Đề thii tuyển sinh vao 10 năm học 2010-2011 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010 (Đợt 2) Câu 1 (3 điểm) a) Vẽ đồ thị của hàm số 2 4y x= − . b) Giải hệ phương trình 2 3 2 3 x y y x = − = − . c) Rút gọn biểu thức P = 3 2 9 25 4 2 a a a a a − + + với 0a > . Câu 2 (2 điểm) Cho phương trình 2 3 0x x m− + = (1) (x là ẩn). a) Giải phương trình (1) khi 1m = . b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thỏa mãn 2 2 1 2 1 1 3 3x x+ + + = . Câu 3 (1 điểm) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô đi từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h. Câu 4 (3 điểm) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M khác B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N khác C) sao cho · 0 MAN 45= . Đường chéo BD cắt AM và AN lần lượt tại P và Q. a) Chứng minh tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp. b) Gọi H là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh AH vuông góc với MN. c) Xác định vị trí điểm M và điểm N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất. Câu 5 (1 điểm) Chứng minh 3 3 ( )a b ab a b+ ≥ + với mọi , 0a b ≥ . Áp dụng kết quả trên, chứng minh bất đẳng thức 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + ≤ + + + + + + với mọi a, b, c là các số dương thỏa mãn 1abc = . Hết Gv: lê trung học ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thii tuyển sinh vao 10 năm học 2010-2011 Họ tên thí sinh: ………………………………Số báo danh: ………………….…… Chữ kí của giám thị 1:……………………… Chữ kí của giám thị 2: ……… …… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 (đợt 2) Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010 I) HƯỚNG DẪN CHUNG. - Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm. - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm. - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM. Câu Ý Nội dung Điểm 1 a Vẽ đồ thị của hàm số 2 4y x= − 1,00 Đồ thị cắt trục Ox tại A (2;0) (HS có thể lấy điểm khác) Đồ thị cắt trục Oy tại B (0; 4)− (HS có thể lấy điểm khác) Vẽ được đồ thị hàm số 0,25 0,25 0,5 b Giải hệ phương trình 2 3 2 3 x y y x = − = − 1,00 Hệ 2 3 2 3 x y x y − = − ⇔ − = (HS có thể dùng phép thế hoặc phép trừ) Tìm được 3x = Tìm được 3y = Kết luận. Hệ có nghiệm duy nhất 3, 3x y= = 0,25 0,25 0,25 0,25 c Rút gọn biểu thức P = 3 2 9 25 4 2 a a a a a − + + với 0a > 1,00 3 9 25 4 9 5 2a a a a a a a− + = − + 0,25 0,25 Gv: lê trung học Đề thii tuyển sinh vao 10 năm học 2010-2011 2 ( 2)a a= + 2 2 ( 2)a a a a+ = + P = 2 a hoặc 2 a a 0,25 0,25 2 a Giải phương trình 2 3 0x x m− + = khi 1m = . 1,00 1m = ta có phương trình 2 3 1 0x x− + = 9 4 5∆ = − = 1 3 5 2 x + = , 2 3 5 2 x − = (mỗi nghiệm đúng cho 0,25) 0,25 0,25 0,5 b Tìm m để 1 2 ,x x thỏa mãn 2 2 1 2 1 1 3 3x x+ + + = 1,00 Pt (1) có hai nghiệm phân biệt 9 9 4 0 4 m m⇔ ∆ = − > ⇔ < (1) Theo định lí Viet 1 2 1 2 3,x x x x m+ = = . Bình phương ta được 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 ( 1)( 1) 27x x x x + + + + + = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 25x x x x x x⇔ + + + + + = . Tính được 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 9 2x x x x x x m+ = + − = − và đưa hệ thức trên về dạng 2 2 10 8m m m− + = + (2) 2 2 2 10 16 64 18 54 3m m m m m m⇒ − + = + + ⇔ = − ⇔ = − . Thử lại thấy 3m = − thỏa mãn pt (2) và điều kiện (1). 0,25 0,25 0,25 0,25 3 Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng 1,00 Gọi vận tốc canô trong nước yên lặng là (km/h, 4)x x > Vận tốc canô khi nước xuôi dòng là 4x + và thời gian canô chạy khi nước xuôi dòng là 48 4x + . Vận tốc canô khi nước ngược dòng là 4x − và thời gian canô chạy khi nước ngược dòng là 48 4x − . Theo giả thiết ta có phương trình 48 48 5 4 4x x + = + − pt 2 2 48( 4 4) 5( 16) 5 96 80 0x x x x x⇔ − + + = − ⇔ − − = Giải phương trình ta được 0,8x = − (loại), 20x = (thỏa mãn) Vậy vận tốc canô trong nước yên lặng là 20 km/h 0,25 0,25 0,25 0,25 4 a Chứng minh tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp 1,00 Gv: lê trung học A B C D M N P Q H I A B C D M N P Q Đề thii tuyển sinh vao 10 năm học 2010-2011 Hình 1 Hình 2 Vẽ được hình 1 Theo giả thiết · 0 45QAM = và · 0 45QBM = · · QAM QBM⇒ = ABMQ⇒ là tứ giác nội tiếp 0,5 0,25 0,25 b Chứng minh AH vuông góc với MN 1,00 ABMQ là tứ giác nội tiếp suy ra · · 0 180AQM ABM+ = · · 0 0 90 90ABM AQM MQ AN= ⇒ = ⇒ ⊥ Tương tự ta có ADNP là tứ giác nội tiếp NP AM⇒ ⊥ Suy ra H là trực tâm của tam giác AMN AH MN⇒ ⊥ * Chú ý. Lập luận trên vẫn đúng khi M trùng với C 0,25 0,25 0,25 0,25 c Xác định vị trí điểm M và N để ∆ AMN có diện tích lớn nhất 1,00 M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M khác B) nên có 2 TH TH 1. M không trùng với C, khi đó M, N, C không thẳng hàng. Gọi I là giao điểm của AH và MN và S là diện tích tam giác AMN thì S = 1 . 2 AI MN . Tứ giác APHQ nội tiếp suy ra · · PAH PQH= (1) Tứ giác ABMQ nội tiếp suy ra · · BAM BQM= (2) Từ (1) và (2) suy ra · · PAH BAM= hay · · MAI MBA= Hai tam giác vuông MAI và MAB có · · MAI MBA= , AM chung suy ra ,MAI MAB AI AB a IM BM∆ = ∆ ⇒ = = = Tương tự NAI NAD IN DN∆ = ∆ ⇒ = . Từ đó S = 1 1 . . 2 2 AI MN a MN= Ta có 2 ( )MN MC NC a BM a DN a IM IN< + = − + − = − + Vậy 2MN a MN< − hay 2 1 1 . 2 2 MN a S a MN a< ⇒ = < . TH 2. M trùng với C, khi đó N trùng với D và AMN ACD∆ = ∆ 0,25 0,25 0,25 Gv: lê trung học Đề thii tuyển sinh vao 10 năm học 2010-2011 nên S = 2 1 1 . 2 2 AD DC a= Vậy ∆ AMN có diện tích lớn nhất M C⇔ ≡ và N D≡ . 0,25 5 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + ≤ + + + + + + 1,00 3 3 2 2 ( ) ( ) ( ) 0a b ab a b a a b b b a+ ≥ + ⇔ − + − ≥ 2 2 2 ( )( ) 0 ( ) ( ) 0a b a b a b a b⇔ − − ≥ ⇔ − + ≥ , đúng , 0a b∀ ≥ 3 3 3 3 ( ) ( )a b ab a b a b abc ab a b abc+ ≥ + ⇔ + + ≥ + + 3 3 3 3 1 1 1 ( ) 1 ( ) a b ab a b c a b ab a b c ⇔ + + ≥ + + ⇔ ≤ + + + + (Do các vế đều dương). Tương tự, cộng lại ta được 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + + + + + + + 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )ab a b c bc a b c ca a b c ≤ + + = + + + + + + 0,25 0,25 0,25 0,25 Gv: lê trung học . Đề thii tuyển sinh vao 10 năm học 2 010- 2011 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2 010 - 2011 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài:. DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2 010 – 2011 (đợt 2) Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2 010 I) HƯỚNG DẪN CHUNG. - Thí sinh làm bài theo. + + + + + với mọi a, b, c là các số dương thỏa mãn 1abc = . Hết Gv: lê trung học ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thii tuyển sinh vao 10 năm học 2 010- 2011 Họ tên thí sinh: ………………………………Số báo danh: ………………….…… Chữ