 25 x − 20 x + + 25 x − 30 x + x + 20 x + 25 + x − x + 16 = x + 18 x + 81 III-GIẢI CÁC BÀI TỐN CĨ LỜI VĂN BÀI 1: Hiện tuổi mẹ 2,4 lần tuổi Mười năm trước tuổi mẹ gấp 5,2 lần tuổi Hỏi sau năm tuổi mẹ gấp đôi tuổi con? HD: Tuổi x, tuổi mẹ 2,4x ta có 2,4x- 10 = 5,2( x-10) ⇒ x= 15 Vậy tuổi 15, tuổi mẹ 36 Ta lại có 36+y = 2( 15+y) ⇒ y = Vaäy năm tuổi mẹ gấp lần tuổi BÀI 2:Năm 27 tuổi Năm mà tuổi bạn bạn nửa tuổi bạn tuổi? HD: x tuổi bạn Trước ( 27-x) năm ta có: x x-(27-x) = ⇒ x = 18 Bài 3: Hai anh em có tuổi cộng lại 63 Tuổi người anh gấp đôi tuổi người em lúc người anh tuổi em hỏi tuổi người HD: x tuổi anh ⇒ tuổi em 63 – x Khi anh tuổi em ,tức trước x – ( 63 – x) năm , ta có tuổi em lúc : 63 – x – [ x –( 63 – x ) ] = 126 – 3x ⇒ x = 36 Bài Khối có tất 264 học sinh gồm lớp chọn dành cho học sinh lớp thường Nếu chuyển a học sinh lớp thường sang lớp chọn , lại tuyển thêm ngòai cho lớp chọn học sinh số học sinh lớp chọn 65% số học sinh lớp thường Hỏi lúc đầu số học sinh lớp thường bao nhiêu? HD: x số HS lớp thường ( ÑK…) ( x – a).65% = 264 – x + 2a ⇒ x = 213 Bài : Một cửa hàng có 472 lít dầu chứa thùng chứa lớn Nhưng người ta phát thùng thứ I có lỗ thủng phía , nên liền laỏy bụựt ụỷ 32 Trờng : THCS Đinh Xá thửứng thứ I 50 lít đổ vào thùng thứ II lúc thùng thứ II chứa nhiều thùng thứ I 24 lít Tính xem lúc đầu thùng đựng lít dầu ? ĐS:Th I = 274 lít Bài 6: (dạng tìm số) Một số A có chữ số Nếu ta viết thêm số vào trước số ta số có chữ số , thêm chữ số vào sau số ta số có chữ số Biết số viết lần sau số viết lần trước 36 đơn vị Tìm số A ⇒ b chia hết HD: 100 +10a + b +36 = 100a +10b +1 ⇒ 10a + b = 15 cho • b = ⇒ a = 1,5 ( lọai) • b = ⇒ a = ⇒ A = 15 Baøi 7: Có xe I, II , III Phải chuyển 1560 hàng đến địa điểm cách kho hàng laø 30 km , 45 km , 60 km người ta giao cho xe chuyển số hàng tỉ lệ nghịch với khỏang cách cần vận chuyển Hỏi xe cần phải chở hàng? HD: Số hàng tỉ lệ nghịch với 30,45,60 tức tỉ lệ thuận với 1 , , Nhân 30 45 60 phân số với BCNN( 30,45,60) = 180 Vậy số hàng vận chuyển tỉ lệ thuận với 5,4,3 Gọi x,y,z số hàng vận chuyển xe I, II,III ta có: x y z x + y + z 1560 = = = = = 130 12 12 ⇒ x = 650, y = 520, z = 390 Câu 5: Lớp 9A có 56 bạn, có 32 bạn nam Cô giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành tổ học tập: - Mỗi tổ gồm có bạn nam, bạn nữ - Số bạn bạn nam, bạn nữ chia vào tổ - Số người tổ không 15 người khơng chín người Em tính xem giáo xếp có tất tổ ? * Gọi số bạn nam chia vào tổ x, số bạn nam chia vào tổ y, x, y nguyên dương Theo đề ta có hệ: 32 24 = x y (1) 33 ... tất 264 học sinh gồm lớp chọn dành cho học sinh lớp thường Nếu chuyển a học sinh lớp thường sang lớp chọn , lại tuyển thêm ngòai cho lớp chọn học sinh số học sinh lớp chọn 65% số học sinh lớp thường... 12:Không dùng máy tính bảng số hÃy chứng tá 101 − 99 > 0,1 Gi¶i 101 − 99 = 101 + 99 V× < 101 + 99 < 100 ( Suy tõ bµi 10a ) ⇔ 101 + 99 > ⇔ 100 − 99 > 0,1 100 Bµi 22: a Chøng minh r»ng víi mäi n... không? Hớng dẩn: Đặt S=1+2+3+4+ +98 +99 Theo ta cã A-S chia hÕt cho 6,trong ®ã S= 99 (99 + 1) = 6.33.25 ⇒ S M Do ®ã A M 6 Bµi4:(Thi häc sinh giỏi T.P-HCM năm học 2003-2004) Chứng minh rằng: (