A. Phn chung: ( 16,0 im) S GIO DC V O TO NGH AN TRNG THPT QUNH LU 1 THI HC SINH GII LP 10 NM 2011 Mụn thi: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian phỏt . Bi I ( 5,0 im) Cho phng trỡnh: ( ) 2 4 2( 2) 1 0m x m x m + = (1) 1. Tỡm m phng trỡnh cú mt nghim duy nht. 2. Khi (1) cú 2 nghim 1 2 ,x x . Tỡm m nguyờn dng nh nht sao cho tớch hai nghim l mt s nguyờn . Bi II (6,0 im) 1. Gii phng trỡnh: 2 3 2 6 4 3 8x x x + = + . (1) 2. Gii h phng trỡnh sau : 2 2 1 1 1 y 1 x y y x x + = + + = + Bi III(2,0 im). Cho cỏc s dng , , : 3.a b c ab bc ca+ + = Chng minh rng: 2 2 2 1 1 1 1 . 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )a b c b c a c a b abc + + + + + + + + Bi IV (3,0im) Cho tam giỏc ABC cú trng tõm G. Gi A 1 , B 1 , C 1 ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca G xung cnh BC, AC, AB. Chng minh rng: 2 2 2 1 1 1 . . . 0a GA b GB c GC+ + = uuur uuur uuuur r . (Vi a=BC, b=AC, c=AB). B. Phn riờng: ( 4,0 im) Bi Va. (Dnh cho ban khoa hc t niờn). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 , A(2; - 3), B(3; - 2). Trọng tâm G ca tam giác ABC thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình: 3x- y- 8 = 0. Tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC. Bi Vb. (Dnh cho ban khoa hc c bn). Trong mt phng vi h to Oxy cho tam giỏc ABC cú din tớch bng 2 v ng thng AB cú phng trỡnh x-y=0. Bit rng im I(2;1) l trung im ca on thng BC, tỡm to trung im K ca on thng AC. Ht H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh: ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2011 MÔN:TOÁN Bài ý Nội dung Điểm I(5,0 đ) 1. (2,0đ) Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất TH1: 4m = : 3 (1) 4 3 0 4 x x⇔ − + = ⇔ = , (Thỏa mãn) 0,5 TH2: 4:m ≠ PT (1) có nghiệm duy nhất khi , 0 0m∆ = ⇔ = 1,0 Vậy với 0, 4m m= = thì phương trình (1) có nghiệm. 0,5 2.(3,0 đ) Tìm m nguyên dương nhỏ nhất sao cho tích hai nghiệm là một số nguyên PT (1) có 2 nghiệm 1 2 ,x x khi 0m ≥ , 4m ≠ 1,0 Theo viet: P= 1 2 1 3 1 , 4 4 m x x m m − = = + − − P Z ∈ khi 3 4 Z m ∈ − 4 1; 4 1; 4 3; 4 3m m m m⇔ − = − = − − = − = − 5; 3; 7; 1m m m m⇔ = = = = Vậy m nguyên dương nhỏ nhất thỏa mã là: m=1 0,5 0,5 0,5 0,5 II(6,0đ ) 1. (3,0đ) Giải phương trình ĐK: 2x ≥ − . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 (1) 2 2 4 2 2 3 2 2 4x x x x x x⇔ − + − + = + − + 2 2 2 2 2 3 2 0 2 4 2 4 x x x x x x + + ⇔ + − = − + − + Đặt 2 2 , 0 2 4 x t t x x + = ≥ − + . Phương trình trở thành 2 2, ( ) 2 3 2 0 1 2 t loai t t t = − + − = ⇔ = . Với 1 2 t = : Phương trình đã cho có nghiệm 3 13x = ± . 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2. (3,0đ) Giải hệ phương trình: Điều kiện: , 0x y ≠ Hệ đã cho tương đương với hệ: 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 y 1 ( - ) - x y y y x y y y x x x xy x y y x y x + = + + = + ⇔ + = + + = − 2 2 1 ( - )( 1) 0 x y y y x y x y xy + = + ⇔ + + − = 0,5 { { 2 2 2 2 1 , ( ) - 0 1 ,( ) 1 0 [ x y y y Ia x y x y y y Ib x y xy + = + = + = + + + − = ⇔ Giải (Ia): 2 2 3 2 1 1 0 ( ) x y y y x x x Ia x y x y + = + − + − = ⇔ ⇔ = = 1 1 { x y = = ⇔ Giải (Ib): Từ (1), (2) ta có: 0, y>0x > Theo BĐT CÔSI: 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 x y x y y x y x + = + ≥ ⇒ ≥ + = + ≥ ⇒ ≥ 1 0x y xy⇒ + + − > Vậy (Ib) vô nghiệm. 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 III. (2đ) IV. (3,0đ) Va. Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 2 3 3 3 ( ) 1ab bc ca abc abc= + + ≥ ⇒ ≤ . Suy ra: 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 3 (1). 1 ( ) 3 a b c abc a b c a ab bc ca a a b c a + + ≥ + + = + + = ⇒ ≤ + + Tương tự ta có: 2 2 1 1 1 1 (2), (3). 1 ( ) 3 1 ( ) 3b c a b c a b c ≤ ≤ + + + + Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3 ab bc ca a b c b c a c a b c b c abc abc + + + + ≤ + + = = + + + + + + W . Dấu “=” xảy ẩ khi và chỉ khi 1, 3 1, ( , , 0).abc ab bc ca a b c a b c= + + = ⇒ = = = > 0,5 0,5 0,5 0,5 (3,0đ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . . . 0 ( . . . ) 0a GA b GB a GC a GA b GB a GC+ + = ⇔ + + = uuur uuur uuuur r uuur uuur uuuur 4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 2 . 2 . 2 . 0a GA b GB c Gc a b GA GB a c GA GC b c GB GC⇔ + + + + + = uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur (2) Ta có: 1 1 1 , , , 2 3 3 3 a b c a b c h h h GA GB GC ah bh ch S= = = = = = , 0 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 . . . os(180 ) . . os , -2ab.cos . . . os(180 ) . . osB, -2ac.cos . . . os(180 ) . . osA, -2cb.cos GA GB GA GB c C GA GB c C C c a b GA GC GA GC c B GA GC c B b a c GC GB GC GB c A GC GB c A = − = − = − − = − = − = − − = − = − uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur 2 2 2 a b c= − − 2 2 2 2 2 2 (2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 . 4 . 4 . 9 9 9 4 .( ) 4 .( ) 4 .( ) 0 9 9 9 S a S b S c VT S c a b S b a c S a c b = + + + − − − − − − + + + = 0,5 0,5 4ý 1,0 1,0 (4,0đ) • Gäi C(a; b) • S = 1 2 CH.AB (1). Ta cã: AB = 2 0,5 0,5 Ph¬ng tr×nh AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) = a b 5 2 − − Do ®ã: (1) <=> a b 5 3 1 . . 2 a b 5 3 2 2 2 − − = ⇔ − − = . <=> a b 8 a b 2 − = − = 0,5 • To¹ ®é G( a 5 b 5 ; 3 3 + − ) Ta cã: G ∈ ∆ <=> 3(a 5) b 5 8 0 3 3 + − − − = <=> 3a - b = 4. 0,5 TH 1 : a b 8 a 2 3a b 4 b 10 − = = − ⇔ − = = − => C(-2; -10) 0,5 Chu vi tam gi¸c: 2p = AB + BC + CA = 2 65 89+ + => r = 2S 3 2p 2 65 89 = + + . 0,5 TH 2 : a b 2 a 1 3a b 4 b 1 − = = ⇔ − = = − => C(1; -1) 0,5 Chu vi tam gi¸c: 2p = AB + BC + CA = 2 5 2+ => r = 3 2 5 2+ . 0,5 Vb( 4,0 đ) (4,0đ ) Đường thẳng IK qua I và song song với AB có phương trình x-y-1=0. Chiều cao kẻ từ C của tam giác ABC là: 2 1 2 2 2 h − = = 2 2 2 S AB h ⇒ = = Ta có 2 2 AB IK K = = ⇒ ∈ đường tròn tâm I bán kính 2 2 AB IK = = ( ) ( ) 2 2 ( ) : 2 1 2C x y ⇒ − + − = Toạ độ K là nghiệm của hệ : ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 0 x y x y − + − = − − = (1;0) (3;2) K K ⇒ 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Chú ý: Các cách giải khác đúng thì vẫn cho điểm. Hết . trung im K ca on thng AC. Ht H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh: ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2011 MÔN:TOÁN Bài ý Nội dung Điểm I(5,0 đ) 1. (2,0đ) Tìm m để phương trình. B(3; - 2). Trọng tâm G ca tam giác ABC thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình: 3x- y- 8 = 0. Tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC. Bi Vb. (Dnh cho ban khoa hc c bn). Trong mt phng vi h. ABC là: 2 1 2 2 2 h − = = 2 2 2 S AB h ⇒ = = Ta có 2 2 AB IK K = = ⇒ ∈ đường tròn tâm I bán kính 2 2 AB IK = = ( ) ( ) 2 2 ( ) : 2 1 2C x y ⇒ − + − = Toạ độ K là nghiệm của hệ : ( )