Trờng thpt lơng thế vinh Hà nội Năm học 2014 - 2015 đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 Môn thi: Toán Môn thi: ToánMôn thi: Toán Môn thi: Toán - - Lần thứ 2 Lần thứ 2 Lần thứ 2 Lần thứ 2 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Cõu 1 (2,0 im). Cho cỏc hm s 3 2 3 2 y x mx = + ( m C ), 2 ( ) y x d = + , vi m l tham s thc. a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ( m C ) khi 1 m = . b) Tỡm cỏc giỏ tr c a m ( m C ) cú hai i m c c tr v kho ng cỏch t i m c c ti u c a ( m C ) n ng th ng ( ) d b ng 2 . Cõu 2 (1,0 im). a) Gi i ph ng trỡnh ( ) ( ) sin 2sin 1 cos 2cos 3 x x x x+ = + . b) Gii phng trỡnh ( ) 3 log 3 6 3 x x = . Cõu 3 (1,0 im). Tớnh tớch phõn ( ) 2 2 0 sin2 . sin 2 x I dx x = + Cõu 4 (1,0 im). a) Gi 1 2 , z z l hai nghim phc ca phng trỡnh 2 4 9 0 z z + = ; , M N ln lt l cỏc im biu din 1 2 , z z trờn mt phng phc. Tớnh di on thng . MN b) Mt t cú 7 hc sinh (trong ú cú 3 hc sinh n v 4 hc sinh nam). Xp ngu nhiờn 7 hc sinh ú thnh mt hng ngang. Tỡm xỏc sut 3 hc sinh n ng cnh nhau. Cõu 5 (1,0 im). Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im (3;6;7) I v mt phng ( ): 2 2 11 0 P x y z + + = . Lp phng trỡnh mt cu ( ) S tõm I v tip xỳc vi ( ). P Tỡm ta tip im ca ( ) P v ( ) S . Cõu 6 (1,0 im). Cho hỡnh lng tr . ' ' ' ABC A B C cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B ; 0 , 30 AB a ACB= = ; M l trung im cnh AC . Gúc gia cnh bờn v mt ỏy ca lng tr bng 0 60 . Hỡnh chiu vuụng gúc ca nh ' A lờn mt phng ( ) ABC l trung im H ca BM . Tớnh theo a th tớch khi lng tr . ' ' ' ABC A B C v khong cỏch t im ' C n mt phng ( '). BMB Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phng ta , Oxy cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A v D ; din tớch hỡnh thang bng 6; 2 CD AB = , (0;4) B . Bit im (3; 1), (2;2) I K ln lt nm trờn ng thng AD v DC . Vit phng trỡnh ng thng AD bit AD khụng song song vi cỏc trc ta . Cõu 8 (1,0 im). Gii h phng trỡnh 2 3 2 3 ( 3 3) 2 3 1 ( , ). 3 1 6 6 2 1 x x x x y y x y x x x y + + = + + + + + = + + Cõu 9 (1,0 im). Cho cỏc s thc , x y dng v tha món 1 0 x y + . Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc 2 2 2 2 4 3 2 5 5 x y x y T x y x y + + = + + . Ht Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. www.MATHVN.com Họ và tên thí sinh: ……………………………………………… ; Số báo danh: ……………………… www.MATHVN.com 1/4 Trờng thpt lơng thế vinh Hà nội Nm hc 2014 2015 đáp án thang điểm đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 Môn thi: Toán Môn thi: Toán Môn thi: Toán Môn thi: Toán Lần thứ Lần thứ Lần thứ Lần thứ 2 22 2 ỏp ỏn cú 04 trang Cõu ỏp ỏn im a) (1,0 im) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s 3 2 3 2 y x x = + Tp xỏc nh: D = R . lim ; lim x x y y + = = + o hm: 2 ' 3 6 y x x = ; ' 0 0 y x = = hoc 2 x = . 0,25 Khong ng bin: ( ) ( ) ;0 ; 2; + . Khong nghch bin: ( ) 0;2 Cc tr: Hm s t cc tiu ti 2 x = , 2 CT y = ; t cc i ti 0 x = , y C = 2. 0,25 Bng bin thiờn: x 0 2 + y' + 0 - 0 + y 2 + -2 0,25 th: (Hs cú th ly thờm im ( 1; 2); (1;0); (3;2) ). 0,25 b) (1,0 im) Tỡm cỏc giỏ tr ca m ( m C ) cú k/c im cc tiu ca ( m C ) n ( ) d bng 2 . 2 ' 3 6 3 ( 2 ) y x mx x x m = = . ' 0 0; 2 y x x m = = = iu kin hm s cú hai cc tr l 0 m . 0,25 Ta hai im cc tr: (0;2) A v 3 (2 ;2 4 ) B m m . 0,25 0: m < A l i m c c ti u. Khi ú ( , ) 0 2 d A d = (lo i). 0,25 1 (2,0 ) 0: m > B l i m c c ti u. Khi ú: 3 3 3 2 1 1( ) ( , ) 2 | 2 | 1 1( ) 2 1 m m m tm d B d m m m ktm m m = = = = = = ỏp s : 1 m = . 0,25 a) (0,5 im) Gi i ph ng trỡnh ( ) ( ) sin 2sin 1 cos 2cos 3 x x x x+ = + . Ph ng trỡnh ó cho t ng ng v i ( ) 2 2 1 3 sin 3cos 2 cos sin sin 3cos 2cos2 sin cos cos2 2 2 sin sin 2 . 3 2 x x x x x x x x x x x x = = = = 0,25 2 (1,0 ) ( ) 5 2 2 2 , 3 2 18 3 x x k x k k = + = + . ( ) 5 2 2 2 , 3 2 6 x x k x k k = + + = + . V y ph ng trỡnh ó cho cú nghi m: 5 2 5 , 2 , 18 3 6 x k x k k = + = + . 0,25 www.MATHVN.com 2/4 b) (0,5 điểm) Giải phương trình ( ) 3 log 3 6 3 x x − = − Điều kiện: 3 log 6 x > . Phương trình đã cho tương đương với 3 27 3 6 3 3 6 3 x x x x − − = ⇔ − = . Đặt 2 27 3 0 6 6 27 0 x t t t t t = > ⇒ − = ⇔ − − = 0,25 9 3( ) t t l = ⇔ = − Với 9 3 9 2 x t x = ⇒ = ⇔ = (tmđk). Đáp số: 2 x = . 0,25 Tính tích phân ( ) 2 2 0 sin 2 . sin 2 x I dx x π = + ∫ ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 sin 2 2sin cos . sin 2 sin 2 x x x I dx dx x x π π = = + + ∫ ∫ Đặt sin cos t x dt xdx = ⇒ = . 0 0; x t = ⇒ = 1. 2 x t π = ⇒ = 0,25 ( ) 1 2 0 2 2 tdt I t = + ∫ ( ) ( ) 1 1 1 2 2 0 0 0 2 2 2 2 4 2 2 2 t dt dt dt t t t + − = = − + + + ∫ ∫ ∫ . 0,25 1 1 1 2ln( 2) 4 0 0 2 I t t = + + + 0,25 3 (1,0 đ ) 1 1 2(ln3 ln2) 4 3 2 I = − + − = 3 2 2ln 2 3 − . ( 0.144) I ≈ . 0,25 a) (0,5 điểm) Cho 2 4 9 0 z z − + = . M, N biểu diễn 1 2 , z z . Tính độ dài đoạn MN. Phương trình đã cho có 2 ' 4 9 5 5 i ∆ = − = − = nên có hai nghiệm 1,2 2 5 z i = ± . 0,25 Từ đó (2; 5), (2; 5) 2 5 M N MN− ⇒ = . Đáp số: 2 5 MN = . 0,25 b) (0,5 điểm) Tính xác suất có 3 học sinh nữ cạnh nhau. Gọi A là biến cố “3 học sinh nữ cạnh nhau” + Số biến cố đồng khả năng: Xếp 7 học sinh ngẫu nhiên, có số hoán vị là 7! + Số cách xếp có 3 học sinh nữ cạnh nhau: Coi 3 học sinh nữ là 1 phần tử, kết hợp với 4 học sinh nam suy ra có 5 phần tử, có 5! cách sắp xếp. Với mỗi cách sắp xếp đó lại có 3! cách hoán vị 3 học sinh nữ. Vậy có 5!.3! cách sắp xếp. 0,25 4 (1,0đ) + Xác suất của biến cố A là: ( ) 5!.3! 7! p A = = 1 7 . ( ( ) 0.14) p A ≈ . (Cách 2: - - - - - - - 7 vị trí. Xếp 3 nữ cạnh nhau có 5 cách: (123)…(567). Mỗi cách xếp lại có 3! cách hoán vị 3 nữ. Có 4! cách hoán vị 4 nam. Vậy P(A) = 5.3!.4!/7! = 1/7) 0,25 Cho ( ): 2 2 11 0 P x y z + + − = , (3;6;7) I Mặt cầu ( ) S tâm I có bán kính |3 12 14 11| ( ,( )) 6 3 R d I P + + − = = = . 0,25 Phương trình mặt cầu 2 2 2 ( ):( 3) ( 6) ( 7) 36 S x y z − + − + − = . 0,25 5 (1,0đ) Đường thẳng ( ) d qua I và vuông góc với ( ) P có phương trình 3 6 2 ( ) 7 2 x t y t t z t = + = + ∈ = + R . 0,25 www.MATHVN.com 3/4 Giả sử ( ) ( ) (3 ) (12 4 ) (14 4 ) 11 0 9 18 0 2 M d P t t t t t = ∩ ⇒ + + + + + − = ⇔ + = ⇔ = − ⇒ (1;2;3) M . 0,25 Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B ; 0 , 30 AB a ACB= = ; ' ( ) ' A H ABC A H ⊥ ⇒ là đường cao của hình lăng trụ. AH là hình chiếu vuông góc của ' AA lên ( ) ABC 0 ' 60 A AH⇒ = . ' ' ' . ABC A BC ABC V A H S = 0,25 3 3 2 , ' 2 2 a a AC a MA MB AB a AH A H= = = = ⇒ = ⇒ = . 2 1 1 3 . . . . 3 2 2 2 ABC a S BA BC a a= = = . 2 . ' ' 3 3 . 2 2 ABC A BC a a V ⇒ = = 3 3 3 4 a . 0,25 ( ) ( ) ( ) . ' ' 3 ',( ') ,( ') ,( ') A BMB BMB V d C BMB d C BMB d A BMB S = = = . 3 . ' '. . ' ' 1 3 6 8 A BMB B ABM ABC A BC a V V V= = = . 0,25 6 (1,0đ) Do ( ') BM AHA ⊥ nên ' ' BM AA BM BB ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ' BMB ∆ vuông tại B 2 ' 1 1 3 '. . 3. 2 2 2 BMB a S BB BM a a⇒ = = = . Suy ra ( ) 3 2 3 3 3 ',( ') : 8 2 a a d C BMB = = 3 4 a . (Cách 2: 0 3 3 ( ,( ')) .sin .sin60 2 4 a a d A BMB AE AH AHE = = = = ). 0,25 Trong m ặ t ph ẳ ng t ọ a độ , Oxy cho hình thang ABCD vuông t ạ i A và D ; di ệ n tích hình thang b ằ ng 6; 2 CD AB = , (0;4) B . (3; 1), (2;2) I K − . Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng AD. Vì AD không song song các tr ụ c t ọ a độ nên g ọ i véc t ơ pháp tuy ế n c ủ a AD là (1; ), 0; n b b = ≠ suy ra: Phương trình :1( 3) ( 1) 0 AD x b y − + + = . Phương trình : ( 4) 0 AB bx y − − = . 0,25 3 3 . . . ( , ). ( , ) 2 2 2 ABCD AB CD AB S AD AD d B AD d K AB + = = = 2 2 3 | 3 5 | |2 2| . . 2 1 1 b b b b − + + = + + . 0,25 2 2 2 1 | 3 5 | | 1| 5 6 3 . 6 | 5 3|.| 1| 2( 1) 3 1 1 1 2 2 7 ABCD b b b S b b b b b b b = − + + = ⇔ = ⇔ − + = + ⇔ = − + + − ± = . 0,25 7 (1,0đ) Đáp số: 2 0;3 5 14 0;7 (1 2 2) 2 2 22 0;7 (1 2 2) 2 2 22 0 x y x y x y x y + − = − − = − + − − = − − + − = . 0,25 8 (1,0đ) Giải hệ phương trình 2 3 2 3 ( 3 3) 2 3 1 (1) ( , ). 3 1 6 6 2 1 (2) x x x x y y x y x x x y + − + = + + + + ∈ − − − + = + + ℝ A C A' C' B B' M H A C A' C' B B' M H Q P E I K A B D C www.MATHVN.com 4/4 Điều kiện: 1 3 3; 3 3; 3 x x y ≤ ≤ − ≥ + ≥ − ( ) 3 3 3 3 (1) 1 ( 1) 1 2 2 1 x x y y ⇔ − + − + = + + + + 0,25 Xét hàm 3 ( ) 1, 1 f t t t t = + + ≥ − . Ta có 2 3 3 '( ) 1 0 1 2 1 t f t t t = + > ∀ > − + , suy ra ( ) f t đồng biến 1 t ∀ ≥ − , suy ra 3 1 2 x y − = + . 0,25 Thay vào (2) ta có 2 2 3 1 6 6 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 4( 1) 1 3 1 x x x x x x x x − − − + = − + ⇔ − + + − − − + = − Do 1 x = không thỏa mãn nên chia cả 2 vế cho 1 0 x − > ta được: 1 1 1 1 4 3 1 1 x x x x − + + − − + = − − . Đặt 2 2 2 2 3 1 5 1 2 6 3 6 3 2 6 (3 ) 1 t t x t t t t t t t x ≤ = − + > ⇒ + − = ⇒ − = − ⇔ ⇔ = − = − − . 0,25 Với 5 62 1 2 5 1 5 1 5 127 1 2 2 1 1 4 64 2 x y x t x x y x x = ⇒ = − = = ⇒ − + = ⇒ ⇔ = ⇒ = − − − = . Đáp số 5 127 ( ; ) (5;62),( ; ) 4 64 x y = − . 0,25 Cho , 0 : 1 0 x y x y > − + ≤ . Tìm max: 2 2 2 2 4 3 2 5 5 x y x y T x y x y + + = − + + . Ta có 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 4 2 4 x x y y y y y ≤ − ⇒ < ≤ − = − − ≤ . Đặt 2 1 0 4 x t t y = ⇒ < ≤ 0,25 Ta có 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 3 1 2 1 . ( ) . 5 5 1 1 1 1 x x t t y y T T f t x t t x y y + + + + = − ⇒ = = − + + + + với 1 0 4 t < ≤ . ( ) ( ) 2 3 2 1 3 1 1 '( ) . 5 1 1 t f t t t − = − + + Nhận xét: ( ) ( ) 3 3 2 3 2 1 1 17 17 17 1 3 4 0 1 3 ; 1 4 4 16 16 16 17 1 17 16 t t t t t − < ≤ ⇒ − ≥ + ≤ = ⇒ ≥ + Và 2 1 1 1 . 5 ( 1) 5 t − > − + . Do đó 4 1 '( ) 0 5 17 17 16 f t > − > . 0,25 Từ đó ( ) f t đồ ng bi ế n 1 1 13 6 (0; ] ( ) 4 4 25 17 t f t f ∀ ∈ ⇒ ≤ = − . 0,25 9 (1,0đ) Đáp số: 1 (0; ] 4 13 6 1 1; 2 25 4 17 t MaxT t x y ∈ = − ⇔ = ⇔ = = . 0,25 Hết www.MATHVN.com . Trờng thpt lơng thế vinh Hà nội Năm học 20 14 - 20 15 đề thi thử thpt quốc gia năm 20 15 Môn thi: Toán Môn thi: ToánMôn thi: Toán Môn thi: Toán - - Lần thứ 2 Lần thứ 2 Lần thứ 2 Lần. thpt lơng thế vinh Hà nội Nm hc 20 14 20 15 đáp án thang điểm đề thi thử thpt quốc gia năm 20 15 Môn thi: Toán Môn thi: Toán Môn thi: Toán Môn thi: Toán Lần thứ Lần thứ Lần thứ Lần. 0 ,25 ( ) 1 2 0 2 2 tdt I t = + ∫ ( ) ( ) 1 1 1 2 2 0 0 0 2 2 2 2 4 2 2 2 t dt dt dt t t t + − = = − + + + ∫ ∫ ∫ . 0 ,25 1 1 1 2ln( 2) 4 0 0 2 I t t = + + + 0 ,25 3 (1,0 đ ) 1 1 2( ln3 ln2)