Trần Sĩ Tùng TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP HÀ NỘI Đề số 19 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số yxmx 422 21 =++ (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Chứng minh rằng đường thẳng yx 1 =+ luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: xxx 22 2sin2sintan 4 p æö -=- ç÷ èø 2) Giải hệ phương trình: ( ) xxx 222 333 2log–43log(2) log(–2)4 ++-= Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = x dx xx 3 2 0 sin cos3sin p + ò Câu IV (1 điểm): Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc bằng 60 0 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. Câu V (1 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: xxxx fx xx 432 2 4885 () 22 -+-+ = -+ II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có tiêu điểm thứ nhất là ( ) 3;0 - và đi qua điểm M 433 1; 5 æö ç÷ èø . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E). 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d: xt yt z 1 22 3 ì =- ï =+ í ï = î . Hãy tìm trên đường thẳng d các điểm B và C sao cho tam giác ABC đều. Câu VII.a (1 điểm): Chứng minh: nn nnnn CCCnCnn 212223222 123 ().2 - ++++=+ , trong đó n là số tự nhiên, n ≥ 1 và k n C là số tổ hợp chập k của n. 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường thẳng AB cắt trục Oy tại E sao cho AEEB 2 = uuuruuur . Biết rằng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm là G 13 2; 3 æö ç÷ èø . Viết phương trình cạnh BC. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: xyz 11 311 -+ == và mặt phẳng (P): xyz 2220 +-+= . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1). Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: xyyx yx 33 22 416 15(1) ì ï +=+ í +=+ ï î . ============================ Trn S Tựng Hng dn: I. PHN CHUNG Cõu I: 2) Xột PT honh giao im: xmxx 422 211 ++=+ xmxx 422 20 +-= ( ) xxmx 32 210 +-= x gxxmx 32 0 ()210(*) ộ = ờ =+-= ở Ta cú: gxxm 22 ()32 0 Â =+ (vi mi x v mi m ) ị Hm s g(x) luụn ng bin vi mi giỏ tr ca m. Mt khỏc g(0) = 1 ạ 0. Do ú phng trỡnh (*) cú nghim duy nht khỏc 0. Vy ng thng yx 1 =+ luụn ct th hm s (1) ti hai im phõn bit vi mi giỏ tr ca m. Cõu II: 1) iu kin: x cos0 ạ xk . 2 p p ạ+ (*). PT x x x 2 2 2 1cos2sintan p ổử - ỗữ ốứ = xxx 1sin2tan(sin21) = x x sin21 tan1 ộ = ờ =- ở xk xl 2.2 2 . 4 p p p p ộ =+ ờ ờ ờ =-+ ở xk xl . 4 . 4 p p p p ộ =+ ờ ờ ờ =-+ ở xk . 42 pp =+ . (Tha món iu kin (*) ). 2) iu kin: x x 2 2 3 40 log(2)0 ỡ ->ù ớ + ù ợ x x 2 2 40 (2)1 ỡ ù -> ớ + ù ợ x x 2 3 ộ > ờ Ê- ở (**) PT ( ) xxx 2 222 333 log43log(2) log(2)4 ++-= xx 22 33 log(2)3log(2)40 +++-= ( ) ( ) xx 22 33 log(2)4log(2)10 +++-= x 2 3 log(2)1 += x 2 (2)3 += x 23 =- Kim tra iu kin (**) ch cú x 23 = tha món. Vy phng trỡnh cú nghim duy nht l: x 23 = Cõu III: t tx 2 3sin =+ = x 2 4cos - . Ta cú: xt 22 cos4 = v xx dtdx x 2 sincos 3sin = + . I = x dx xx 3 2 0 sin . cos3sin p + ũ = xx dx xx 3 22 0 sin.cos cos3sin p + ũ = dt t 15 2 2 3 4 - ũ = dt tt 15 2 3 111 422 ổử - ỗữ +- ốứ ũ = t t 15 2 3 12 ln 42 + - = 115432 lnln 4 15432 ổử ++ ỗữ - ỗữ ốứ = ( ) ( ) ( ) 1 ln154ln32 2 +-+. Cõu IV: Ta cú SA ^ (ABC) ị SA ^ AB; SA ^ AC Tam giỏc ABC vuụng cõn cnh huyn AB ị BC ^ AC ị BC ^ SC. Hai im A,C cựng nhỡn on SB di gúc vuụng nờn mt cu ng kớnh SB i qua A,C. Vy mt cu ngoi tip t din SABC cng chớnh l mt cu ng kớnh SB. Ta cú CA = CB = AB sin 45 0 = a 2 ; ã SCA 0 60 = l gúc gia mp(SBC) v mp(ABC). SA = AC.tan60 0 = a 6 . T ú SBSAABa 2222 10 =+= . Vy din tớch mt cu ngoi tip t din SABC l: S = d 2 p = p .SB 2 = a 2 10 p . Cõu V: Tp xỏc nh: D = R . Ta cú: fxxx xx 2 2 1 ()222 22 =-++ -+ ( BT Cụsi). Du "=" xy ra xxx 2 221 1 +== . Vy: min f(x) = 2 t c khi x = 1. II. PHN T CHN 1. Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a: 1) Ta cú ( ) ( ) FF 12 3;0,3;0 - l hai tiờu im ca (E). Trn S Tựng Theo nh ngha ca (E) suy ra : aMFMF 12 2 =+ = ( ) 2 2 433 13 5 ổử ++ ỗữ ốứ + ( ) 2 2 433 13 5 ổử -+ ỗữ ốứ = 10 ị a = 5. Mt khỏc: c = 3 v abc 222 = ị bac 222 22 =-= Vy ta cỏc nh ca (E) l: A 1 ( 5; 0) ; A 2 ( 5; 0) ; B 1 ( 0; 22 ) ; B 2 ( 0; 22 ). 2) d cú VTCP d u (1;2;0) =- r . Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn d. Gi s ( ) t t H 1;22;3 + ị ( ) AHtt 1;12;0 =-+ uuuur M AH ^ d nờn d AHu ^ uuur r ị ( ) ( ) tt112 120 -+ -+= t 1 5 =- ị H 68 ;;3 55 ổử ỗữ ốứ ị AH = 35 5 . M DABC u nờn BC = AH 2215 5 3 = hay BH = 15 5 . Gi s Bss (1;22;3) -+ thỡ ss 22 1215 2 5525 ổửổử ++= ỗữỗữ ốứốứ ss 2 251020 += s 13 5 - = Vy: B 63823 ;;3 55 ổử -+ ỗữ ốứ v C 63823 ;;3 55 ổử +- ỗữ ốứ hoc B 63823 ;;3 55 ổử +- ỗữ ốứ v C 63823 ;;3 55 ổử -+ ỗữ ốứ Cõu VII.a: Xột khai trin: nnn nnnnn xCxCxCxCxC 012233 (1) +=+++++ Ly o hm 2 v ta c: nnn nnnn nxCxCxCnxC 112231 (1)23 +=++++ Nhõn 2 v cho x, ri ly o hm ln na, ta c: n nnn nnnn xnx nxCxCxCnxC 22222112231 (1)(1)(1)123 ộự +-+ ởỷ +=++++ Cho x = 1 ta c pcm. 2. Theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b: 1) Gi M l trung im ca BC. Ta cú AGAM 2 3 = uuuruuur ị M(2; 3). ng thng EC qua M v cú VTPT AG 8 0; 3 ổử =- ỗữ ốứ uuur nờn cú PT: y 3 = ị E(0; 3) ị C(4; 3). M AEEB 2 = uuuruuur nờn B(1; 1). ị Phng trỡnh BC: xy 2570 -+= . 2) Gi I l tõm ca (S). I ẻ d ị Ittt (13;1;) +-+ . Bỏn kớnh R = IA = tt 2 1121 -+ . Mt phng (P) tip xỳc vi (S) nờn: t dIPR 53 (,()) 3 + == tt 2 37240 -= tR tR 01 2477 3737 ộ =ị= ờ =ị= ờ ở . Vỡ (S) cú bỏn kớnh nh nht nờn chn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; 1; 0). Vy phng trỡnh mt cu (S): xyz 222 (1)(1)1 -+++= . Cõu VII.b: xyyx yx 33 22 416(1) 15(1)(2) ỡ ù +=+ ớ +=+ ù ợ T (2) suy ra yx 22 54 = (3). Th vo (1) c: ( ) y xxyyx 2233 5 .16 +=+ xxy x 32 5160 = x 0 = hoc xxy 2 5160 = ã Vi x 0 = ị y 2 4 = y 2 = . ã Vi xxy 2 5160 = x y x 2 16 5 - = (4). Th vo (3) c: x x x 2 2 2 16 54 5 ổử - -= ỗữ ốứ Trần Sĩ Tùng Û xxxx 4242 –32256–125100 += Û xx 42 124132–2560 += Û x 2 1 = Û xy xy 1(3) 1(3) é ê ë ==- =-= . Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3) ===================== . ĐHSP HÀ NỘI Đề số 19 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số yxmx 422 21 =++ . yxmx 422 21 =++ (1). 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Chứng minh rằng đường thẳng yx 1 =+ luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá. điểm): Chứng minh: nn nnnn CCCnCnn 212223222 123 ().2 - ++++=+ , trong đó n là số tự nhiên, n ≥ 1 và k n C là số tổ hợp chập k của n. 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1)