SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG NGÃI Năm học 2009 - 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN (HỆ CHUYÊN) Tóm tắt cách giải Biểu điểm Bài 1 (3,5 điểm). 1) (1,0 điểm) Rút gọn P ( ) ( ) * 2 2 2 2 P = 15a -8a 15 +16 = (a 15) -2a 15.4 + 4 = a 15 - 4 = a 15 - 4 Thế 3 5 + 5 3 a = 8 = 15 vào (*) ta được: P = 4 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 2) (1,0 điểm) Giải phương trình: ( ) 2 2 25 10 3 1- - - =x x Điều kiện: ( ) * 2 2 2 - 10 10 2 2 25- 0 25 10 10- 0 10 x x x x x x ≤ ≤ ≥ ≤ ⇔ ⇒ ≤ ⇒ ≥ ≤ (1) 2 2 25 3 10x x⇔ − = + − 2 2 2 25 9 6 10 10x x x⇔ − = + − + − 2 10 1x⇔ − = (2) Phương trình (2) có 2 nghiệm 1 3x = ; 2 3x = − ( thỏa mãn với điều kiện ) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 1 3x = ; 2 3x = − 3) (1,5 điểm) Điều kiện 2 m -4n > 0∆ = Gọi 1 x , 2 x là nghiệm của phương trình. Không mất tính tổng quát ta giả sử 2 x > 1 x . Theo Vi-et ta có : 1 2 1 2 m n x x x x + = − = Mặt khác : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 2 2 3 3 2 1 2 1 1 2 1 2 4x x x x x x x x x x x x x x − = + − − = − + − Nên ta có : ( ) 2 2 25 4 35 5 m n m n − = − = 2 2 4 25 7 m n m n − = ⇔ = − 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Giải hệ phương trình ta được 6 1 n m − ± = = thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy các giá trị cần tìm là : 1; 6 1; 6 m n m n = = − = − = − 0,5 điểm 0,25 điểm Bài 2: ( 2,0 điểm ). 1) (1,0 điểm) Vì b là số nguyên tố khác 3 nên b 2 - 1 M 3. Ta có A = 3n + 1 + 2009b 2 = 3( n + 1 + 669b 2 ) + 2b 2 - 2 = 3( n + 1 + 669b 2 ) + 2(b 2 - 1) M 3 Do A > 3 nên A là hợp số với mọi n ∈ N. 2) (1,0 điểm) Để 2 n +18n + 2020 là số chính phương thì 2 2 n +18n + 2020 = m (1) với m nguyên, dương, (1) 2 2 m -18n -n = 2020⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 m - n +18n = 2020 m - n +9 = 2020-81=1939 m -n -9 m +n +9 =1939 ⇔ ⇔ ⇔ Mà 1939 = 1939 . 1 = 277 . 7 Nên m + n + 9 =1939 m-n -9 =1 hoặc m + n + 9 = 277 m-n -9 = 7 * Với m + n + 9 =1939 m+ n =1930 2n =1920 n = 960 m-n -9 =1 m- n =10 ⇔ ⇒ ⇒ * Với m + n + 9 = 277 m + n = 268 2n = 252 n =126 m-n -9 = 7 m -n =16 ⇔ ⇒ ⇒ Thử lại các giá trị của n vừa tìm được đều thỏa mãn đề bài. Vậy n = 960 và n = 126 là các số cần tìm. 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Bài 3 (1,0 điểm) Do x > 0 nên N > 0 N⇒ lớn nhất 1 N ⇔ nhỏ nhất. Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2010 2010 1 2.2010 2010 4.2010 4.2010 x N x x x x x x + − + + = = = + ≥ dấu “ = “ xảy ra khi 2010x = . Suy ra giá trị nhỏ nhất của 1 N là 4.2010 = 8040 đạt được khi x = 2010 Vậy với x = 2010 thì N đạt giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất là 1 8040 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Bài 4 (1,5 điểm) Vẽ hình đúng a) Chứng minh E, F nằm trên một đường tròn cố định khi (O) thay đổi. 0,25 điểm Ta có · · AEB = ACE ( cùng chắn cung EB ) ⇒ ΔAEB ΔACE (g-g): ⇒ AE AB = AC AE ⇒ 2 AE = AB.AC Vì A, B, C cố định ⇒ AB. AC không đổi Mà AE = AF ⇒ AE = AF không đổi khi (O) thay đổi. Vậy hai điểm E, F nằm trên đường tròn cố định tâm A bán kính AB.AC khi đường tròn (O) thay đổi. b) Chứng minh EK // AB: Vì IB = IC ( giả thiết ) ⇒ OI BC ⊥ Ta có · · · 0 AEO = AFO = AIO = 90 ⇒ năm điểm A, E, I, O, F cùng thuộc đường tròn đường kính AO. ⇒ · · AEF = AIF ( cùng chắn cung » AF ) · · AEF = EKF ( cùng chắn cung » EF ) · · AIF = KIC ( đối đỉnh ) ⇒ · · EKF = KIC ( hai góc ở vị trí so le trong ) ⇒ EK // AB 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Bài 5 (2,0 điểm) 1) (1,0 điểm) Gọi R là bán kính của đường tròn (O); R > 0. Do AB = BC = 2 5 cm » » AB = BC OB AC⇒ ⇒ ⊥ tại I Và IA = IC, ∆ ACD vuông tại C (nội tiếp trong đường tròn (O)) ⇒ OI // CD nên OI là đường trung bình của tam giác ∆ ACD ⇒ CD OI = = 3 2 cm Áp dụng đinh lý Pitago cho ∆ OIC ta có : OC 2 = OI 2 + IC 2 ⇔ IC 2 = R 2 - 9 Mặt khác ∆ BIC vuông, ta có : BC 2 = BI 2 + IC 2 ⇔ IC 2 = ( ) ( ) 2 2 2 5 - R -3 Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 R -9 = 2 5 - R -3 R -3R -10 = 0 R + 2 R -5 = 0⇔ ⇔ Nghiệm dương của phương trình là R = 5 thỏa mãn với điều kiện ban đầu. Do đó bán kính của đường tròn (O) là R = 5cm. 2) (1,0 điểm) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm B D A O C I K I C B E A O F Gọi C là giao điểm của đoạn OA và đường tròn, N là trung điểm của OC. Ta có : ON OM 1 = = OM OA 2 ( ) ONM OMA c.g.c AM =2MN ⇒ ∆ ∆ ⇒ : Từ đó : MA + 2MB = 2MN + 2MB ≥ 2BN (không đổi) Vậy MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2BN. Lúc đó M chính là M 0 là giao điểm của đoạn BN và đường tròn (O; R) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Ghi chú: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một trong các cách giải, mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm qui định ở từng bài. -Đáp án có chỗ còn trình bày tóm tắt, biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết cho từng bước biến đổi, lập luận; tổ giám khảo cần thảo luận thống nhất trước khi chấm. -Điểm toàn bộ bài không làm tròn số. C M B O N M A 0 TUYẾN SINH VÀO 10 NĂM HỌC 2009-2010 MA TRẬN THIẾT KẾ ĐỀ TOÁN CHUYÊN ( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Phân môn Mức độ Mạch kiến thức Nhận biết Thông hiểu Vận dụng CỘNG Số học Số nguyên tố, hợp số Bài 2.1 1,0 1 bài (2 câu) 2,0 điểm Tìm số tự nhiên theo điều kiện cho trước Bài 2.2 1,0 Đại số Căn bậc hai : rút gọn và tính giá trị của biểu thức Bài 1.1 1,0 2 bài (4 câu) 4,5 điểm Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong Đại số Bài 3 1,0 Phương trình bậc hai : Giải phương trình; điều kiện có nghiệm, không có nghiệm Bài 1.2 1,0 Định lý Vi-et Bài 1.3 1.5 Hìnhhọc Đường tròn; các yếu tố trong đường tròn; quĩ tích Bài 4.1a 0,75 Bài 4.1b 0,75 Bài 4.2 1,0 2 bài (4 câu) 3,5 điểm Bất đẳng thức, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trong hình học Bài 5 1,0 TỔNG CỘNG 3 câu 2,75 điểm 4 câu 4,25 điểm 3 câu 3,0 điểm 5 bài (10 câu) 10 điểm SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG NGÃI Năm học 2009 - 2010 Môn thi : Toán ( Hệ chuyên) Thời gian làm bài :150 phút Bài 1: (3,5 điểm) 1) Tính 2 P = 15a -8a 15 +16 khi 3 5 + 5 3 a = 2) Giải phương trình: 2 2 25- - 10- = 3x x 3) Cho phương trình x 2 + mx + n = 0. Tìm m và n để hiệu các nghiệm của phương trình bằng 5 và hiệu các lập phương của các nghiệm đó bằng 35. Bài 2: (2,0 điểm) 1) Chứng minh rằng : Nếu b là số nguyên tố khác 3 thì số A = 3n + 1 + 2009b 2 là hợp số với mọi n ∈ N 2) Tìm các số tự nhiên n sao cho 2 n +18n + 2020 là số chính phương. Bài 3: (1,0 điểm ) Cho 0x > . Tìm giá trị của x để biểu thức ( ) 2 N 2010 x x = + đạt giá trị lớn nhất. Bài 4 : (1,5 điểm) Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Gọi (O) là đường tròn đi qua hai điểm B và C. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AE, AF với đường tròn (O), (E, F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC; FI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K Chứng minh rằng : a) Hai điểm E, F nằm trên một đường tròn cố định khi (O) thay đổi. b) EK song song với AB. Bài 5 : (2,0 điểm) 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), với AD là đường kính. Biết AB = BC = 2 5 cm; CD = 6cm. Tính bán kính của đường tròn (O). 2) Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm bên ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Tìm điểm M trên đường tròn (O; R) để tổng MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất. Hết Ghi chú : Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh : Số báo danh Giám thị 1 : Giám thị 2 : ĐỀ CHÍNH THỨC . 2 2 2 2 010 2 010 1 2.2 010 2 010 4.2 010 4.2 010 x N x x x x x x + − + + = = = + ≥ dấu “ = “ xảy ra khi 2010x = . Suy ra giá trị nhỏ nhất của 1 N là 4.2 010 = 8040 đạt được khi x = 2 010 Vậy với. = 8 = 15 vào (*) ta được: P = 4 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 2) (1,0 điểm) Giải phương trình: ( ) 2 2 25 10 3 1- - - =x x Điều kiện: ( ) * 2 2 2 - 10 10 2 2 25- 0 25 10 10- 0 10 x x x x x. làm tròn số. C M B O N M A 0 TUYẾN SINH VÀO 10 NĂM HỌC 2009-2 010 MA TRẬN THIẾT KẾ ĐỀ TOÁN CHUYÊN ( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Phân môn Mức độ Mạch kiến thức Nhận