Bài tổng hợp về tứ diện vuông Cho tam diện vuông Oxyz. Lấy các điểm A,B,C lần lợt trên ox,oy,oz để cho OA = a, OB = b, OC = c. Ngời ta vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC ). 1) Chứng minh H là trực tâm ABC. Ngợc lại đúng không? 2) Chứng minh ba góc của ABC đều là góc nhọn. 3) Chứng minh hệ thức: 1/ OH 2 = 1/OA 2 +1/OB 2 + 1/OC 2 và cos 2 HOA + cos 2 HOB + cos 2 HOC = 1. 4) Tính khoảng cách OH và diện tích ABC theo a,b,c. 5) Gọi G là trọng tâm của ABC, tính OG theo a,b,c. 6) Đờng tròn ngoại tiếp ABC có tâm là I và bán kính là R.Tính phơng tích của H với đờng tròn này, từ đó suy ra hệ thức: IH 2 + 2HO 2 = R 2 . 7) Chứng minh diện tích OAB là trung bình nhân giữa diện tích HAB và diện tích ABC. Từ đó suy ra định lý Pitago trong không gian: ( S ABC ) 2 = ( S OBC ) 2 + ( S AOC ) 2 + ( S ABO ) 2 . 8) Nếu a + b = c thì góc OCA + góc OCB + góc AOB = 90 o 9) Chứng minh với A,B,C là ba góc của ABC thì : a 2 tanA = b 2 tanB = c 2 tanC = 2 S ABC . 10) Gọi S i là diện tích các mặt bên OAB, OBC, OCA.Chứng minh rằng: S 1 + S 2 + S 3 9HO 2 / 2 . 11) Chứng minh rằng: 3 S ABC S OBC + S AOC + S ABO . 12) Chứng minh rằng: mỗi điểm M nằm trên một cạnh của ABC, tổng S các khoảng cách từ A,B,C đến OM thoả mãn: S 2( a 2 +b 2 + c 2 ). Khi nào xảy ra đẳng thức ? 13) Dựng điểm J là điểm cách đều 4 đỉnh O,A,B,C. a) G là trọng tâm ABC. Chứng minh rằng O,G, J thẳng hàng và OG = 2GJ. b) Tính OJ theo a,b,c 14) H là trực tâm ABC. Đặt = góc OAH, = góc OBH, = góc OCH, = góc AHB. Chứng minh rằng : sin = sin / cos .cos ; cos = - tan .tan . 15) Gọi N là một điểm tuỳ ý thuộc đáy ABC. Gọi n là tổng các khoảng cách từ A,B,C xuống ON. Chứng minh rằng: n a + b . 16) Đặt = góc AOH, = góc BOH, = góc COH. Chứng minh rằng: sin 2 / sin2A = sin 2 / sin 2B = sin 2 / sin2C . 17) Giả sử ABC là đều cạnh a.Tính OH theo a. Kéo dài HO một đoạn OD = HO. Chứng tỏ rằng ABCD là tứ diên đều ( Đề 27 câu IV b ). 18) Cho A cố định, B,C chạy trên oy,oz. Tìm quĩ tích các điểm H,G ( H trực tâm ABC, G trọng tâm ABC ). 19) Giả sử OA = a, B,C lấy trên oy,oz sao cho OB + OC = a ( hằng số ). Đặt góc OAB = , goc OAC = , goc BAC = . Chứng minh rằng khi B,C di động trên oy,oz thoả mãn điều kiện trên thì đại lợng + + là một hằng số. 20) Giả sử OA = a, B,C lấy trên oy,oz sao cho OB + OC = a ( hằng số ). J là điểm cách đều 4 đỉnh O,A,B,C. Chứng minh rằng Khi B,C di động theo qui luật trên thì J nằm trên một đoạn thẳng cố định. Trang 1 21) Trong tứ diện vuông OABC nội tiếp một hình lập phơng sao cho 1 đỉnh hình lập phơng trùng đỉnh O của tứ diện,đỉnh đối diện nằm trên đáy ( ABC ).Tính cạnh của hình lập phơng ? 22) Điểm R 1 thuộc đáy ABC và cách đều các mặt bên của tứ diện vuông OABC. Tính O R 1 theo a,b,c . 23) Giả sử các mặt bên ( OAB) , (OBC), ( OCA ) lần lợt tạo với đáy ABC các góc , , . Chứng minh rằng cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 . 24) Giả sử các mặt bên ( OAB) , (OBC), ( OCA ) lần lợt tạo với đáy ABC các góc , , . Chứng minh rằng: cos 2 /( sin 2 + sin 2 ) + cos 2 /( sin 2 + sin 2 ) + cos 2 /( sin 2 + sin 2 ) 3/4 25) Gọi đờng cao OH = h, S i là diện tích các mặt bên OAB, OBC, OCA. Tìm giá trị lớn nhất của tỷ số: y = h 2 / S i . 26) Tính V tứ diện vuông OABC theo các cạnh x,y,z của đáy ABC. 27) Cho tam diện vuông Oxyz. Điểm M nằm cố định trong góc tam diện. Một mặt phẳng qua M cắt ox, oy, oz tại A,B,C. Gọi khoảng cách từ M tới (OBC),(OCA),( OAB) lần lợt là a,b,c. a) Chứng minh ABC không là tam giác vuông. b) Tính OA,OB,OC theo a, b, c để V OABC là nhỏ nhất. c) Tính OA,OB,OC theo a, b, c để tổng OA + OB + OC là nhỏ nhất. 28) Trong tứ diện vuông OABC tại O. Cho OA =a, OB + OC = k, OB = x. Tính V OABC theo a, k, x. Xác định OB,OC để V OABC lớn nhất. 29) Cho tam diện vuông Oxyz. Lấy các điểm A,B,C lần lợt trên ox,oy,oz sao cho AC = 2BO; BC = 2AO. a) Gọi M, N là chân các đờng vuông góc kẻ từ O xuống AC, BC. Chứng minh MN OC. b) Tính cos MON c) Gọi D là điểm giữa AB. Chứng minh: tg 4 OCD / tg 4 OCA + MN/ AB = 1 ( Đề câu IV b ) 30) Cho tam diện vuông Oxyz. Lấy trên ox,oy,oz các điểm P,Q,R O.Gọi A,B,C lần lợt là trung điểm PQ, QR, RP. a) Chứng minh 4 mặt của tứ diện OABC là những bằng nhau. b) Giả sử tứ diện có góc nhị diện cạnh OA vuông. Chứng minh trong ABC ta có: tgC.tgB = 2 ( Đề 38 câu IV b ) 31) Cho tứ diện vuông OABC tại O. Cho OA =a, OB = b, OC = c. Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện theo a,b,c. Trang 2 Bài tổng hợp về tứ diện trực tâm Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ABCD là tứ diện trực tâm là một trong các điều kiện sau đây đợc thoả mãn: 1) Các đờng cao của tứ diện đồng qui, 2) Một đờng cao của tứ diện đi qua trực tâm của mặt đáy tơng ứng, 3) Các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối nhau thì bằng nhau, 4) Tổng bình phơng các cạnh đối bằng nhau, tức là: AB 2 + CD 2 = AC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2 5) Cho ABCD là tứ diện trực tâm. Chứng minh rằng có ít nhất một mặt của tứ diện là tam giác nhọn. 6) Chứng minh rằng trong một tứ diện trực tâm, thì các đờng vuông góc chung của các cặp cạnh đối đồng qui. 7) Đảo lại, một tứ diện có các đờng vuông góc chung của các cặp cạnh đối đồng qu, thì có phải là tứ diện trực tâm không ? 8) 9) Cho ABCD là tứ diện trực tâm. Chứng minh rằng trung điểm Bài tổng hợp về tứ diện gần đều Trang 3