§Ò THI HäC K× II M¤N TO¸N 9 (Lµm bµi trong thêi gian 90 phót) Bài 1 (2.0 điểm): Cho phương trình: x 2 + mx - 4 = 0 (1) (với m là tham số) 1. Giải phương trình (1) khi m= 3 2. Giả sử x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình (1), tìm m để: x 1 (x 2 2 + 1) + x 2 (x 2 1 + 1) > 6. Bài 2 (2.0 điểm): Cho biểu thức: B = ( + )( - ) với b > 0; b≠ 9 1. Rút gọn B 2. Tìm b để biểu thức B nhận giá trị nguyên. Bài 3(2.0 điểm): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x 2 và các điểm A, B thuộc parabol (P) vơi x A = 2, x B = - 1. 1. Tìm toạ độ các điểm A, B và viết phương trình đường thẳng AB. 2. Tim n để đường thẳng (d): y = (2n 2 - n)x + n + 1 (với n là tham số) song song với đường thẳng AB. Bài 4 (3.0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao BM, CN của tam giác cắt nhau tại H. 1. Chứng minh tứ giác BCMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn. 2. Kéo dài AO cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành. 3. Cho cạnh BC cố định, A thay đổi trên cung lớn BC sao tam giác ABC luôn nhọn. Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác BCH lớn nhất. Bài 5 (1.0 điểm): Cho a, b là c ác số dương thảo mãn a + b = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a 2 + b 2 + ab 33 Hết Đáp án chấm Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 90 phút Bài Nội dung Điểm 1 Cho phương trình: x 2 + mx - 4 = 0 (1) (với m là tham số) 1. Giải phương trình (1) khi m= 3: - Phương trình trở thành: x 2 + 3x - 4 = 0 - Vì tổng các hệ số: 1 + 3 + (-4) = 0 nên phương trình có nghiệm x 1 =1 v à x 2 =- 4 Vậy khi m = 3 th ì phương trình có 2 nghiệm x 1 =1 v à x 2 =- 4 0,25 0,5 0.25 2. Giả sử x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình (1), tìm m để: x 1 (x 2 2 + 1) + x 2 (x 2 1 + 1) > 6. - Phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thì: ∆ ≥ 0 mà ∆ = m 2 + 16≥16 với mọi m. Khi đó theo Vi-ét ta có: −= −=+ (**)4 (*) 21 21 xx mxx - Ta lại có x 1 (x 2 2 +1)+x 2 (x 2 1 +1)> 6<=> x 1 x 2 2 +x 1 +x 2 x 2 1 +x 2 > 6<=> x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) + x 1 + x 2 > 6 <=> (x 1 + x 2 )(x 1 x 2 +1)>6 (***) - Thay (*), (**) vào (***) ta có: -m(-4+1) > 6 <=> 3m>6 <=> m >2 - Vậy khi m >2 th ì phương trình (1) có 2 nghiệm x 1 ,x 2 thỏa mãn x 1 (x 2 2 +1)+x 2 (x 2 1 +1)> 6 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Bài 2 (2.0 điểm): Cho biểu thức: B = = ( + )( - ) với b > 0; b ≠ 9 1. Rút gọn B Với b > 0; b ≠ 9 B = − +− −−++ b3 3b 3)b3)(b( 3)b3)(b(-3)b3)(b( − +− b3 3b 3)b3)(b( b12 = + 3b 4 0,5 0.5 2. Tìm b để biểu thức B nhận giá trị nguyên. B = + 3b 4 nguyên khi b +3 là ước của 4 vì b +3≥3 nên b +3 = 4 hay b =1 <=> b=1 - Vậy với b = 1 thì B đạt giá trị nguyên 0,5 0.25 0,25 3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x 2 và các điểm A, B thuộc parabol (P) vơi x A = 2, x B = - 1. 1. Tìm toạ độ các điểm A, B và viết phương trình đường thẳng AB. - Tọa độ điểm A: x A = 2=> y = 2 2 = 4 Vậy A(2;4) - Tọa độ điểm B: x B = -1=> y = (-1) 2 = 1 Vậy B(-1;1) - Gọi đường thẳng qua A(2;4), B(-1; 1) có dạng y = ax + b (AB) - Vì (AB) qua A(2; 4) nên 2a + b = 4(i) - Vì (AB) qua B(-1; 1) nên -a +b = 1(ii) - Lấy phương trình (i) trừ (ii) ta được 3a = 3 => a = 1 khi đó =>b= 2. Vậy đường thảng AB có dạng: y = x +2 0,25 0,25 0,25 0.25 2. Tim n để đường thẳng (d): y = (2n 2 - n)x + n + 1 (với n là tham số) song song với đường thẳng AB. - Đường thẳng AB: y = x+2 song song với (d) y = (2n 2 -n)x+n+1 thì: 2n 2 -n =1(u) và n+1 ≠2(v) Giải (u) ta được n = 1; và n = - 2 1 kết hợp với (v) n≠1. Nên với n= - 2 1 thì AB song với (d) 0,5 0,25 0,25 4 1. Chứng minh BCMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn. - Lấy I là trung điểm BC. Suy ra:BI= CI = MI = NI nên B ,C, M, N cách đều điểm I nên tứ giác BCMN nội tiếp trong một đường tròn 0.25 0.5 0,25 2. Kéo dài AO cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành. Ta có: ABK = 90 0 = (góc nội tiếp) => BK⊥AB nên BK∥CH(*). Tương tự: ACK = 90 0 = (góc nội tiếp) => CK⊥AC nên CK∥BH(**). Từ (*) và (**) suy ra BHCK là hình bình hành. 0,5 0.25 0,25 3. Cho cạnh BC cố định, A thay đổi trên cung lớn BC sao tam giác ABC luôn nhọn. Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác BCH lớn nhất. Gọi I là giao điểm AH và BC, F là trung điểm của BC. Vì khi A thay đổi BC cố định và lam giác ABC luôn nhọn nên H nằm trong tam giác ABC. Nên S ∆BCH = BC.HI lớn nhất khi HI lớn nhất (BC cố định), HI lớn nhất => AI lớn nhất => I≡ F mà F là trung điểm của BC nên ∆ABC cân tại A => AB = AC=> A bằm chính giữa lớn cung BC 0,25 0,25 0,25 0,25 Cho a, b là c ác số dương thảo mãn a + b = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a 2 + b 2 + Ta có (a-b) 2 ≥ 0 => a 2 +b 2 ≥ 2ab và (a+b) 2 ≥ 4ab hay ab≤ 4 => ≥ Nên khi đó P = a 2 + b 2 + ≥ 2ab + + ≥ ≥ 2 + =16 + = Dấu "=" xảy ra khi 2ab= và a=b hay ab = 4 và a = b =>a = b= 2 Vậy Min P = khi a = b = 2 0,25 0,25 0,25 0,25 . §Ò THI HäC K× II M¤N TO¸N 9 (Lµm bµi trong thêi gian 90 phót) Bài 1 (2.0 điểm): Cho phương trình: x 2 + mx - 4 = 0 (1) (với m là tham số) 1. Giải. = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a 2 + b 2 + ab 33 Hết Đáp án chấm Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 90 phút Bài Nội dung Điểm 1 Cho phương trình: x 2 + mx - 4 = 0 (1) (với m là tham số) 1.