DA_DH2005

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005 Môn: TOÁN, Khối A (Đáp án – thang điểm gồm 4 trang) Câu Ý Nội dung Điểm I 2,0 I.1 1,0 111 myx 44x = ⇒ =+ . a) TXĐ: \\{0}. b) Sự biến thiên: 2 22 11x4 y' 4x 4x − =− = , y' 0 x 2,x 2.=⇔=− = 0,25 y CĐ () () CT y2 1,y y2 1.=−=− = = Đường thẳng x0= là tiệm cận đứng. Đường thẳng 1 yx 4 = là tiệm cận xiên. 0,25 c) Bảng biến thiên: x − ∞ − 2 0 2 + ∞ y’ + 0 − − 0 + y − 1 + ∞ + ∞ − ∞ − ∞ 1 0,25 d) Đồ thị 0,25 Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn 2 I.2 1,0 2 1 y' m , y' 0 x =− = có nghiệm khi và chỉ khi m0> . Nếu m0> thì 12 11 y' 0 x , x mm =⇔ =− = . 0,25 Xét dấu y' x −∞ 1 m − 0 1 m +∞ y' + 0 − || − 0 + Hàm số luôn có cực trị với mọi m0.> 0,25 Điểm cực tiểu của () m C là 1 M;2m. m ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Tiệm cận xiên (d):ymx mxy0.=⇔−= () 22 m2m m dM,d . m1 m1 − == ++ 0,25 () 2 2 1m1 dM;d m 2m 1 0 m 1. 22 m1 =⇔ =⇔−+=⇔= + Kết luận: m1= . 0,25 II. 2,0 II.1 1,0 Bất phương trình: 5x 1 x 1 2x 4−− −> − . ĐK: 5x 1 0 x10 x2. 2x 4 0 −≥ ⎧ ⎪ −≥ ⇔ ≥ ⎨ ⎪ −≥ ⎩ 0,25 Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với 5x 1 2x 4 x 1 5x 1 2x 4 x 1 2 (2x 4)(x 1)−> − + −⇔ −> −+ −+ − − 0,25 22 x2 (2x4)(x1) x 4x42x 6x4⇔+> − − ⇔ + +> − + 2 x 10x 0 0 x 10.⇔− <⇔<< 0,25 Kết hợp với điều kiện ta có : 2x10≤< là nghiệm của bất phương trình đã cho. 0,25 II.2 1,0 Phương trình đã cho tương đương với ()() 1 cos 6x cos 2x 1 cos 2x 0+−+= cos6x cos 2x 1 0⇔−= 0,25 cos8x cos 4x 2 0⇔+−= 2 2cos 4x cos4x 3 0⇔+−= 0,25 () = ⎡ ⎢ ⇔ ⎢ =− ⎢ ⎣ cos 4x 1 3 cos 4x lo¹i . 2 Vậy () π =⇔ = ∈]cos 4x 1 x k k . 2 0,5 Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn 3 III. 3,0 III.1 1,0 Vì () 1 Ad At;t.∈ ⇒ Vì A và C đối xứng nhau qua BD và B, D Ox∈ nên () Ct; t− . 0,25 Vì 2 Cd∈ nên 2t t 1 0 t 1.−−= ⇔= Vậy () ( ) A1;1,C1; 1− . 0,25 Trung điểm của AC là () I1;0. Vì I là tâm của hình vuông nên IB IA 1 ID IA 1 == ⎧ ⎨ == ⎩ 0,25 b11 BOx B(b;0) b0,b2 DOx D(d;0) d0,d2 d11 ⎧ −= ∈== ⎧⎧⎧ ⎪ ⇔ ⇒ ⇔ ⎨⎨⎨ ⎨ ∈== −= ⎩⎩ ⎩ ⎪ ⎩ Suy ra, () B0;0 và () D2;0 hoặc () B2;0 và () D0;0. Vậy bốn đỉnh của hình vuông là () ( ) ( ) ( ) A1;1,B 0;0 ,C1; 1,D 2;0 ,− hoặc () ( ) ( ) ( ) A1;1,B 2;0 ,C1; 1,D 0;0.− 0,25 III.2a 1,0 Phương trình của tham số của x1t d: y 3 2t z3t. =− ⎧ ⎪ =− + ⎨ ⎪ =+ ⎩ 0,25 () I d I 1 t; 3 2t;3 t∈ ⇒ −−+ + , () () 2t 2 dI,P . 3 −+ = 0,25 () () t4 dI,P 2 1 t 3 t2. = ⎡ =⇔−=⇔ ⎢ =− ⎣ 0,25 Vậy có hai điểm ()() 12 I3;5;7,I3;7;1−−. 0,25 III.2b 1,0 Vì Ad∈ nên () A 1 t; 3 2t;3 t−−+ + . Ta có () AP∈⇔ ()( )( ) 21 t 3 2t 23 t 9 0 t 1−+−+ − ++=⇔=. Vậy () A0; 1;4− . 0,25 Mặt phẳng () P có vectơ pháp tuyến () n2;1;2.=− G Đường thẳng d có vectơ chỉ phương () u1;2;1=− G . Vì () P∆⊂ và d∆⊥ nên ∆ có vectơ chỉ phương () un,u5;0;5 ∆ ⎡⎤ == ⎣⎦ J JG G G . 0,5 Phương trình tham số của ∆ : xt y1 z4t. = ⎧ ⎪ =− ⎨ ⎪ =+ ⎩ 0,25 Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn 4 IV 2,0 IV.1 1,0 2 0 (2cosx 1)sin x Idx 13cosx π + = + ∫ . 0,25 Đặt 2 t1 cos x 3 t13cosx 3sinx dt dx. 21 3cosx ⎧ − = ⎪ ⎪ =+ ⇒ ⎨ ⎪ =− ⎪ + ⎩ x0 t2,x t1. 2 π = ⇒ ==⇒ = 0,25 () 12 2 2 21 t1 2 2 I2 1 dt 2t1dt. 339 ⎛⎞ − ⎛⎞ =+−=+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ∫∫ 0,25 2 3 1 22t 2 16 2 34 t21. 93 9 3 3 27 ⎛⎞⎡ ⎤ ⎛⎞⎛⎞ =+=+−+= ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ ⎝⎠ 0,25 IV.2 1,0 Ta có () 2n 1 0 1 22 33 2n12n1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 1x C C xC x C x C x + ++ ++ + + + +=+ + + ++ x.∀∈\ 0,25 Đạo hàm hai vế ta có ()() () 2n 12 32 2n12n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 1 x C 2C x 3C x 2n 1 C x + ++ + + ++ = + + +++ x.∀∈\ 0,25 Thay x2=− ta có: () 122334 2n2n1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 C 2.2C 3.2 C 4.2 C 2n 1 .2 C 2n 1. + ++ + + + −+ − +++ =+ 0,25 Theo giả thiết ta có 2n 1 2005 n 1002+= ⇒ = . 0,25 V 1,0 Với a,b 0> ta có : 2 1ab 1111 4ab (a b) . ab 4ab ab 4ab + ⎛⎞ ≤+⇔≤⇔≤+ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ Dấu ""= xảy ra khi và chỉ khi ab= . 0,25 Áp dụng kết quả trên ta có: 1111111111111 (1). 2x y z 4 2x y z 4 2x 4 y z 8 x 2y 2z ⎡⎤ ⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⎞ ≤+≤++=++ ⎢⎥ ⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟ ++ + ⎝⎠ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎣⎦ Tương tự 1111111111111 (2). x2yz 42y xz 42y 4x z 8y2z 2x ⎛⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛⎞ ≤+ ≤++=++ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ++ + ⎝⎠ ⎝⎠⎣ ⎦⎝ ⎠ 1111111111111 (3). x y 2z 4 2z x y 4 2z 4 x y 8 z 2x 2y ⎡⎤ ⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⎞ ≤+ ≤++=++ ⎢⎥ ⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟ ++ + ⎝⎠ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎣⎦ 0,5 Vậy 1111111 1. 2xyz x2yz xy2z 4x yz ⎛⎞ ++≤++= ⎜⎟ ++ + + ++ ⎝⎠ Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu ""= xảy ra khi và chỉ khi xyz.== Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 xyz . 4 === 0,25 Hết Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005 Môn: TOÁN, Khối B (Đáp án – thang điểm gồm 4 trang) Câu Ý Nội dung Điểm I 2,0 I.1 1,0 2 x2x2 1 m1 y x1 . x1 x1 ++ =⇒ = = ++ ++ a) TXĐ: \\{ }. 1− b) Sự biến thiên: ()() 2 22 1x2x y' 1 x1 x1 + =− = ++ y' 0 x 2,x 0., = ⇔=− = 0,25 y CĐ ( ) ( ) CT y2 2,y y0 2.=− = = 1 =− Đường thẳng là tiệm cận đứng. x=− Đường thẳng là tiệm cận xiên. yx1=+ 0,25 Bảng biến thiên: x − ∞ − 2 1 − 0 + ∞ y’ + 0 − − 0 + y 2 − + ∞ + ∞ − ∞ − ∞ 2 0,25 c) Đồ thị 0,25 1 Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn I.2 1,0 Ta có: 1 yxm x1 =+ + + . TXĐ: \\{ }. 1− () () () 22 xx 2 1 y' 1 , y' 0 x 2, x 0. x1 x1 + =− = = ⇔ =− = ++ 0,25 Xét dấu y' x −∞ 2 − 1 − 0 +∞ y’ + 0 − || − 0 + Đồ thị của hàm số (*) luôn có điểm cực đại là ( ) M2;m3 − − và điểm cực tiểu là . () N0;m 1+ 0,50 () () ()() () 22 MN 0 2 m 1 m 3 20.=−−++−− = 0,25 II. 2,0 II.1 1,0 () 23 93 x 1 2 y 1 (1) 3log 9x log y 3 (2) ⎧ −+ − = ⎪ ⎨ −= ⎪ ⎩ ĐK: x1 0y2. ≥ ⎧ ⎨ <≤ ⎩ 0,25 ( ) ( ) 33 33 2 3 1 log x 3log y 3 log x log y x y.⇔+ − =⇔ = ⇔= 0,25 Thay vào (1) ta có yx= ()( ) x1 2x 1 x12x 2 x12x 1 − +−=⇔−+−+ − −= ()( ) x12x 0 x1, x 2.⇔−−=⇔== Vậy hệ có hai nghiệm là ( ) ( ) x;y 1;1= và ( ) ( ) x;y 2;2 .= 0,50 II.2 1,0 Phương trình đã cho tương đương với 2 sin x cos x 2sin x cosx 2cos x 0 + ++= ( ) sin x cos x 2cos x sin x cos x 0⇔++ + = ( ) ( ) sin x cos x 2cos x 1 0. ⇔ ++= 0,50 • sin x cos x 0 tgx 1 x k 4 π +=⇔=−⇔=−+π ( ) k.∈] 0,25 • 12 2cos x 1 0 cos x x k2 23 π += ⇔ =− ⇔ =± + π ( ) k.∈] 0,25 2 Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn III. 3,0 III.1 1,0 Gọi tâm của (C) là ( ) Ia;b và bán kính của (C) là R. (C) tiếp xúc với Ox tại A và a2⇒= b R. = 0,25 ()() 22 2 IB 5 6 2 4 b 25 b 8b 7 0 b 1, b 7.=⇔ − + − = ⇔ − +=⇔= = 0,25 Với ta có đường tròn a2,b1== ()( ) ( ) 22 1 C:x2 y1 1. − +−= 0,25 Với ta có đường tròn a2,b7== ()( )( ) 22 2 C : x 2 y 7 49.−+−= 0,25 III.2a 1,0 ( ) ( ) 11 A0;3;4,C0;3;4.− 0,25 ( ) ( ) 1 BC 4;3;0 , BB 0; 0; 4=− = JJJG JJJJG Vectơ pháp tuyến của ( ) 11 mp BCC B là () 1 nBC,BB 12;16;0 ⎡⎤ == ⎣⎦ . G JJJG JJJJG Phương trình mặt phẳng ( ) 11 BCC B : ( ) 12 x 4 16y 0 3x 4y 12 0.−+ =⇔ + −= 0,25 Bán kính mặt cầu: () () 11 22 12 12 24 RdA,BCCB 5 34 −− == + . = 0,25 Phương trình mặt cầu: () 2 22 576 xy3z 25 ++ += . 0,25 III.2b 1,0 Ta có () 1 33 M 2; ;4 , AM 2; ; 4 , BC 4;3;4 . 22 ⎛⎞⎛⎞ −= =− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ JJJJG JJJJG 0,25 Vectơ pháp tuyến của (P) là () P1 nAM,BC 6;24;12 ⎡⎤ ==−− ⎣⎦ J JG JJJJG JJJJG . Phương trình (P): ( ) 6x 24 y 3 12z 0 x 4y 2z 12 0.−− ++ =⇔+−+= Ta thấy Do đó đi qua và song song với B(4;0;0) (P).∉ (P) A, M 1 BC . 0,25 Ta có ( ) 11 A C 0;6;0= JJJJJG . Phương trình tham số của đường thẳng là 11 AC x0 y3 z4. = ⎧ ⎪ t = −+ ⎨ ⎪ = ⎩ ( ) 11 NAC N0;3t;4.∈⇒−+ Vì ( ) NP∈ nên ( ) 043t 8120 t2+−+−+=⇔=. Vậy ( ) N0; 1;4.− () () 2 22 31 MN 2 0 1 4 4 . 22 ⎛⎞ =−+−++−= ⎜⎟ ⎝⎠ 7 0,50 3 Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn IV 2,0 IV.1 1,0 Ta có 2 2 0 sin x cos x I2 dx 1cosx π = + ∫ . Đặt t 1 cosx dt sin xdx. = +⇒=− x0 t2,x t1 2 π =⇒= = ⇒=. 0,25 () () 2 12 21 t1 1 I2 dt 2t2 dt tt − ⎛⎞ =−=−+ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫∫ 0,25 2 2 1 t 22tlnt 2 ⎛⎞ =−+ ⎜⎟ ⎝⎠ 0,25 () 1 224ln2 2 2ln21 2 ⎡⎤ ⎛⎞ =−+−−=− ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ . 0,25 IV.2 1,0 Có cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất thì có cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và tỉnh thứ hai thì có cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba. 14 312 CC 14 28 CC 14 14 CC 0,50 Số cách phân công đội thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán là 14 1414 3122814 C .C .C .C .C .C 207900.= 0,50 V 1,0 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có xx x 12 15 12 15 2. 54 54 ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ +≥ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ x xx x 12 15 2.3 (1). 54 ⎛⎞⎛⎞ ⇒+≥ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 0,50 Tương tự ta có xx x xx x 12 20 2.4 (2). 53 15 20 2.5 (3). 43 ⎛⎞⎛⎞ +≥ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎛⎞⎛⎞ +≥ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 0,25 Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia hai vế của bất đẳng thức nhận được cho 2, ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra (1), (2), (3) là các đẳng thức ⇔ ⇔ x0. = 0,25 Hết 4 Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005 Môn: TOÁN, Khối D (Đáp án – thang điểm gồm 4 trang) Câu Ý Nội dung Điểm I 2,0 I.1 1,0 32 11 m2 y x x 33 =⇒= − +. a) TXĐ: \. b) Sự biến thiên: 2 y' x 2x, y' 0 x 0, x 2.=− =⇔= = 0,25 Bảng biến thiên: x − ∞ 0 2 + ∞ y’ + 0 − 0 + y 1 3 − 1 + ∞ ∞ − y CĐ 1 () () CT 1 y0 ,y y2 1. 3 == ==− 0,25 c) Tính lồi lõm, điểm uốn y'' 2x 2, y'' 0 x 1.=− =⇔= x − ∞ 1 +∞ y’’ − 0 + Đồ thị hàm số lồi 1 U1; 3 ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ lõm Đồ thị của hàm số nhận 1 U1; 3 ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ là điểm uốn. 0,25 d) Đồ thị -1 2 O y x 0,25 Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn I.2 1,0 Ta có: 2 y' x mx.=− Điểm thuộc (C m ) có hoành độ x1 = − là m M1; 2 ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎝⎠ . 0,25 Tiếp tuyến tại M của (C m ) là ∆: ()( ) ( ) mm yy'1x1ym1x 22 2 . + += − +⇔= + + 0,25 ∆ song song với ( hay d:5x y 0−= d:y 5x = ) khi và chỉ khi m15 m4 m20 += ⎧ . ⇔ = ⎨ +≠ ⎩ Vậy m4= . 0,50 II. 2,0 II.1 1,0 2x 2 2x 1 x 1 4.++ +− += ĐK: x1≥− . 0,25 Phương trình đã cho tương đương với () () 2 2 x11 x14 2 x11 x14 x12 + + − +=⇔ ++ − +=⇔ += 0,50 x3⇔=. 0,25 II.2 1,0 Phương trình đã cho tương đương với 22 13 1 2sin xcos x sin 4x sin 2x 0 22 ⎡⎤ π ⎛⎞ −+−+− ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ 2 = 0,25 2 2 sin 2x cos4x sin 2x 3 0⇔− − + −= () 22 sin 2x 1 2sin 2x sin 2x 1 0⇔− − − + − = 2 sin 2x sin 2x 2 0 sin 2x 1⇔+−=⇔= hoặc sin 2x 2 = − (loại). 0,50 Vậy () sin 2x 1 2x 2k x k k . 24 ππ =⇔ =+π⇔=+π ∈ ] 0,25 2 Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn . : ( ) 12 x 4 16y 0 3x 4y 12 0.−+ =⇔ + −= 0,25 Bán kính mặt cầu: () () 11 22 12 12 24 RdA,BCCB 5 34 −− == + . = 0,25 Phương trình mặt cầu: () 2 22 576 xy3z 25 ++ += . 0,25