SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN 1 TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN MÔN:TOÁN - KHỐI B (Thời gian làm bài 180, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THI SINH (7 điểm) Câu I .(2điểm) cho hàm số y = 2 32 − + x x (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) 2. Tìm tất cả giá trị của tham số m để đường thẳng y = x +m cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau. Câu II. (2điểm) 1. Giải phương trình : sin 3 x + cos 3 x + sin 3 x cot x +cos 3 x tan x = x2sin2 2. Giải phương trình :( x 2 – 6x +11) 1 2 +− xx = 2(x 2 – 4x + 7) 2 − x Câu III. (1điểm) Tính giới hạn : 0 lim → x x xxx 2 sin 2cossin21 −+ Câu IV. (1điểm) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB= AC=a, góc BAC = 60 0 ;SA vuông góc với đáy và SA= a 2 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC Câu V. (1điểm) Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn 2 -a +2 -b +2 -c = 1.Chứng minh rằng + + + cba a 22 4 + + + acb b 22 4 bac c + + 22 4 ≥ 4 222 cba ++ II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (A hoặc B) A. Theo chương trình chuẩn: Câu VIa .(2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy 1. Cho đường tròn (C) x 2 + y 2 - 2x - 6y +6 = 0 và điểm M(-3;1).Gọi T 1 và T 2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C).Viết phương trình đương thẳng T 1 T 2 2. Cho A(1;2);B(0;0);C(-3;1).Xác định tâm phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Câu VIIa. (1 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 14 4 3 2 1 + x x với x > 0; B. Theo chương trình nâng cao Câu VIb: (2điểm) 1. Cho đường tròn x 2 + y 2 – 2x – 6y + 6 = 0 (C)và điểm M(2;4). Viết Phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB. 2.Cho P(3;0) và hai đường thẳng (d 1 ): 2x – y – 2 = 0, (d 2 ): x + y + 3 = 0. Gọi (d) là đường thẳng qua P và cắt (d 1 ), (d 2 ) lần lượt tại A và B. Viết phương trình đường thẳng (d) biết PA = PB. Câu VIIb: (1điểm) Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 3 5 x y 3 log x y log x y 1 − = + − − = SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL ĐẠI HỌC LẦN THỨ 1 MÔN TOÁN – KHỐI B (Hướng dẫn chấm có 08 trang) Câu ĐÁP ÁN VẮN TẮT Điểm Câu I 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y = 2 32 − + x x (1 điểm) a. T đk D=R | { 2}; b. Sự biến thiên ; * Chiều biến thiên :y’ = 2 )2( 7 − − x <0 mọi x 2≠ Hàm số là nghịch biến trong khoảng x ∈ (- 2;∞ ) và (2; ∞ ); * Cực trị : Hàm số không có cực trị. 0.25 *Các giới hạn: ±∞→ x lim y = 2 32 lim − + ±∞→ x x x = 2, suy ra y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị ± → 2 lim x y = 2 32 lim 2 − + ± → x x x = ∞± ,suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị 0.25 * Bảng biến thiên: x -∞ 2 +∞ y’ - - y 2 +∞ -∞ 2 0.25 C. Đồ thị : Giao của đồ thị với trục tung tại điểm ( 0; 2 3− ); Giao của đồ thị với trục hoành tại điểm ( 2 3− ; 0); Tâm đối xứng I (2;2); y 0 x 0.25 2 2 2. Tìm tất cả giá trị của tham số m để đường thẳng y = x + m cắt ( C) tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau.(1 điểm) Đường thẳng y = x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau ⇔ pt = − + 2 32 x x x +m (1)có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 thỏa mãn điều kiện y’( 1 x )= y’( 2 x ) với y là hàm số đã cho 0.25 (1) ⇔ x 2 + (m - 4 ) x - 2m -3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 ( 2≠ ) và thỏa mãn x 1 +x 2 = 4; 0.25 ∆ > 0 x ∀ ⇔ 2.2 2 + ( m-6) 2 – 2m-3 0 ≠ ⇔ m = -4 4 4 2 m − = Kết luận: m = -4 thỏa mãn điều kiện đầu bài 0.5 Câu II 1. Giải pt sin 3 x + cos 3 x + sin 3 x cot x +cos 3 x tan x = x2sin2 (1) cos x 0 ≠ Đk sin x 0 ≠ ⇔ sin 2x > 0 Sin 2x ≥ 0 0.25 (1) ⇔ (sin x +cos x)(sin 2 x –sin xcos x +cos 2 x )+ sinx cosx(sinx+cosx)= x2sin2 ⇔ sin x +cos x = x2sin2 0.25 sin x +cos x ≥ 0 sin (x+ 4 π ) ≥ 0 ⇔ ⇔ 1 + sin 2x = 2sin 2x x = π π 2 4 k + or x= π π 2 4 5 k + ⇔ x = π π 2 4 k + là nghiệm 0.25 Phương trình đã cho có nghiệm x = π π 2 4 k + 0.25 2. Giải phương trình : ( x 2 – 6x +11) 1 2 +− xx = 2(x 2 – 4x + 7) 2 − x Đk x 2 ≥ Đặt 2 − x =a 0 ≥ và 1 2 +− xx = b > 0 ; Ta có x 2 – 6x +11 = x 2 –x +1 - 5 ( x-2 ) = b 2 -5a 2 ; x 2 -4 x +7 = x 2 - x + 1- 3(x-2) =b 2 – 3a 2 ; 0.25 phương trình đã cho tương đương với (b 2 -5a 2 ) b = 2 (b 2 – 3a 2 ) a ⇔ 6 a 3 - 5a 2 b -2ab 2 + b 3 = 0 ⇔ 6 ( b a ) 3 – 5( b a ) 2 - 2 ( b a ) 2 +1 =0 (2) 0.25 Đặt b a = t (t 0 ≥ ); ⇔ 6 t 3 - 5t 2 - 2t 2 + 1 = 0 ⇔ t = 1 t = - 2 1 (loại) t = 3 1 0.25 Với t = 1 pt vô nghiệm Với t = 3 1 ta có b=3a ⇔ x 2 – 10x + 19 = 0 ⇔ x = 5 ± 6 Kết luận: x = 5 ± 6 là nghiệm. 0.25 Câu III Tính giới hạn : 0 lim → x x xxx 2 sin 2cossin21 −+ 0 lim → x 0 lim → x x xxx 2 sin 2cossin21 −+ = 0 lim → x x xx 2 sin sin2 + 0 lim → x x x 2 2 sin sin2 0.5 = 0 lim → x x x sin 2 + 2 = 2 + 2 = 4 0.5 Câu IV S J I a A C O a E B Gọi E là trung điểm của BC Ta có AE ⊥ BC và ∠ BAE = 30 0 ⇒ BC = 2BE = 2a sin30 0 =a 0.25 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC ⇒ O ∈ AE ⇒ OA = 3 3a Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Khi đó IA = IB = IC ⇒ I ∈ đường thẳng ⊥ với mặt phẳng ABC tại O 0.5 Mặt ≠ IA = IS ⇒ I ∈ mặt phẳng trung trực của cạnh SC Khi đó gọi J là trung điểm của SA ⇒ IJ ⊥ SA ⇒ tứ giác AOIJ là hình chữ nhật ⇒ IA = 22 JAOA + = a 6 5 0.25 Câu VCh Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn 2 -a +2 -b +2 -c = 1. Chứng minh rằng + + + cba a 22 4 + + + acb b 22 4 bac c + + 22 4 ≥ 4 222 cba ++ Đặt 2 a = x > 0 2 b = y > 0 2 c = z > 0 Khi đó zyx 111 ++ = 1 Ta CM 4 2 2 2 zyx xyz z zxy y yzx x ++ ≥ + + + + + Thật vậy 3 3 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 x y z x y z x y x z y z y x z x z y + + + + ≥ + + + + + + 0.25 Ta có theo bất đẳng thức cô si 3 3 3 ( ) ( ) 3 3 ( )( ) 8 8 ( )( ) 8 8 4 x x y x z x x y x z x x y x z x y x z + + + + + + ≥ = + + + + (1) Tương tự 4 3 88))(( 3 yyxzy xyzy y ≥ + + + + ++ (2) 3 3 ( )( ) 8 8 4 z z x z y z z x z y + + + + ≥ + + (3) 0.5 Từ (1);(2)và(3) suy ra 4 )( 3 2))(())(())(( 3 3 3 zyxzyx yzxz z xyzy y zyyx x ++ ≥ ++ + ++ + ++ + ++ ⇒ 3 3 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 x y z x y z x y x z y z y x z x z y + + + + ≥ + + + + + + (đcm) Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y = z = 3 hay a = b = c = 3 1 0.25 Câu VI.a 1. Đường tròn (C) có tâm I (1;3) và bán kính R=2 MI =2 5 >R khi đó M nằm ngoài (C) 0.25 Nếu T(x 0 ,y 0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) T ∈ (C) ⇔ MT ⊥ IT T ∈ (C) ⇔ →→ ITMT . = 0 0.25 Mà → MT = (x 0 +3; y 0 -1) , → IT = (x 0 -1; y 0 -3) Do đó: x 0 2 + y 0 2 – 2x 0 – 6y 0 + 6 = 0 (x 0 + 3)(x 0 -1) + ( y 0 -1)(y 0 -3) = 0 0.25 ⇔ 2x 0 + y 0 – 3 = 0 (1) Vậy tọa độ các tiếp điểm T 1 , T 2 của các tiếp điểm kẻ từ M đến ( C ) đều thỏa mãn đẳng thức (1). Do đó phương trình T 1, T 2 là: 2x + y – 3 = 0 0.25 2. → AB = (-1; -2) , → BC = (-3; 1) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC ⇒ I( 2 1 ; 1) J(- 2 1 ; 2 3 ) 0.25 Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC là: -3(x + 2 1 (1) 2 3 −+ y ) = 0 -3x - 2 1 2 9 −+ y = 0 ⇒ 3x – y + 5 = 0 0.25 Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là: -1( 0)1(2) 2 1 =−−− yx x + 2y - 0 2 5 = (2) 0.25 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC tọa độ O là nghiệm của hệ: 3x – y +5 = 0 x = - 14 15 ⇔ x + 2y - 2 5 = 0 y = 14 25 0.25 Câu VII.a 14 4 3 2 1 + x x = 0 14 C ( 3 x ) 14 +…+ k C 14 ( 3 x ) 14-k ( 4 2 1 x ) k +…+ 14 14 C ( 4 2 1 x ) 14 Để hệ số không phụ thuộc vào x ⇔ ( 3 x ) 14-k ( 4 1 x ) k = 1 ⇔ 3 14 k x − . 4 k x − = 1 0.5 ⇔ 43 14 kk − − = 0 ⇔ 56 – 4k – 3k = 0 ⇔ k = 8 0.25 Hệ số không phụ thuộc vào x là: 8 14 8 1 3003 . 2 256 C = 0.25 Câu VI.b 1. Từ phương trình: x 2 + y 2 – 2x – 6y +6 = 0 ⇔ (x – 1) 2 + (y – 3) 2 = 4 Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) bán kính R = 2 0.25 Do (d): qua M MA = MB ⇒ AB ⊥ MI 0.25 → n d (1; 1) phương trình đường thẳng (d): x – 2 +y – 4 = 0 (d): x + y – 6 = 0 0.5 2. Giả sử A(x A ; y A ) và B(x B ; y B ) A ∈ (d 1 ) ⇔ 2x A – y A – 2 = 0 (1) B ∈ (d 2 ) ⇔ x B – y B + 3 = 0 (2) 0.25 Mà PA = PB ⇒ P là trung điểm AB ⇔ x A + x B = 2x P y A + y B = 2y P 0.25 ⇔ x A + x B = 6 (3) y A + y B = 4 (4) 0.25 Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ A( ) 3 16 ; 3 11 và B( ) 3 16 ; 3 7 − Phương trình (d): 8x – y – 24 = 0 0.25 Câu VII.b Điều kiện: x>y>0 x 2 – y 2 = 3 (1) log 3 (x+y) = log 5 5(x-y) (2) Từ (1) ⇔ x – y = yx + 3 0.25 Thay vào (2): log 3 (x+y) = log 5 yx + 15 5log 15 log )(log 3 3 3 yx yx + =+ 0.25 log 3 5 = yx yx + + 3 3 log 15 log = yx yx + + 15 log = log x+y 15 - 1 ⇔ log 3 15 = log x+y 15 ⇔ yx + = 1515 log 1 3log 1 0.25 ⇔ log 15 (x+y) = log 15 3 ⇔ x + y = 3 ⇔ x = 2 x – y = 1 y = 1 0.25 Lưu ý: Trên đây chỉ là một cách giải, nếu thí sinh trình bày theo cách khác mà đúng thì cho điểm tương ứng với điểm của đáp án. . PHÚC KỲ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2 011 LẦN 1 TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN MÔN:TOÁN - KHỐI B (Thời gian làm bài 18 0, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THI SINH. x = - 14 15 ⇔ x + 2y - 2 5 = 0 y = 14 25 0.25 Câu VII.a 14 4 3 2 1 + x x = 0 14 C ( 3 x ) 14 +…+ k C 14 ( 3 x ) 14 -k ( 4 2 1 x ) k +…+ 14 14 C ( 4 2 1 x ) 14 Để. yx yx + + 15 log = log x+y 15 - 1 ⇔ log 3 15 = log x+y 15 ⇔ yx + = 15 15 log 1 3log 1 0.25 ⇔ log 15 (x+y) = log 15 3 ⇔ x + y = 3 ⇔ x = 2 x – y = 1 y = 1 0.25 Lưu ý: Trên đây chỉ là một cách giải,