Đề thi Dự trữ khối A-năm 2007 Đề I Câu I: Cho hàm số 2 x 4x 3 y x 2 − + + = − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận của nó là hằng số. Câu II: 1. Giải phương trình: 1 1 sin 2x sin x 2cotg2x 2sin x sin 2x + − − = 2. Tìm m để phương trình: ( ) 2 m x 2x 2 1 x(2 x) 0 (2)− + + + − ≤ có nghiệm x 0,1 3 ∈ + Câu III: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0 1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P). 2. Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. Câu IV: 1. Tính 4 0 2x 1 I dx 1 2x 1 + = + + ∫ 2. Giải hệ phương trình: )Ry,x( 132y2yy 132x2xx 1x2 1y2 ∈ +=+−+ +=+−+ − − Câu Va (cho chương trình THPT không phân ban): 1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 = 1. Đường tròn (C') tâm I (2,2) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB 2= . Viết phương trình đường thẳng AB. 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau? Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban): 1. Giải bất phương trình: 2 x 4 2 (log 8 log x )log 2x 0+ ≥ 2. Cho lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 có AB = a, AC = 2a, AA 1 2a 5= và o 120BAC = ∧ . Gọi M là trung điểm của cạnh CC 1 . Chứng minh MB⊥MA 1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A 1 BM). Bài giải Câu I: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (Bạn đọc tự làm) 2. Gọi (C ) là đồ thị của hàm số. M(x,y) ∈ ( C ) ⇔ 7 y x 2 x 2 = − + + − Phương trình tiệm cận xiên y x 2 x y 2 0= − + ⇔ + − = khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là 1 x y 2 7 d 2 2 x 2 + − = = − khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là 2 d x 2= − Ta có 1 2 7 7 d d x 2 2 x 2 2 = − = − : hằng số. Câu II: 1. Giải phương trình : 1 1 sin 2x sin x 2cotg2x 2sin x sin 2x + − − = (1) (1) ⇔ − cos 2 2x − cosxcos2x = 2cos2x và sin2x ≠ 0 ⇔ = + + = 2 cos2x 0v2cos x cosx 1 0(VN) ⇔ cos2x = 0 ⇔ π π π = + π ⇔ = +2x k x k 2 4 2 2. Đặt 2 t x 2x 2= − + ⇔ t 2 − 2 = x 2 − 2x Bpt (2) ⇔ − ≤ ≤ ≤ ∈ + + 2 t 2 m (1 t 2),dox [0;1 3] t 1 Khảo sát 2 t 2 g(t) t 1 − = + với 1 ≤ t ≤ 2 g'(t) 2 2 t 2t 2 0 (t 1) + + = > + . Vậy g tăng trên [1,2] Do đó, ycbt ⇔ bpt 2 t 2 m t 1 − ≤ + có nghiệm t ∈ [1,2] ⇔ [ ] ∈ ≤ = = t 1;2 2 m maxg(t) g(2) 3 Câu III: 1. Ta có AB ( 2,4, 16)= − − uuur cùng phương với = − − r a ( 1,2, 8) mp(P) có PVT n (2, 1,1)= − uur Ta có uur r [ n ,a] = (6 ;15 ;3) cùng phương với (2;5;1) Phương trình mp chứa AB và vuông góc với (P) là : 2(x + 1) + 5(y − 3) + 1(z + 2) = 0 ⇔ 2x + 5y + z − 11 = 0 2. Tìm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía với Mp (P). Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P) Pt AA' : x 1 y 3 z 2 2 1 1 + − + = = − AA' cắt (P) tại H, tọa độ H là nghiệm của − + + = ⇒ − + − + = = − 2x y z 1 0 H(1,2, 1) x 1 y 3 z 2 2 1 1 Vì H là trung điểm của AA' nên ta có : H A A' H A A' H A A' 2x x x 2y y y A'(3,1,0) 2z z z = + = + ⇒ = + Ta có A'B ( 6,6, 18)= − − uuuur (cùng phương với (1;-1;3) ) Pt đường thẳng A'B : − − = = − x 3 y 1 z 1 1 3 Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình − + + = ⇒ − − − = = − 2x y z 1 0 M(2,2, 3) x 3 y 1 z 1 1 3 Câu IV: 1. Đặt 2 t 2x 1 t 2x 1 2tdt 2dx dx tdt= + ⇒ = + ⇔ = ⇔ = Đổi cận t(4) = 3, t(0) = 1 Vậy 4 3 3 2 0 1 1 2x 1 t 1 I dx dt t 1 dt 1 t t 1 1 2x 1 + = = = − + ÷ + + + + ∫ ∫ ∫ = 3 2 1 t t ln t 1 2 ln2 2 − + + = + 2. Giải hệ phương trình − − + − + = + + − + = + 2 y 1 2 x 1 x x 2x 2 3 1 (I) y y 2y 2 3 1 Đặt u = x − 1, v = y − 1 (I) thành + + = + + = 2 v 2 u u u 1 3 (II) v v 1 3 Xét hàm f(x) 2 x x 1= + + f ´(x) + + + = + = > ≥ + + + 2 2 2 2 x x x x 1 x 1 0 x 1 x 1 x 1 Vậy f đồng biến nghiêm cách trên R. Nếu u > v ⇒ f(u) > f(v) ⇒ > v u 3 3 ⇒ v > u ( vô lý ) Tương tự nếu v > u cũng dẫn đến vô lý Do đó hệ (II) + + = = + − ⇔ ⇔ = = 2 u u 2 u u 1 3 1 3 ( u 1 u) (1) u v u v Đặt: g(u) u 2 3 ( u 1 u)= + − ⇒ = + − + − ÷ ÷ + u 2 u 2 u g'(u) 3 ln3( u 1 u) 3 1 u 1 ( ) ( ) Ru,0 1u 1 3lnu1u3u'g 2 2u ∈∀> + −−+= Vậy g(u) đồng biến nghiêm cách trên R. Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1) Nên (II) ⇔ u = 0 = v Vậy (I) ⇔ x = y = 1. Câu Va: 1.Đường thẳng OI nối 2 tâm của 2 đường tròn (C), (C') là đường phân giác y = x . Do đó, đường AB ⊥ đường y = x ⇒ hệ số góc của đường thẳng AB bằng − 1. Vì AB 2= ⇒ A, B phải là giao điểm của (C) với Ox, Oy. Suy ra A(0,1);B(1,0) A'( 1,0);B'(0, 1) − − Suy ra phương trình AB : y = − x + 1 hoặc y = − x − 1. Cách khác: phương trình AB có dạng: y = − x + m. Pt hoành độ giao điểm của AB là x 2 + (− x + m) 2 = 1 ⇔ − + − = 2 2 2x 2mx m 1 0 (2) (2) có ∆ = − / 2 2 m , gọi x 1 , x 2 là nghiệm của (2) ta có : = ⇔ − = ⇔ − = 2 2 2 1 2 1 2 AB 2 2(x x ) 2 (x x ) 1 ∆ ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ± / 2 2 4 1 2 m 1 m 1 a Vậy phương trình AB : y = − x ±1 . 2. Gọi = 1 2 3 4 n a a a a là số cần lập. . TH1 : a 4 = 0, ta có 8 cách chọn a 1 (vì a 1 ≥ 2) 8 cách chọn a 2 7 cách chọn a 3 (1 cách chọn a 4 ) Vậy ta có 8.8.7.1 = 448 số n. . TH2 : a 4 ≠ 0 vì a 4 chẵn. Ta có : 4 cách chọn a 4 7 cách chọn a 1 8 cách chọn a 2 7 cách chọn a 3 Vậy ta có 4.7.8.7 = 1568 số n Vậy cả 2 trường hợp ta có : 448 + 1568 = 2016 số n. Câu Vb: 1. Điều kiện x > 0 , x ≠ 1 (1) ⇔ + ≥ ÷ 4 2 8 1 1 2log x log 2x 0 log x 2 ( ) ÷ ⇔ + + ≥ ÷ ÷ 2 2 2 1 log x log x 1 0 1 log x 3 + + ⇔ + ≥ ⇔ ≥ ÷ ⇔ ≤ − > ⇔ < ≤ > 2 2 2 2 2 2 2 2 log x 1 log x 1 (log x 3) 0 0 log x log x 1 log x 1vlog x 0 0 x vx 1 2 2. (Bạn đọc tự vẽ hình) Chọn hệ trục Axyz sao cho: A ≡ 0, ( ) −C 2a,0,0 , 1 A (0,0,2a 5) ⇒ ÷ ÷ a a 3 A(0;0;0),B ; ;0 2 2 và −M( 2a,0,a 5) ⇒ = − − = ÷ ÷ uuuur uuuuur 1 5 3 BM a ; ; 5 , MA a(2;0; 5) 2 2 Ta có: = − + = ⇒ ⊥ uuuur uuuuur 2 1 1 BM.MA a ( 5 5) 0 BM MA Ta có thể tích khối tứ diện AA 1 BM là : ∆ = = = = uuuuur uuur uuuur uuur uuuuur 3 1 2 BMA 1 1 1 a 15 V AA . AB,AM 6 3 1 S MB,MA 3a 3 2 Suy ra khoảng cách từ A đến mp (BMA 1 ) bằng = = 3V a 5 d . S 3 Cách khác: + Ta có = + = 2 2 2 2 1 1 1 1 A M A C C M 9a = + − = 2 2 2 0 2 BC AB AC 2AB.AC.cos120 7a = + = 2 2 2 2 BM BC CM 12a = + = = + 2 2 2 2 2 2 1 1 1 A B A A AB 21a A M MB ⇒ MB vuông góc với 1 MA + Hình chóp MABA 1 và CABA 1 có chung đáy là tam giác ABA 1 và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau. ⇒ = = = = 3 MABA CABA 1 ABC 1 1 1 1 V V V AA .S a 15 3 3 ⇒ = = = 1 MBA 1 1 3V 6V a 5 d(a,(MBA )) S MB.MA 3 @ PHẠM HỒNG DANH (Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và Luyện thi đại học Vĩnh Viễn) . 1 1 3V 6V a 5 d(a,(MBA )) S MB.MA 3 @ PHẠM HỒNG DANH (Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và Luyện thi đại học Vĩnh Viễn) . (2;5;1) Phương trình mp chứa AB và vuông góc với (P) là : 2(x + 1) + 5(y − 3) + 1(z + 2) = 0 ⇔ 2x + 5y + z − 11 = 0 2. Tìm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên. 3 ∈ + Câu III: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0 1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P). 2. Tìm tọa