Tài liệu ôn toán lớp 9, luyện thi vào lớp 10 trung học phổ thông tham khảo (8)

Đề thi tuyển sinh năm học 1999 2000 Bài 1 : Cho biểu thức A = x24 4x4x 2 + 1/ Với giá trị nào của x thì A có nghĩa? 2/ Rút gọn A. 3/ Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1,999 Bài 2 : Giải hệ phơng trình : = + = 5 2y 3 x 4 1 2y 1 x 1 Bài 3 : Tìm giá trị của a để phơng trình : (a 2 2a 3)x 2 + (a + 2)x 3a 2 = 0 nhận x = 2 làm nghiệm. Tìm nghiệm còn lại của phơng trình? Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D không trùng với A và B. Đờng tròn (O) đờng kính BD cắt BC tại E. Đờng thẳng AE cắt (O) tại G. Đờng thẳng CD cắt (O) tại F. Gọi S là giao điểm của đờng thẳng AC và BF. Chứng minh : 1/ Đờng thẳng AC song song với đờng thẳng FG. 2/ SA.SC = SB.SF 3/ Tia ES là phân giác của góc AEF. Bài 5 : Giải phơng trình : 361x12xx 2 =+++ Dớng dẫn Bài 1 : 1/ Đk : x 2. 2/ = A -1/2 nếu x > 2 hoặc A = 1/2 nếu x < 2. 3/ A = 1/2. Bài 2 : nghiệm của hpt là (x = 7/3; y = 25/9) Bài 3 : a = 3 + 17 , a = 3 - 17 - Với a = 3 + 17 ta có pt : 17x 2 + (5 + 17 )x 78 - 6 17 = 0. Khi đó x 2 = 17 1739 + - Với a = 3 - 17 ta có pt : 17x 2 + (5 - 17 )x 78 + 6 17 = 0. Khi đó x 2 = 17 1739 Bài 4 : 1/ Có tứ giác DEGF nt (O) ã DFG + ã DEG = 180 0 Lại có ã DEA + ã DEG = 180 0 ã DFG = ã DEA Mặt khác tứ giác ACED nt ã ACD = ã DEA ã ACD = ã DFG Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AC // FG 2/ SFC ~ SAB (g.g) SB SC SA SF = SF.SB = SA.SC 3/ Có tứ giác AEBS nt ã AES = ã ABS , ã SEF = ã ABS ã AES = ã SEF đpcm. Bài 5 : Đk : x -1. Đặt 1x + = t (t 0) x + 1 = t 2 x = t 2 1, khi đó ta có pt : t 4 t 2 +12t 36 = 0 (t 2)(t + 3)(t 2 t + 6) = 0 t = 2, t = -3 (loại). x = 3 Vậy n 0 của pt là x = 3 Đề thi tuyển sinh năm học 2001 2002 D E O B A C G F S Bài 1 : Rút gọn biểu thức : M = a1 1 .a a1 aa1 + + với a 1a;0 Bài 2 : Tìm 2 số x và y thoả mãn điều kiện : = =+ 12xy 25yx 22 Bài 3 : Hai ngời cùng làm chung một công việc sẽ hoàn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi ngời làm riêng để hoàn thành công việc ngời thứ nhất làm ít hơn ngời thứ hai 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngời sẽ làm trong bao lâu thì hoàn thành công việc. Bài 4 : Cho các hàm số : y = x 2 (P) và y = 3x + m 2 (d) 1/ Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của m thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. 2/ Gọi y 1 và y 2 là tung độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để có đẳng thức : y 1 + y 2 = 11y 1 y 2 Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm M (khác A và C). Vẽ (O) đờng kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với (O). Nối BM kéo dài cắt (O) tại D, đ- ờng thẳng AD cắt đờng tròn tại S. Chứng minh : 1/Tứ giác ABTM nội tiếp một đờng tròn. 2/ Khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì góc ADM có số đo không đổi. 3/ Đờng thẳng AB song song với đờng thẳng ST Dớng dẫn Bài 1 : M = a1 + Bài 2 : Nghiệm của hpt là : (x = 3; y = 4), (x = 4; y = 3), (x = -3; y = -4), (x = -4; y = -3) Bài 3 : PT : 4 1 6x 1 x 1 = + + . Ngời thứ nhất 6h. Ngời thứ hai 12h. Bài 4 : Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là n 0 của pt : x 2 = 3x + m x 2 - 3x m 2 = 0 (1) 1/ Có = (-3) 2 4.1.(-m 2 ) = 9 + 4m 2 Vì m 2 0 với mọi m nên 4m 2 0 với mọi m. 9 + 4m 2 > 0 với mọi m hay > 0 với mọi m (1) luôn có 2 n 0 p/b với mọi m (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm p/b với mọi m. 2/ Gọi x 1 , x 2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P) thì y 1 = 3x 1 + m 2 , y 2 = 3x 2 + m 2 và x 1 , x 2 là n 0 của (1). Theo Vi et có : x 1 + x 2 = 3 và x 1 x 2 = -m 2 . Khi đó để y 1 + y 2 = 11y 1 y 2 thì 3x 1 + m 2 + 3x 2 + m 2 = 11(3x 1 + m 2 )(3x 2 + m 2 ) 3(x 1 + x 2 ) + 2m 2 = 11[9x 1 x 2 + 3m 2 (x 1 + x 2 ) + m 4 ] 3.3 + 2m 2 = 11[9(-m 2 ) + 3m 2 .3 + m 4 ] 9 + 2m 2 + 99m 2 99m 2 11m 4 = 0 11m 4 - 2 m 2 9 = 0 (*) Giải (*) ta đợc m = 1, m = -1, m = 11 3 , m = - 11 3 . Bài 5 : 1/ Có ã BAM + ã BTM = 180 0 tứ giác ABTM nt M D S T O C A B 2/ Có ã SDM = ã TCM hay ã ADM = ã ACB . Mà ã ACB có sđ không đổi nên ã ADM không đổi khi M di chuyển trên AC. 3/ Có ã SDM = ã TCM , ã SDM = ã SCM ã TCM = ã SCM MT = MS MTS cân tại M p/g MC đồng thời là đờng cao MC ST ST // AB. Đề thi tuyển sinh năm học 2002 2003 Bài 1 : Cho biểu thức : S = yx xy2 : xyy y xyx x + + với x > 0, y > 0 và x y 1/ Rút gọn S. 2/ Tìm giá trị của x và y để S = 1. Bài 2 : Trên Parabol y = 2 1 x 2 lấy 2 điểmA và B, biết hoành độ của A là x A = -2 và tung độ của B là y B = 8. Viết phơng trình đờng thẳng AB. Bài 3 : Xác định giá trị của m để phơng trình x 2 8x + m = 0 có nghiệm là 4 + 3 . Với giá trị m vừa tìm đợc phơng trình còn một nghiệm nữa, hãy tìm nghiệm ấy. Bài 4 : Cho hình thang cân ABCD (AB // CD và AB < CD) nội tiếp (O). Tiếp tuyến với (O) tại A và tại D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD. 1/ Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp một đờng tròn. 2/ Chứng minh các đờng thẳng EI // AB. 3/ Đờng thẳng EI cắt các cạnh bên AD và BC tại R và S. Chứng minh rằng : a. I là trung điểm của RS. b. RS 2 CD 1 AB 1 =+ . Bài 5 : Tìm tất cả các cặp số (x; y) nghiệm đúng phơng trình : (16x 4 + 1)(y 4 + 1) = 16x 2 y 2 . Hớng dẫn Bài 1 : 1/ S = y 1 . 2/ S = 1 khi x > 0, x 1 và y = 1. Bài 2 : x A = -2 y A = 2, y B = 8 x B = 4. Khi đó pt đt AB là : y = x + 4; y = -3x 4. Bài 3 : m = 13, x 2 = 4 - 3 Bài 4 : 1/ Có : ã AED = 1/2(sđ ẳ ABD - sđ ằ AD ) ã AID = 1/2 (sđ ằ AD + sđ ằ BC ) Lại có : AD = BC sđ ằ AD = sđ ằ BC ã AED + ã AID = 1/2(sđ ẳ ABD - sđ ằ AD ) + 1/2(sđ ằ AD + sđ ằ BC ) = 1/2.360 0 = 180 0 . Tứ giác AEDI nt. 2/ Có ã AIE = ã ADE , ã BAC = ADE AIE = BAC AB // EI. 3.a/ Có ACD = BDC ICD cân tại I. IC = ID. SIC = IDC, RID = IDC SIC = RID. RDI = SCI (g.c.g) RI = SI. b/ Có DC RI AC AI = , AB SI CA CI = (hệ quả định lí Talet) 1 AC AC AC ICAI CD RI AB SI == + =+ Mà SI = RI = 2 1 RS RS 2 CD 1 AB 1 =+ Bài 5 : (16x 4 + 1)(y 4 + 1) = 16x 2 y 2 16x 4 y 4 + 16x 4 + y 4 + 1 16x 2 y 2 = 0. (16x 4 y 4 - 8 x 2 y 2 + 1) + (16x 4 - 8 x 2 y 2 + y 4 ) = 0 (x 2 y 2 1) 2 + (4x 2 y 2 ) 2 = 0 = = 0yx4 01yx 22 22 = = 1y 2 1 x , = = 1y 2 1 x , = = 1y 2 1 x , = = 1y 2 1 x Đề thi tuyển sinh năm học 2003 2004 I R O C E D A B S Bài 1 : Giải hệ phơng trình : = + + = + + 7,1 yx 1 x 3 2 yx 5 x 2 Bài 2 : Cho biểu thức P = xx x 1x 1 + + với x > 0 và x 1. 1/ Rút gọn P. 2/ Tính giá trị của P khi x = 2 1 Bài 3 : Cho đờng thẳng (d) : y = ax + b. Biết đờng thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 và song song với đờng thẳng y = -2x + 2003. 1/ Tìm a và b. 2/ Tìm toạ độ các điểm chung (nếu có) của (d) và parabol (P) : y = 2 1 x 2 . Bài 4 : Cho (O) và điểm A cố định nằm ngoài (O). Từ A kẻ các tiếp tuyến AP và AQ với (O) (P và Q là tiếp điểm). Đờng thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đờng thẳng AQ tại M. 1/ Chứng minh rằng MO = MA 2/ Lấy N trên cung lớn PQ của (O) sao cho tiếp tuyến tại N của (O) cắt các tia AP, AQ lần lợt tại B và C. Chứng minh : a/ AB + AC BC không phụ thuộc vào vị trí của N. b/ Nếu tứ giác BCQP nội tiếp một đờng tròn thì PQ // BC. Bài 5 : Giải phơng trình 3x2x3x2x3x2x 22 +++=++ Hớng dẫn Bài 1 : Nghiệm của hpt là : (x = 2; y = 3) Bài 2 : 1/ P = 1x 1x + . 2/ Với x = 2 1 thì P = (1 + 2 ) 2 . Bài 3 : 1/ a = -2, b = 2. 2/ Toạ độ giao điểm của (d) và (P) là : (2; -2). Bài 4 : 1/ Có OM//AP AOM = OAP, OAQ = OAP AOM = OAQ MAO cân tại M MO =MA 2/ Có BP = BN, CQ = CN, AP = AQ (T/c 2 tt cắt nhau) AB + AC BC = AP + PB + AQ + QC BN CN = AP + AQ = 2AP = const. 3/ Có tứ giác BCQP nt PBC + PQC = 180 0 Lại có AQP + PQC = 180 0 PBC = AQP C O Q B P A M N Mà AQP = APQ nên APQ = PBC PQ // BC. Bài 5 : 3x2x3x2x3x2x 22 +++=++ (đk : x 3) 03x)2x)(1x(2x)3x)(1x( =+++++ 0)11x(2x)11x(3x =+++ 0)2x3x)(11x( =++ =+ =+ 02x3x 011x += == 1x3x 0x11x Vậy PTVN. Đề thi tuyển sinh nămhọc 2004 2005 Bài 1 : 1/ Đơn giản biểu thức P = 56145614 ++ 2/ Chobiểu thức Q = x 1x . x 2x 1x2x 2x + ++ + với x > 0 và x 1 a/ Chứng minh Q = 1x 2 b/ Tìm số nguyên x lớn nhất để Q nhận giá trị là số nguyên. Bài 2 : Cho hệ phơng trình =+ =++ a2yax 4yx)1a( (a là tham số) 1/ Giải hpt khi a = 1. 2/ CMR với mọi a hpt luôn vó nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x + y 2. Bài 3 : Cho (O) đờng kính AB = 2R. Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (O) tại A. M và Q là 2 điểmphân biệt chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A. Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt (O) tại các điểm thứ 2 là N và P. Chứng minh : 1/ BM.BN không đổi. 2/ Tứ giác MNPQ nội tiếp một đờng tròn. 3/ Bất đẳng thức : BN + BP + BM + BQ > 8R. Bài 4 : Tìm GTNN của hàm số : y = 5x2x 6x2x 2 2 ++ ++ Hớng dẫn Bài 1 : 1/ P = 6. 2.b/ Để Q Z thì x 1 Ư (2) . Để x lớn nhất thì x 1 = 2 x = 3. Bài 2 : 1/ Với a = 1 hpt có n o là (x = 2; y = 0) 2/ Giải hpt ta tìm đợc n o cua hpt (x = -2a + 4; y = 2a 2 2a) Xét x + y 2 = -2a + 4 + 2a 2 2a 2 = 2a 2 4a + 2 = 2(a 2 2a + 1) = 2(a + 1) 2 2 x + y 2. Bài 3 : 1/ ABN ~ MBA (g.g) AB BN BM AB = BM.BN = AB 2 = 4R 2 = const. 2/ Có MQP = 2 1 (sđ AB sđ ANP) = 2 1 sđ BP PNB = 2 1 sđ BP MQP = PNB Lại có PNB+ PNM =180 0 MQP+ PNM =180 0 Tứ giác MNPQ nt 3/ A/d bđt Cô-si có : BM + BN 2 BN.BM = 2 2 R4 =4R. Dấu = xảy ra khi BM = MN M N. Trái GT BM + BN > 4R. MTT đợc BP + BQ > 4R BM + BN + BP + BQ > 8R. Bài 4 : Xét y 2 = 5x2x )6x2x( 2 22 ++ ++ Có x 2 + 2x + 5 = (x + 1) 2 + 4 4, (x + 1) 2 + 5 5 [(x + 1) 2 + 5] 2 25 Khi (x + 1) 2 + 4 thêm bao nhiêu thì (x + 1) 2 + 5 cũng tăng lên bấy nhiêu. y 2 4 25 y 2 5 . Vậy GTNN của y là 2 5 khi x = -1. Đề thi tuyển sinh nămhọc 2005 2006 Bài 1 : 1/ Tính giá trị của biểu thức P = 347347 ++ . 2/ Chứng minh : ( ) ba ab abba . ba ab4ba 2 = + + với a > 0 và b > 0. Bài 2 : Cho pa rabol (P) : y = 2 1 x 2 và đờng thẳng (d) : y = mx m + 2 (m là tham số) 1/ Tìm m để (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4. 2/ Chứng minh rằng với mọi ggiá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 3/ Giả sử (x 1 ; y 1 ) và (x 2 ; y 2 ) là toạ độ giao điểm của (d) và (P). Chứng minh rằng : y 1 + y 2 ( ) ( ) 21 xx122 + Bài 3 : Cho BC là dây cung cố định của (O; R) với R < BC < 2R. A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho ABC nhọn. Các đờng cao AD, BE, CF của ABC cắt nhau tại H (H BC, E CA, F AB). 1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đợc một đờng tròn. Từ đó suy ra AE.AC = AF.AB 2/ Gọi A là trung điểm của BC. Chứng minh AH = 2AO. 3/ Kẻ đờng thẳng (d) tiếp xúc với (O) tại A. Đặt S là diện tích của ABC, 2p là chu vi của DEF. a. Chứng minh : d // EF. b. Chứng minh : S = p.R Bài 4 : Giải phơng trình : x244x2216x9 2 ++=+ Hớng dẫn Bài 1 : 1/ P = 4. Bài 2 : Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là n o của pt : d P N O A B M Q 2 1 x 2 = mx m + 2 x 2 2mx + 2m 4 = 0 (1) 1/ Để (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4 thì : 4 2 2m.4 + 2m - 4 = 0 m = 3/2 2/ Xét (1) có = (-m) 2 1.(2m 4) = m 2 2m + 4 = (m + 1) 2 + 3 > 0 với mọi m (1) luôn có 2 n o p/b với mọi m (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm p/b. 3/ Vì x 1 , x 2 là hoành độ giao điểm cuả (d) và (P) nên x 1 , x 2 là n o của (1). Theo Vi-et có :x 1 + x 2 = 2m. Có y 1 = mx 1 m + 2, y 2 = mx 2 m + 2. Khi đó : y 1 + y 2 ( ) ( ) 21 xx122 + đợc viết lại : m(x 1 + x 2 ) 2m + 4 ( ) ( ) 21 xx122 + m(x 1 + x 2 ) 2m + 4 ( ) ( ) 21 xx122 + m.2m 2m + 4 - ( ) m2122 0 2m 2 2m + 4 - 4 2 m + 2m 0 2m 2 + 4 - 4 2 m 0 2(m - 2 ) 2 0 với mọi m. Vậy y 1 + y 2 ( ) ( ) 21 xx122 + Bài 4 : d H O C B A D E F K A ' 1/ Tứ giác BCEF có BEC = BFC = 90 0 Tứ giác BCEF nt (tứ giác có 2 đỉnh liên ) Có ACF ~ ABE (g.g) AE AF AB AC = AC.AE = AB.AF 2/ Kẻ đk CK của (O). Có OA là đờng trung bình của KBC OA = 1/2BK Chứng minh tứ giác AKBH là hbh BK = AH AH = 2OA. 3.a/ Có tứ giác BFECnt BCE + BFE = 180 0 BFE + AFE = 180 0 BCE = AFE Lại có BCA = BAd = 1/2sđ cung AB AFE = BAd d// EF b/ Vì d là tt của (O) nên d OA, mà FE // d FE OA CMTT ta đợc : FD OB, ED OC S ABC = S AEOF + S BDOF + S CEOD = 2 1 OA.FE + 2 1 OB.DF + 2 1 OC.DE = 2 1 R(FE + DF + DE) = 2 1 R.2p = p.R Bài 4 : x244x2216x9 2 ++=+ (đk : -2 x 2) 9x 2 + 16 = 4(2x + 4) + 16(2 - x) + 16 )x2)(4x2( + 9x 2 + 16 8x 16 32 + 16x = 16 )x2)(4x2( + 9x 2 + 8x 32 = 16 )x2)(4x2( + 81x 4 + 64x 2 + 1024 + 144x 3 572x 2 512x = 256(4x 2x 2 +8 4x) 81x 4 + 144x 3 512x 2 512x + 1024 + 512x 2 2048 = 0 81x 4 + 144x 3 512x 1024 = 0 (9x 2 32)(9x 2 + 32) + 16x(9x 2 32) = 0 (9x 2 32)(9x 2 + 16x + 32) = 0 =++ = )2(032x16x9 )1(032x9 2 2 Giải (1) ta đợc x = 3 24 Giải (2) : PT (2) VN Đề thi tuyển sinh năm 2006 2007 Bài 1 : Cho biểu thức A = + + 2x 1x 1x 2x : 1x 1 x 1 với x > 0, x 1, x 4. 1/ Rút gọn A. 2/ Tìm x để A = 0. Bài 2 : Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho parabol (P) : y = x 2 và đờng thẳng (d) : y = 2(a 1)x + 5 2a (a là tham số). 1/ Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và parabol (P). 2/ Chứng minh rằng với mọi a (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 3/ Gọi hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x 1 , x 2 . Tìm a để x 1 2 + x 2 2 = 6. Bài 3 : Cho (O) đờng kính AB. Điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O). Kẻ dây MN vuông góc với AB tai I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (M khác M, N, B) Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh : 1/ Tứ giác IECB nội tiếp. 2/ AM 2 = AE.AC. 3/ AE.AC AI.IB = AI 2 . Bài 4 : Cho a 4, b 5, c 6 và a 2 + b 2 + c 2 = 90. Chứng minh : a + b + c 16. Hớng dẫn Bài 1 : 1/ A = x3 2x . 2/ A = 0 x3 2x = 0 2x = 0 x = 4 (loại) Bài 2 : Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là n o của pt : x 2 = 2(a 1)x + 5 2a x 2 2(a 1)x + 2a 5 = 0 (1) 1/ Với a = 2 thì ta có pt : x 2 2x 1 = 0. Giải pt ta đợc x 1 = 1 + 2 , x 2 = 1 - 2 Toạ độ giao điểm của (d) và (P) là (1 + 2 ; 3 + 2 ), (1 - 2 ; 3 - 2 ) 2/ Xét (1) có = [-(a 1)] 2 1.(2a 5) = a 2 2a + 1 2a +5 = a 2 4a + 4 = (a 2) 2 0 với mọi m (1) luôn có 2 n o p/b (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm p/b. 3/ Vì x 1 , x 2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P) nên x 1 , x 2 là n o của (1). Theo Vi-et ta có x 1 + x 2 = 2(a - 1), x 1 .x 2 = 2a 5 Để x 1 2 + x 2 2 = 6 ( x 1 + x 2 ) 2 - 2 x 1 .x 2 = 6 thì [2(a 1)] 2 2(2a 5) = 6 4a 2 8a + 4 4a + 10 6 = 0 4a 2 12a + 8 = 0 a 2 3a + 2 = 0 a = 1, a = 2. Bài 3 : 1/ Tứ giác IECB có EIB + ECB = 90 0 + 90 0 = 180 0 Tứ giác IECB nt A E I O B M N C 2/ Có AB MN tại I nên MI = NI AB là trung trực của MN AM = AN sđ cung AM = sđ cung AN AMN = ACM AME ~ ACM (g.g) AM AE AC AM = AM 2 = AE.AC 3/ Có AM 2 = AI.AB = AI(AI + IB) = AI 2 + AI.IB AM 2 AI.IB = AI 2 AE.AC AI.IB = AI 2 . Bài 4 : Đặt a = x + 4 (x 0), b = y + 5 (y 0), c = z + 6 (z 0), khi đó : a 2 + b 2 + c 2 = 90 đợc viết lại là : (x + 4) 2 + (y + 5) 2 + (z + 6) 2 = 90 x 2 + 8x + 16 + y 2 + 10y + 25 + z 2 + 12z + 36 = 90 x 2 + 8x + y 2 + 10y + z 2 + 12z = 13 Có x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2xz + 12x + 12y + 12z x 2 + 8x + y 2 + 10y + z 2 + 12z = 13 (x + y + z) 2 + 12(x + y + z) 13 Nếu x + y + y < 1 thì (x + y + z)2 + 12(x + y + z) < 13 (Vô lí) Nếu x + y + y 1 thì a + b + c = x + y + z + 15 1 + 16 = 16. Đề thi tuyển sinh năm 2007 2008 Bài 1 : Cho biểu thức P = + ++ + 3x 4x2x x. 2x 5 1 với x 0 và x 4 1/ Rút gọn P. 2/ Tìm x để P > 1 Bài 2 : Cho phơng trình x 2 2(m + 1)x + m 4 = 0 (1), (m là tham số). 1/ Giải phơng trình (1) với m = -5. 2/ Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 với mọi m. 3/ Tìm m để 21 xx đạt GTNN (x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2/). Bài 3 : Cho (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đờng thẳng AB không đi qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O), (E, F là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của dây cung AB; các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF vơi các đờng thẳng OM và OH. 1/ Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đờng tròn. 2/ Chứng minh : OH.OI = OK.OM 3/ Chứng minh IA, IB là các tiếp tuyến của (O). Bài 4 : Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn : x 2 + 2y 2 + 2xy 5x 5y = -6 để x + y là số nguyên. Hớng dẫn Bài 1 : 1/ P = 2x 4x . 2/ P = 1 khi 0 x < 4. Bài 2 :1/ Khi m = -5, ta có pt x 2 + 8x - 9 = 0 x 1 = 1, x 2 = -9. 2/ Có = [-(m + 1)] 2 1.(m 4) = m 2 + 2m + 1 m + 4 = m 2 + m + 5 = (m + 2 1 ) 2 + 4 19 >0 PT luôn có 2 n o p/b với mọi m. 3/ N o của pt là x 1 = m + 5mm 2 ++ , x 2 = m - 5mm 2 ++ 5mmm5mmmxx 22 21 ++++++= = 5mm2 2 ++ = 2 5mm 2 ++ Có m 2 + m + 5 = (m + 2 1 ) 2 + 4 19 4 19 5mm 2 ++ 2 19 2 5mm 2 ++ 19 . Vậy GTNN của 21 xx là 19 khi m = -1. Bài 3 : K O A M I B E F H 1/ 5 điểm M, E, O, H, F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính MO. 2/ OHM ~ OKI (g.g) OI OM OK OH = OH.OI = OM.OK 3/ Có MEO ~ EKO (g.g) OK OE OE MO = MO.OK = OE 2 Mà OE = OA nên MO.OK = OA 2 OK OA OA MO = MOA ~ AOK (c.g.c) OMA = OAK. Mà OMA = OIK (cmt) OAK = OIK Tứ giác IAKO nt (tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp ) OAI = OKI = 90 0 (2 góc nt cùng chắn cung OI của (IAKO)) OA IA IA là tt của (O). Lại có OAI = OBI = 90 0 IB là tt của (O). Bài 4 : x 2 + 2y 2 + 2xy 5x 5y = -6 (1) Cách 1 : Đặt x + y = t (t Z) y = t x y 2 = t 2 2xt + x 2 ta đợc pt : x 2 +2(t 2 2tx + x 2 ) +2x(t x) 5x 5(t x) + 6 = 0. x 2 +2t 2 4tx + 2x 2 + 2xt 2x 2 5x 5t + 5x + 6 = 0 x 2 - 2xt + 2t 2 5t + 6 = 0 (*) Có ' = (-t) 2 -1.(2t 2 5t + 6) = t 2 2t 2 + 5t 6 = -t 2 + 5t 6 Để (1) có n o (x; y) thì (*) có n o x. Để (*) có n o x thì ' 0 hay -t 2 + 5t 6 0 t 2 - 5t + 6 0 (t - 3)(t - 2) 0 2 t 3 pt (*) có n o x 1, 2 = t 6t5t 2 + Mà t Z nên t {3; 2}. - Với t = 3 thì x = 3 y = 0. - Với t = 2 thì x = 2 y = 0. Vậy với (x = 3; y = 0), (x = 2; y = 0) thì x 2 + 2y 2 + 2xy 5x 5y = -6 và x + y là số nguyên. Cách 2 : x 2 + 2y 2 + 2xy 5x 5y = -6 (x + y) 2 5(x + y) + 6 + y 2 = 0, (x + y 3)(x + y 2) + y 2 = 0. - Nếu y = 0 thì = = 02x 03x = = 2x 3x - Nếu y 0 thì y 2 0, khi đó : (x + y 3)(x + y 2) + y 2 = 0 (x + y 3)(x + y 2) < 0 <+ >+ >+ <+ 02yx 03yx 02yx 03yx <+ >+ >+ <+ 2yx 3yx 2yx 3yx <+< líôV 3yx2 Vì x + y Z nên không có số nguyên nào thoả mãn lớn hơn 2 và nhỏ hơn 3. Do đó không có cặp số (x; y) nào thoả mãn 2 < x + y < 3. . 16 )x2)(4x2( + 81x 4 + 64x 2 + 102 4 + 144x 3 572x 2 512x = 256(4x 2x 2 +8 4x) 81x 4 + 144x 3 512x 2 512x + 102 4 + 512x 2 2048 = 0 81x 4 + 144x 3 512x 102 4 = 0 (9x 2 32)(9x 2 . + 8x + 16 + y 2 + 10y + 25 + z 2 + 12z + 36 = 90 x 2 + 8x + y 2 + 10y + z 2 + 12z = 13 Có x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2xz + 12x + 12y + 12z x 2 + 8x + y 2 + 10y + z 2 + 12z =. 2)(t + 3)(t 2 t + 6) = 0 t = 2, t = -3 (loại). x = 3 Vậy n 0 của pt là x = 3 Đề thi tuyển sinh năm học 2001 2002 D E O B A C G F S Bài 1 : Rút gọn biểu thức : M = a1 1 .a a1 aa1 + +