Đề 1 Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT miền xuôi và THCB Năm học 19971998 Câu1: (2đ) a) Giải hệ pt: b) Giải pt: x2 13x + 42 = 0. Câu2: (2,5đ) Cho đường thẳng y = 2x và parabol y = x2 3 a) Tìm toạ độ giao điểm của hai đường trên. b) Đường thẳng y = 2x, parabol y = x2+ 3 và đường thẳng y = 3x 1 có đồng quy (cắt nhau tại một điểm) không? Câu3: (2đ) Chứng minh pt: (x a)x + x(x b) + (x b)(x a) = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của a, b. Câu4: (3,5đ) Cho đường tròn tâm O có đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy I là điểm bất kỳ trên đoạn CD. a) Tìm điểm M trên đường thẳng AD, điểm N trên đường thẳng AC sao cho I là trung điểm của đoạn MN. b) Cho độ dài IA = a, bán kính đường tròn tâm O bằng R. Tính chu vi của tam giác AMN theo a và R. Bài làm Câu1: a) Ta có: Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 2). b) Xét pt: x2 13x + 42 = 0 (1) Ta có: = (13)2 4.1.42 = 1. Do > 0 nên pt (1) có hai nghiệm phân biệt: x1= = 7 ; x2= = 6. Câu2: a) Toạ độ giao điểm của đường thẳng y = 2x và parabol y = x2 3 là nghiệm của hệ pt: Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng y = 2x và parabol y = x2 3 là:A(1; 2) và B(3; 6). b) Tọa độ giao điểm của đường thẳng y = 2x và đường thẳng y = 3x 1 là nghiệm của hệ pt: Vậy đường thẳng y = 2x cắt đường thẳng y = 3x 1 tại điểm C(1; 2) Vì parabol y = x2+3 không đi qua điểm C(1; 2) nên đường thẳng y = 2x, parabol y = x2+ 3 và đường thẳng y = 3x 1 không đồng quy. Câu3: Ta có: (x a)x + x(x b) + (x b)(x a) = 0 x2 ax + x2 bx + x2 ax bx+ ab = 0 3x2 2(a+b)x + ab = 0 (1) Xét = (a+b)2 3ab = a2 ab + b2 = (a b)2 + b2. Vì (a b)2 0 và b2 0 với mọi a, b nên 0 với mọi a, b. Do đó pt(1) luôn có nghiệm với mọi a, b.
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Đề 1 Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT miền xuôi và THCB - Năm học 1997-1998 Câu1: (2đ) a) Giải hệ pt: 5 2 1 2 3 4 x y x y = + = b) Giải pt: x 2 - 13x + 42 = 0. Câu2: (2,5đ) Cho đờng thẳng y = 2x và parabol y = x 2 - 3 a) Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng trên. b) Đờng thẳng y = 2x, parabol y = x 2 + 3 và đờng thẳng y = 3x - 1 có đồng quy (cắt nhau tại một điểm) không? Câu3: (2đ) Chứng minh pt: (x- a)x + x(x- b) + (x - b)(x - a) = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của a, b. Câu4: (3,5đ) Cho đờng tròn tâm O có đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy I là điểm bất kỳ trên đoạn CD. a) Tìm điểm M trên đờng thẳng AD, điểm N trên đờng thẳng AC sao cho I là trung điểm của đoạn MN. b) Cho độ dài IA = a, bán kính đờng tròn tâm O bằng R. Tính chu vi của tam giác AMN theo a và R. Bài làm Câu1: a) Ta có: 5 2 1 2 3 4 x y x y = + = 15 6 3 4 6 8 x y x y = + = 11 11 2 3 4 x x y = + = 1 2 3 4 x x y = + = 1 2 x y = = Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 2). b) Xét pt: x 2 - 13x + 42 = 0 (1) Ta có: = (-13) 2 - 4.1.42 = 1. Do > 0 nên pt (1) có hai nghiệm phân biệt: x 1 = 13 1 2 + = 7 ; x 2 = 13 1 2 = 6. Câu2: a) Toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = 2x và parabol y = x 2 - 3 là nghiệm của hệ pt: 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 3 2 3 0 3 3 3 2 6 x x y x y x y y x y x x y x x x x x x y x y = = = = = = = = = = = = = = = Vậy tọa độ giao điểm của đờng thẳng y = 2x và parabol y = x 2 - 3 là:A(-1; -2) và B(3; 6). b) Tọa độ giao điểm của đờng thẳng y = 2x và đờng thẳng y = 3x- 1 là nghiệm của hệ pt: 2 3 1 y x y x = = 2 3 1 2 y x x x = = 2 1 y x x = = 1 2 x y = = Vậy đờng thẳng y = 2x cắt đờng thẳng y = 3x- 1 tại điểm C(1; 2) Vì parabol y = x 2 +3 không đi qua điểm C(1; 2) nên đờng thẳng y = 2x, parabol y = x 2 + 3 và đờng thẳng y = 3x- 1 không đồng quy. Câu3: Ta có: (x- a)x + x(x- b) + (x- b)(x- a) = 0 x 2 - ax + x 2 - bx + x 2 - ax- bx+ ab = 0 3x 2 - 2(a+b)x + ab = 0 (1) Xét / = (a+b) 2 - 3ab = a 2 - ab + b 2 = (a- 1 2 b) 2 + 3 4 b 2 . Vì (a- 1 2 b) 2 0 và 3 4 b 2 0 với mọi a, b nên / 0 với mọi a, b. Do đó pt(1) luôn có nghiệm với mọi a, b. Giáo viên: Dơng Văn Chinh Tr ờng THCS Nga Trung Trang 1 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Hay pt: (x- a)x + x(x- b) + (x- b)(x- a) = 0 luôn có nghiệm với mọi a, b. Câu4: a) Giả sử ta xác định đợc điểm M AD và N AC sao cho I là trung điểm của MN.Gọi H là hình chiếu của I lên AC. Ta có: ã CAD = 90 o (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) CA AD IH//AD Mà I là trung điểm của MN nên IH là đờng trung bình của CAD H là trung điểm của AN. Cách dựng: Gọi H là hình chiếu của I lên AC. Trên tia AC lấy điểm N sao cho H là trung điểm của AN. Gọi M = AD I IN. Khi đó I là trung điểm của MN. b) Kẻ MK AD (K CD) AC//MK(cùng AD) Xét MIK và NIC có: ã KMI = ã CNI (so le trong) IM = IN (giả thiết) ã MIK = ã NIC (đối đỉnh) MIK = NIC (g.c.g) MK = CN(hai cạnh tơng ứng) (1) AOD vuông cân(vì OA OD và OA = OD = R) ã ODA = 45 o . KMD có: ả M = 90 o (theo cách dựng) à D = 45 o (chứng minh trên) à K =180 o -( ả M + à D )=180 o - (90 o + 45 o )= 45 o KMD vuông cân tại M KM = MD (2) Từ (1) và (2) CN = MD AC + CN + AM = AC + AM + MD Hay AN + AM = AC + AD = 2AC (*) áp dụng định lí pitago vào tam giác vuông AOC ta có: AC 2 = OA 2 +OC 2 = R 2 +R 2 = 2R 2 AC = 2 R (**) Từ (*) và (**) AM + AN = 2 2 R (3) Ta có: MN = 2AI = 2a (tính chất đờng trung tuyến của tam giác vuông) (4) Gọi c là chu vi của tam giác AMN. Khi đó c = AM + AN + MN. Từ (3) và (4) c = 2 2 R + 2a. Đề 2 Đề thi tốt nghiệp THCS - Năm học 1998-1999 A.Lý thuyết: (2đ) Học sinh đợc chọn một trong hai đề sau: Đề1: Phát biểu định nghĩa và nêu các tính chất của hàm số bậc nhất. áp dụng: Cho hai hàm số bậc nhất : y = 0,3x - 7 (1) và y = 1,5 - 2x (2) Trong hai hàm số trên, hàm số nào là hàm số đồng biến? Hàm số nào là hàm số nghịch biến? Vì sao? Đề2: a) Chứng minh định lí: Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng hai góc vuông b) Phát biểu định lí đảo của định lí trên. B. Bài toán bắt buộc: 8đ Câu1:(2đ) Cho pt bậc hai: 2x 2 - 7x + 2 + m = 0 (1) Giáo viên: Dơng Văn Chinh Tr ờng THCS Nga Trung Trang 2 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT a) Giải pt khi m = 1. b) Với giá trị nào của m thì pt (1) có nghiệm. Câu2:(2,5đ) Cho một số tự nhiên có hai chữ số và tổng các chữ số của nó bằng 12. Tìm số đó, biết rằng nếu thêm 4 vào tích của hai chữ số của số đã cho ta sẽ đợc một số bằng 3 lần tổng của hai chữ số của số đã cho. Câu3:(3,5đ) Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = 5cm. Đờng tròn đờng kính AC cắt cạnh BC tại M. Tia phân giác của góc BAM cắt đờng tròn tại N (N khác A) và cắt cạnh BC tại I. Đờng thẳng AM cắt đờng thẳng CN tại S. a) Chứng minh tứ giác NIMS là tứ giác nội tiếp. b) Tính độ dài đoạn IC. c) Chứng minh tứ giác BISA là tứ giác nội tiếp. Bài làm A.Lý thuyết: Đề1: *Định nghĩa:Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức: y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trớc và a 0. *Tính chất: +) Đồng biến trên R, khi a > 0 +) Nghịch biến trên R, khi a < 0 á p dụng : +) Hàm số y = 0,3x - 7 là hàm số đồng biến, vì 0,3 > 0. +) Hàm số y = 1,5 -2x là hàm số nghịch biến, vì -2 < 0. Đề2: a) Giả sử tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. Ta có: ã ABC = 1 2 sđ ẳ ADC ; ã ADC = 1 2 sđ ẳ ABC ã ABC + ã ADC = 1 2 sđ ẳ ADC + 1 2 sđ ẳ ABC = 1 2 ( sđ ẳ ADC +sđ ẳ ABC ) = 1 2 .360 o = 180 o . Chứng minh tơng tự ta có: ẳ BAD + ẳ BCD = 180 o . b) Định lí đảo: Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng hai góc vuông là tứ giác nội tiếp. B. Bài toán bắt buộc: Câu1: a) Với m = 1 thì pt(1) trở thành 2x 2 - 7x + 3 = 0 (*) Ta có: = (-7) 2 - 4.2.3 = 25. Do = 25 > 0 nên pt(*) có hai nghiệm phân biệt: x 1 = 7 25 2.2 + = 3; x 2 = 7 25 2.2 = 1 2 . b)Xét pt: 2x 2 - 7x + 2 + m = 0 (1) Ta có: = (-7) 2 - 4.2.(2+m) = 33- 8m pt(1) có nghiệm khi và chỉ khi 0 33- 8m 0 m 33 8 . Vậy với m 33 8 thì pt(1) có nghiệm. Câu2: Gọi số tự nhiên đó là ab (a N * , b N) Giáo viên: Dơng Văn Chinh Tr ờng THCS Nga Trung Trang 3 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Theo bài ra ta có: 2 12 8 12 8 4 12 12 12 8 4 3( ) (12 ) 3.12 4 12 32 0 12 4 4 4 8 a b a a b a b a b a b a b a ab a b a a a a a b a a a b + = = + = = = + = + = + = = + = + = + = + = = = = = Vậy số cần tìm là 48 và 84 Câu3: a) Ta có: ã AMC = 90 o (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) ã AMI = 180 o - ã AMC = 90 o (hai góc kề bù) ã ANC = 90 o (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) ã INC = 180 o - ã ANC = 90 o (hai góc kề bù) Tứ giác NIMS có: ã INS + ã IMS = ã INC + ã AMI = 90 o + 90 o = 180 o NIMS là tứ giác nội tiếp. b) Ta có: ã ã BAI IAM= (gt) Mà ã BAI = 1 2 sđ ằ AN (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) ã IAM = 1 2 sđ ẳ NM (góc nội tiếp chắn ẳ NM ) ằ AN = ẳ NM Mặt khác: ã ACN = 1 2 sđ ằ AN (góc nội tiếp chắn ằ AN ) ã NCI = 1 2 sđ ẳ NM (góc nội tiếp chắn ẳ NM ) ã ACN = ã NCI CN là đờng cao đồng thời là đờng phân giác của ACI ACI cân tại C IC = AC = 5(cm) c) ACI có S là giao điểm của hai đờng cao AM và CN S là trực tâm của ACI IS AC IS//AB (cùng vuông góc với AC) ã BAS + ã ASI = 180 o (1) ABM có ã ABM = 45 o ; ã AMB = 90 o ã MAB = 45 o ã MAB = ã ABM (2) Từ (1) và (2) ã ã ABI ASI+ = 180 o BISA là tứ giác nội tiếp. Đề 3 Đề thi vào lớp 10 chuyên Nga - Pháp Năm học 1999-2000 Câu1: a) Tính: A = 1 2 1 1 2 x x + + + + 1 2 1 1 2 x x với x = 3 4 . b) Chứng minh bất đẳng thức: a 2 + 4b(b-a) + 4c(c+a) 8bc. Câu2: a) Phân tích thành nhân tử: A = -y 2 + y(x- 1) 2 + 2x 3 - x 2 . b) Giải pt: x 4 - 7x 3 + 13x 2 - 7x + 12 = 0. Câu3: Cho tam giác ABC vuông tại A có các đỉnh A, B cố định và đỉnh C thay đổi trên tia At vuông góc với AB tại A. Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC và P, Q, R lần lợt là các tiếp điểm của đờng tròn với các cạnh AC, BC, AB. Các đờng thẳng PQ và AI cắt nhau tại D. a) Chứng minh bốn điểm B, D, Q, R nằm trên một đờng tròn. b) Chứng minh khi C thay đổi trên At thì đờng thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định. Bài làm Câu1: a) Thay x = 3 4 vào biểu thức A = 1 2 1 1 2 x x + + + + 1 2 1 1 2 x x ta đợc: Giáo viên: Dơng Văn Chinh Tr ờng THCS Nga Trung Trang 4 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT A = 3 1 2 4 2 3 1 1 4 + + + + 3 1 2 4 2 3 1 1 4 = 3 1 2 4 2 3 1 4 + + + + 3 1 2 4 2 3 1 4 = 2 2 2 3 2 ( 3 1) 1 2 + + + + 2 2 2 3 2 ( 3 1) 1 2 = 2 3 2 3 1 1 2 + + + + 2 3 2 3 1 1 2 = 2 3 2 3 3 2 + + + 2 3 2 3 3 2 = 2 3 2 + . 2 3 3+ + 2 3 2 . 2 3 3 = 2 3 3 3 + + + 2 3 3 3 = (2 3)(3 3) (2 3)(3 3) (3 3)(3 3) + + + + = 6 2 3 3 3 3 6 2 3 3 3 3 9 3 + + + = 6 6 = 1 b) Ta có: a 2 + 4b(b-a) + 4c(c+a) 8bc a 2 + 4b 2 - 4ab + 4c 2 + 4ac - 8bc 0 (a 2 - 4ab + 4b 2 ) + (4ac- 8bc) + 4c 2 0 (a- 2b) 2 + 2(a- 2b)2c + (2c) 2 0 [(a- 2b) + 2c] 2 0 luôn đúng Câu2: a)Ta có: A = -y 2 + y(x-1) 2 + 2x 3 - x 2 = -y 2 + yx 2 - 2yx + y + 2x 3 - x 2 = (yx 2 + 2x 3 - x 2 ) + (-y 2 - 2yx + y) = x 2 (y + 2x - 1) -y(y + 2x - 1) = (y + 2x - 1)(x 2 - y) b) Ta có: x 4 - 7x 3 + 13x 2 - 7x + 12 = 0 x 4 - 7x 3 + 12x 2 + x 2 - 7x + 12 = 0 (x 4 + x 2 ) + (-7x 3 7x) + (12x 2 + 12) = 0 x 2 (x 2 + 1) - 7x(x 2 + 1) + 12(x 2 + 1) = 0 (x 2 + 1)(x 2 - 7x + 12) = 0 (1) vì x 2 + 1 1 với mọi x nên (1) x 2 - 7x + 12 = 0 (2) Xét = (-7) 2 4.1.12 = 1 > 0 Do đó pt(2) có hai nghiệm phân biệt: x 1 = 7 1 2.1 + = 4; x 2 = 7 1 2.1 = 3. Vậy pt đã cho có hai nghiệm phân biệt: x 1 = 4 và x 2 = 3. Câu3: a) Ta có: ã BRI + ã BQI = 90 o + 90 o = 180 o Vậy tứ giác BRIQ nội tiếp (1) Ta lại có: DIR= DIP(c.g.c) ã DRI = ã DPI Mà QIP cân nên ã IQP = ã IPQ ã DRI = ã DQI Vậy tứ giác QDIR nội tiếp (2) Từ (1) và (2) B,Q,D,I,R cùng thuộc một đờng tròn đpcm b) Vì tứ giác BRID nội tiếp mà ã BRI = 90 o nên ã BDI = 90 o Vậy BDA vuông cân, AB cố định nên D cố định. Do đó PQ luôn đi qua điểm D cố định. Đề 4 Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT - Năm học 2000-2001 Giáo viên: Dơng Văn Chinh Tr ờng THCS Nga Trung Trang 5 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Câu1: (2đ) a) Tìm các giá trị của a, b biết rằng đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua các điểm: A(2;-1) ; B( 1 2 ;2) b) Với giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số y = mx + 3 ; y = 3x - 7 và đồ thị của hàm số xác định ở câu a đồng qui (cắt nhau tại một điểm). Câu2: (2đ) Cho pt bậc hai: x 2 2(m+1)x + 2m + 5 = 0. a) Giải pt khi m = 5 2 . b) Tìm tất cả các giá trị của m để pt đã cho có nghiệm. Câu3: (2,5đ) Cho đờng tròn (O) và một đờng kính AB của nó. Gọi S là trung điểm của OA, vẽ đờng tròn (S) có tâm là điểm S và đi qua A. a) Chứng minh đờng tròn (O) và đờng tròn (S) tiếp xúc nhau. b) Qua A vẽ các đờng thẳng Ax cắt đờng tròn (S) và (O) theo thứ tự tại M, Q; đờng thẳng Ay cắt đờng tròn (S) và (O) theo thứ tự tại N, F; đờng thẳng Az cắt các đờng tròn (S) và (O) theo thứ tự tại P, T. Chứng minh tam giác MNP đồng dạng với tam giác QFT. Câu4: (2đ) Cho hình chóp SABC có tất cả các mặt đều là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của cạnh SA; N là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh MN vuông góc với SA và BC. b) Tính diện tích của tam giác MBC theo a. Câu5: (1,5đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:M = 2 ( 1999)x + 2 ( 2000)x + 2 ( 2001)x Bài làm Câu1: a) Thay tọa độ điểm A(2;-1); B( 1 2 ;2) vào pt y = ax + b ta có hệ: 2 1 1 2 2 a b a b + = + = Ta có: 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 8 3 9 3 3 2 2 a b a b a b a b a a b b b b a b + = + = + = + = = + = = = = + = b) Ta thấy đờng thẳng y = -2x + 3 và y = 3x - 7 cùng đi qua điểm A(2;-1). Để các đờng thẳng y = -2x + 3; y = 3x - 7 và y = mx + 3 thì đờng thẳng y = mx + 3 phải đi qua điểm A(2;- 1). Thay tọa độ điểm A vào pt y = mx + 3 ta có: 2m + 3 = -1 m = -2. Vậy với m = -2 thì đồ thị các hàm số y = -2x + 3; y = 3x- 7 và y = mx + 3 đồng quy tại một điểm. Câu2: a) Khi m = 5 2 pt trở thành x 2 7x + 10 = 0 (1) Ta xét = (-7) 2 - 4.1.10 = 9 Do > 0 nên pt (1) có hai nghiệm phân biệt: x 1 = 7 9 2 + = 5; x 2 = 7 9 2 = 2 b) Xét pt: x 2 - 2(m+1)x + 2m + 5 = 0 (*) Ta có ' = [-(m+1)] 2 - 1.(2m+5) = m 2 + 2m + 1 2m 5 = m 2 - 4 Pt (*) có nghiệm ' 0 m 2 - 4 0 m -2; m 2. Giáo viên: Dơng Văn Chinh Tr ờng THCS Nga Trung Trang 6 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Vậy với m -2 hoặc m 2 thì pt (*) có nghiệm. Câu3: a) Vì S là trung điểm của OA nên OS = OA- SA= R- r > 0 Vậy đờng tròn (O) và đờng tròn (S) tiếp xúc nhau b) Ta có: ã MAP + ã MNP = 180 o (tứ giác AMNP nội tiếp) ã QAT + ã QFT = 180 o (tứ giác AQFT nội tiếp) ã MNP = ã QFT (1) Mặt khác: ã MPN = ã MAN (hai góc nội tiếp cùng chắn ẳ MN ) ã QTF = ã QAF (hai góc nội tiếp cùng chắn ằ FQ ) ã MPN = ã QTF (2) Từ (1) và (2) suy ra MNP đồng dạng với QFT (g-g). Câu4: a) Tam giác SBC là tam giác đều nên trung tuyến SN đồng thời là đờng cao SNB vuông tại N áp dụng định lí pitago vào tam giác vuông SNB ta có: SN = 2 2 SB NB = 2 2 ( ) 2 a a = 3 2 a (1) Tơng tự ta có AN = 3 2 a (2) Từ (1) và (2) SAN cân tại N nên trung tuyến NM đồng thời là đờng cao MN SA Chứng minh tơng tự ta có MN BC b) áp dụng định lí pitago vào tam giác vuông SNM ta có: MN= 2 2 SN SM = 2 2 3 4 4 a a = 2 2 a S ABC = 1 2 MN.BC= 1 2 . 2 2 a .a = 2 2 4 a (đvdt) Câu5: M = 2 ( 1999)x + 2 ( 2000)x + 2 ( 2001)x Ta chứng minh: a + b a b+ (*) Thật vậy: a + b a b+ ( a + b ) 2 ( a b+ ) 2 ( a ) 2 +2 a b +( b ) 2 (a+b) 2 a 2 +2 ab +b 2 a 2 +2ab+b 2 ab ab luôn đúng. Dấu= xảy ra ab 0. Ta có: M = 2 ( 1999)x + 2 ( 2000)x + 2 (2001 )x (vì (x-2001) 2 =(2001-x) 2 ) = 1999x + 2000x + 2001 x áp dụng bất đẳng thức (*) cho hai số 1999x và 2001 x ta có: 1999x + 2001 x ( 1999) (2001 )x x + 1999x + 2001 x 1999 2001x x + 1999x + 2001 x 2 1999x + 2001 x 2 (1) Mặt khác: 2000x 0 với mọi x (2) Từ (1) và (2) 1999x + 2000x + 2001 x 2 Hay M 2 Dấu= xảy ra khi và chỉ khi: Giáo viên: Dơng Văn Chinh Tr ờng THCS Nga Trung Trang 7 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT 2000 0 2000 0 2000 2000 ( 1999)(2001 ) 0 1999 2001 1999 2001 2 x x x x x x x x x = = = = + = Với x = 2000 ta có M = 2 (2000 1999) + 2 (2000 2000) + 2 (2000 2001) = 1 + 0 + 1 = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 2. Đề 5 Kỳ thi vào lớp 10 PTTH Lam Sơn - Năm học 2000-2001 Câu1: (2đ) Xét biểu thức: A = 1- ( 2 1 2 x+ - 5 4 1 x x - 1 1 2 x ): 1 4 4 1 x x x + + a) Rút gọn A và nêu các điều kiện phải có của x. b) Tìm giá trị của x để A = - 1 2 . Câu2: (2đ) Giải hệ pt: 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 x y z y z x z x y = = = Câu3: (1,5đ) Tìm các hệ số p, q của pt x 2 + px + q = 0 sao cho nó có các nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: 1 2 3 3 1 2 5 35 x x x x = = Câu4: (1,5đ) Cho a, b, c, d là các số thực dơng có tổng bằng 1. CMR: 2 a a b+ + 2 b b c+ + 2 c c d+ + 2 d d a+ 1 2 Khi nào xảy ra dấu =? Câu5: (3đ) Cho một nửa đờng tròn (O) đờng kính AB; một điểm M nằm trên cung AB và một điểm C nằm trên đờng kính AB sao cho CA < CB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M ngời ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đờng thẳng đi qua M vuông góc với MC cắt Ax, By theo thứ tự tại P, Q. Gọi R là giao điểm của AM với CP; S là giao điểm của BM với CQ. a) Chứng minh các tứ giác APMC, BQMC nội tiếp đợc. b) Chứng minh RS //AB c) Tứ giác ARSC có thể là hình bình hành đợc không? Tại sao? Bài làm Câu1: A = 1- ( 2 1 2 x+ - 5 4 1 x x - 1 1 2 x ): 1 4 4 1 x x x + + a) Điều kiện: x 0; 1- 2 x 0; 4x-1 0 x 0 và x 1 4 . Ta có: A = 1- ( 2 1 2 x+ - 5 4 1 x x - 1 1 2 x ): 1 4 4 1 x x x + + = 1- ( 2(1 2 ) (1 2 )(1 2 ) x x x + + 5 1 4 x x - 1 2 (1 2 )(1 2 ) x x x + + ). 4 4 1 1 x x x + + Giáo viên: Dơng Văn Chinh Tr ờng THCS Nga Trung Trang 8 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT = 1- 2 4 5 1 2 (1 2 )(1 2 ) x x x x x + + . 4 4 1 1 x x x + + = 1- 1 (1 2 )(1 2 ) x x x + . 2 (2 1) 1 x x + = 1 + 1 2 1 2 x x + = 2 1 2 x b) Ta có A = - 1 2 2 1 2 x = - 1 2 1-2 x = - 4 2 x = 5 x = 5 2 x= 25 4 . Kết hợp với điều kiện trên ta thấy với x= 25 4 thì A = - 1 2 . Câu2: Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 x y z y z x z x y = = = 2 2 5 5 2 1 4 2 2 2 3 3 x x y y z z = = = = = = Vậy hệ pt đã cho có nghiệm(x;y;z) = ( 2 5 ; 1 2 ; 2 3 ) Câu3: Pt: x 2 + px + q = 0 (1) có nghiệm = p 2 - 4q 0 Với x 1 ; x 2 là các nghiệm của pt(1). Theo vi-et ta có: x 1 + x 2 = b a = -p; x 1 .x 2 = c a = q Ta có: 1 2 1 2 1 2 3 3 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 5 5 5 35 ( )( ) 7 x x x x x x x x x x x x x x x x x x = = = = + + + + = 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 5 ( ) 3 . 7 ( ) . 7 x x x x x x x x x x = + = + = 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 5 5 6 1 3 . 18 . 6 6 1 ( ) 1 ( ) 1 6 p x x x x q p x x x x q p x x x x q = = = = = = = = = + = + = = Với p 2 = 1 và q = - 6 ta có =1- 4.(-6) = 25 > 0 thoả mãn điều kiện. Vậy với p= -1 và q= -6 hoặc p= 1 và q= -6 là các cặp giá trị cần tìm. Câu4: áp dụng bđt côsi cho hai số 2 a a b+ và 4 a b+ ta có: 2 a a b+ + 4 a b+ 2 2 . 4 a a b a b + + 2 a a b+ + 4 a b+ 2 2 a 2 a a b+ + 4 a b+ a (1) Tơng tự ta có: 2 b b c+ + 4 b c+ b (2) 2 c c d+ + 4 c d+ c (3) 2 d d a+ + 4 d a+ d (4) Từ (1);(2);(3)và (4) 2 a a b+ + 4 a b+ + 2 b b c+ + 4 b c+ + 2 c c d+ + 4 c d+ + 2 d d a+ + 4 d a+ a + b + c + d Giáo viên: Dơng Văn Chinh Tr ờng THCS Nga Trung Trang 9 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT ( 2 a a b+ + 2 b b c+ + 2 c c d+ + 2 d d a+ )+ ( 4 a b+ + 4 b c+ + 4 c d+ + 4 d a+ ) 1 ( 2 a a b+ + 2 b b c+ + 2 c c d+ + 2 d d a+ )+ 2( ) 4 a b c d+ + + 1 ( 2 a a b+ + 2 b b c+ + 2 c c d+ + 2 d d a+ )+ 1 2 1 ( 2 a a b+ + 2 b b c+ + 2 c c d+ + 2 d d a+ ) 1 2 Vậy đẳng thức đã đợc chứng minh Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 ( ) 4 ( ) 4 4 4 ( ) 4 4 4 ( ) 4 4 a a b a a b a a b a b a a b a b b b c b b c b b b c b c b c b c c d c c d c c d c c d c d a c d c d d d a d d a d d a d d a d a + + + = = + + = + = + + + = = = + = + + = + + = + + = = = + + = + + + + = = + + a = b = c = d = 1 4 Câu5: a) Ta có: Tứ giác APMC nội tiếp đờng tròn(vì ã PAC + ã PMC =180 o ) Tứ giác BQMC nội tiếp đờng tròn(vì ã QBC + ã QMC =180 o ) b) Ta có: ã PMA = ã PCA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PA) ã QMB = ã QCB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QB) Mặt khác: ã AMB =90 o (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) ã PCA + ã QCB = ã PMA + ã QMB =90 o ã PCQ =90 o Tứ giác MRCS nội tiếp đờng tròn(vì ã RMS + ã RCS =180 o ) ã RCM = ã RSM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung RM) (1) Ta lại có: ã PAM = ã PCM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PM) (2) ã PAM = ã ABM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM) (3) Từ (1); (2) và (3) suy ra ã RSM = ã ABM (ở vị trí đồng vị) RS//AB c) Tứ giác ARSC không thể là hình bình hành. Vì: Nếu tứ giác ARSC là hình bình hành CS//AM CS MB PC//MB AM PC PC là trung trực của AM CA = CM C O CA = CB mâu thuẫn với giả thiết CA< CB Đề 6 Giáo viên: Dơng Văn Chinh Tr ờng THCS Nga Trung Trang 10 [...]... ta có: ab = = 100 1000,25 4 4 Vì a,b là số tự nhiên nên ab 100 1000 a + b = 2001 a = 100 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc ab = 100 1000 b = 100 1 Giáo viên: Dơng Văn Chinh Trờng THCS Nga Trung a = 100 1 b = 100 0 Trang 32 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT a = 100 0 a = 100 1 hoặc b = 100 1 b = 100 0 Vậy giá trị lớn nhất của ab bằng 100 1000 khi Đề 16 Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT - Năm học... 1 )100 3)2 + ((1 + x + x 2 1 )100 3)2 2.(1 + x - x 2 1 )100 3(1 + x + x 2 1 )100 3 ((1 + x - x 2 1 )100 3)2 + ((1 + x + x 2 1 )100 3)2 2(1+2x+x2- x2+1 )100 3 ((1 + x - x 2 1 )100 3)2 + ((1 + x + x 2 1 )100 3)2 2(2+2x )100 3 ((1 + x - x 2 1 )100 3)2 + ((1 + x + x 2 1 )100 3)2 2. 2100 3(1+x )100 3 Lại có x 1 1+x 2 2. 2100 3(1+x )100 3 2100 4 2100 3 = 22007 ((1 + x - x 2 1 )100 3)2 + ((1 + x + x 2 1 )100 3)2... Văn Chinh Trờng THCS Nga Trung Trang 14 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Vì 222 là số vô tỉ nên x = a 222 ; y = b 222 x + y = (a + b) 222 3 222 a + b = 3 a = 1 a = 2 hoặc b = 2 b = 1 Do a, b nguyên dơng nên x = 2 222 Với a =2 và b = 1 ta có: y = 222 x = 222 Với a = 1 và b = 2 ta có: y = 2 222 x = 888 y = 222 Đề 8 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT ( Tỉnh Ninh Bình) - Năm học 2001-2002... của BNC Ba điểm N,E ,F thẳng hàng Đề 12 Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT - Năm học 2004 - 2005 Câu1:(2đ) 1 Giải pt x2- 3x -4 = 0 2( x y ) + 3 y = 1 3 x + 2( x y ) = 7 2 Giải hệ Câu2:(2đ) Cho biểu thức: B = ( a +2 a +1 a 2 ) a + 2 a +1 a a 1 a) Tìm diều kiện dể B có nghĩa Giáo viên: Dơng Văn Chinh Trờng THCS Nga Trung Trang 25 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT b) Chứng minh B = 2 a 1 Câu3: (2đ)... x1 = Giáo viên: Dơng Văn Chinh Trờng THCS Nga Trung Trang 15 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Với t = 2 2 x 1 = 2 2x-1 = 4 x = Vậy pt đã cho có nghiệm x = 5 1 (thoả mãn điều kiện x ) 2 2 5 2 3)x4 + 5x3 10x2 + 10x + 4 = 0 Giải: ta thấy x = 0 không là nghiệm của pt Với x 0 chia hai vế của pt cho x2 ta đợc x2 + 5x- 10 + Đặt y = x + 10 4 + 2 =0 x x 2 ta có pt mới y2 + 5y - 14 = 0 x Theo câu a ta... Trung c =6 a Trang 11 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT b) Pt: x2 7x + m + 2 = 0 có nghiệm 49- 4m- 8 0 4m 41 m 41 4 = (-7)2- 4.1.(m+2) 0 Câu2: Gọi kích thớc của hình chữ nhật là a, b Theo bài ra ta có: a + b =160:2 = 80; ab = 1500 Kích thớc của hình chữ nhật là nghiệm của pt: x2- 80x + 1500 = 0 Ta có: ' =(-40)2- 1500 = 100 Do đó pt có hai nghiệm phân biệt: x1 = 40 100 40 + 100 = 30; x2= = 50.. .đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Kỳ thi tốt nghiệp THCS - Năm học 2001-2002 A.Lý thuyết:(2đ) Học sinh đợc chọn một trong hai câu sau: Câu1: a) Hãy nêu hệ thức vi-et đối với pt bậc hai (không chứng minh) b) Cho hai đờng thẳng d1 và d2 có pt tơng ứng... rằng: 1) Tứ giác BCPM là hình thang cân; Góc ABN có số đo bằng 90o 2) Tam giác BIN cân; EI//BC Câu6:(1,5đ) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy là 18cm, độ dài đờng cao là 12cm Giáo viên: Dơng Văn Chinh Trờng THCS Nga Trung Trang 17 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT 1) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp 2) Chứng minh đờng thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) Câu7:(1đ)... m Giáo viên: Dơng Văn Chinh Trờng THCS Nga Trung Trang 18 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT m 0 m 0 1 1 m m 12 12 2 (2m + 1) (2m + 1) 2 m(2m 4) 22m 2 2m 4 22 = 0 =0 m m2 m2 m 0 m 0 m 0 1 1 1 1 m m m m= 12 12 12 2 2 2 2 2 4m + 4m + 1 2m + 4m 22m = 0 20m 8m 1 = 0 1 m = 2 m = 1 10 1 Vậy với m = thì pt(1) có tổng các nghiệm bằng 22 2 m 0... 8005 > 0 Vậy pt(*) có hai nghiệm phân biệt: X1= 1 + 8005 1 8005 1 8005 ; X2= (loại vì < 0) 2 2 2 X= 1 + 8005 2 1 + 8005 x = x= 2 2 1 + 8005 2 Vậy pt(1) có nghiệm x = 1 + 8005 2 Đề 10 Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT - Năm học 2003-2004 Câu1: (2đ) 1) Giải pt: x2 2x -1 = 0 x + y = 1 2) Giải hệ pt: 1 2 = 2 x y 2 ( x 2)( x + 1) ( x + 2) ữ ( x 1) Câu2: (2đ) Cho biểu thức: M = ữ x 1 2 . CM C O CA = CB mâu thuẫn với giả thi t CA< CB Đề 6 Giáo viên: Dơng Văn Chinh Tr ờng THCS Nga Trung Trang 10 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Kỳ thi tốt nghiệp THCS - Năm học 2001-2002 A.Lý. ax + b và y = mx + n. Hỏi khi nào hai đờng thẳng đó cắt nhau? Song song với nhau? Trùng nhau? Câu2: a) Chứng minh định lí: Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng. + AN + MN. Từ (3) và (4) c = 2 2 R + 2a. Đề 2 Đề thi tốt nghiệp THCS - Năm học 1998-1999 A.Lý thuyết: (2đ) Học sinh đợc chọn một trong hai đề sau: Đề1: Phát biểu định nghĩa và nêu các tính