Đề thi Hoc sinh giỏi Môn: Toán Năm học: 2010 - 2011 Bài 1(2đ). Phân tích da thức sau thành nhân tử a) x 3 + 3x 2 - 4 b) (x 2 + x) 2 + 4x 2 + 4x - 12 Bài 2(1đ). Cho a; b; c 0 thoả mãn: 1 1 1 a b c + + và 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = Chứng minh rằng: a + b + c = abc Bài 3(3đ). Giải phơng trình a) 2 3 2 8 6 1 4 4 1 16 1 x x x x + = + b) 3 2 7x x + + = c) 29 27 25 23 21 1790 1972 3 1970 1972 1974 1976 1978 29 27 x x x x x x x + + + + = + + Bài 4(2đ). Một canô tuần tra đi xuôi dòng sông từ A đến B mất 2giờ 30 phút và đi ngợc dòng từ B về A hết 2 giờ 40 phút. Tính vận tốc riêng của canô. Biết vận tốc dòng nớc là 2km/h. Bài 5(2đ). Cho ABC cân tại A, BC = 6cm; AC = 4cm. Vẽ các đờng phân giác BD, CE. a) CMR: DE // BC b) Tính độ dài đoạn thẳng DE. Đáp án và biểu điểm Câu Đáp án Điểm 1 2 3 a) x 3 + 3x 2 - 4 = x 3 + 4x 2 - x 2 - 4 = x 2 (x - 1) + 4(x 2 - 1) = (x 2 + 4)(x - 1)(x + 1) b) (x 2 + x) 2 + 4x 2 + 4x - 12 Đặt x 2 + x = a ta đợc a 2 + 4a - 12 = (a + 2) 2 - 16 = (a + 6)(a - 2) ( 1 1 1 a b c + + ) 2 = 2 2 2 1 1 1 a b c + + + 1 1 1 2( ) 4 ab bc ac + + = <=> 2 + 1 1 1 2( ) 4 ab bc ac + + = <=> 1 1 1 2( ) 2 ab bc ac + + = <=> 1 1 1 1 ab bc ac + + = <=> a + b + c = abc(đpcm) a) 2 3 2 8 6 1 4 4 1 16 1 x x x x + = + <=> 2 3 2 8 6 1 4 4 1 1 16 x x x x + = + + <=> 3(4x + 1) = 2(1-4x) + 8+6x <=> 12x + 8x -6x = -3 + 2 +8 <=> 14x = 7 <=> x = 1 2 b) 3 2 7x x + + = x<-2 3-x - x -2 = 7 x = -3( Thoả mãn) -2 < x < 3 3-x+x+2 = 7 <=> 0x = 2(loại) x > 3 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4 5 x - 3 + x +2 = 7 <=> x = 4( thoả mãn) S = {-3; 4} c) 29 27 25 23 21 1790 1972 3 1970 1972 1974 1976 1978 29 27 x x x x x x x + + + + = + + <=> 29 27 1999 1999 1999 1999 1999 1970 1972 1974 1976 1978 29 27 x x x x x x x + + + + = + <=> 1999 1999 1999 1999 1999 1999 1999 0 1970 1972 1974 1976 1978 29 27 x x x x x x x + + + + = <=> 1 1 1 1 1 1 1 ( 1999)( ) 0 1970 1972 1974 1976 1978 29 27 x + + + + = <=> x = 1999 vậy S = {1999} Gọi vận tốc đi từ A đến B là x+2(km/h) Gọi vận tốc đi từ B đến A là x - 2(km/h) ( x>2) quãng đờng AB là 7 ( 2) 3 x + Quãng đờng BA là 8 ( 2) 3 x vì quãng đờng AB bằng quãng đơng BA bằng nhau nên ta có phơng trình: 7 ( 2) 3 x + = 8 ( 2) 3 x <=> x = 30(thoản mãn ĐK của ẩn) Vậy vận tốc canô là 30 km/h à à 1 2 B B= 2 3 AD BA DC BC = = (1) à à 1 2 C C= 2 3 AE CA EB CB = = (2) Từ (1) và (2) suy ra AD AE DC EB = DE//BC b, DEC cân đặt DE = BC = x thì AD = 4-x áp dụng hệ quả của định lý ta lét ta có DE AD BC AC = hay 4 6 4 x x = 4x +6x =24 ; x = 24 10 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ Suy ra DE = 2,4 x 2 1 2 1 x A B C D E 0.5 . CB = = (2) Từ (1) và (2) suy ra AD AE DC EB = DE/ /BC b, DEC cân đặt DE = BC = x thì AD = 4-x áp dụng hệ quả của định lý ta lét ta có DE AD BC AC = hay 4 6 4 x x = 4x +6x =24 ; x = 24 10 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ Suy. Cho ABC cân tại A, BC = 6cm; AC = 4cm. Vẽ các đờng phân giác BD, CE. a) CMR: DE // BC b) Tính độ dài đoạn thẳng DE. Đáp án và biểu điểm Câu Đáp án Điểm 1 2 3 a) x 3 + 3x 2 - 4 = x 3 +. 24 10 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ Suy ra DE = 2,4 x 2 1 2 1 x A B C D E 0.5